ARMA模型课件

1、ARMA模型PPT课件ARMA模型预测ARMA模型PPT课件平稳时间序列平稳时间序列 时间序列时间序列 yt 取自某一个随机过程，则称：取自某一个随机过程，则称：过程是平稳的过程是平稳的随机过程的随机特征不随时间变化而变化随机过程的随机特征不随时间变化而变化过程是非平稳的过程是非平稳的随机过程的随机特征随时间变化而变化随机过程的随机特征随时间变化而变化ARMA模型PPT课件宽平稳时间序列宽平稳时间序列 时间序列 yt ，对于任意的t,k和m，满足： mttyEyE常数均值：方差亦常数：间的平移长度自协方差函数仅依赖时kmtmtkttyyyyk,cov,cov则称 yt宽平稳。 平稳的直观含义：

2、无明显趋势、无明显周期平稳的直观含义：无明显趋势、无明显周期 在平稳序列场合，序列中各变量的均值等某些特征相同，在平稳序列场合，序列中各变量的均值等某些特征相同，则对这些特征值进行估计时，可把各变量的观测值看作同一则对这些特征值进行估计时，可把各变量的观测值看作同一变量的不同观测值处理，增加了样本容量，提高估计精度。变量的不同观测值处理，增加了样本容量，提高估计精度。ARMA模型PPT课件平稳性的时序图检验 时序图时序图:横轴表示时间，纵轴表示序列取值横轴表示时间，纵轴表示序列取值. 平稳序列的时序图应该围绕着一个常数附近作随平稳序列的时序图应该围绕着一个常数附近作随机波动，波动幅度范围基本一

3、致、有界。无明显机波动，波动幅度范围基本一致、有界。无明显的趋势性或周期性；否则，非平稳。的趋势性或周期性；否则，非平稳。ARMA模型PPT课件平稳性的自相关图检验 自相关图自相关图: 一个坐标轴表示延迟时期数一个坐标轴表示延迟时期数k，另一个，另一个坐标轴表示自相关系数，通常以悬垂线表示自相坐标轴表示自相关系数，通常以悬垂线表示自相关系数的大小。关系数的大小。 平稳序列的自相关系数应该随延迟期数平稳序列的自相关系数应该随延迟期数k增加而快增加而快速衰减到零；一般速衰减到零；一般 在在k=3以后就基本落在以后就基本落在2倍标准倍标准差之内接近零了。差之内接近零了。ARMA模型PPT课件纯随机性

4、检验 如果序列值彼此之间没有任何相关性，那就意味如果序列值彼此之间没有任何相关性，那就意味着该序列是一个没有记忆的序列，过去的行为对着该序列是一个没有记忆的序列，过去的行为对将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为将来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序列。从统计分析的角度而言，纯随机序纯随机序列。从统计分析的角度而言，纯随机序列是没有任何分析价值的序列。列是没有任何分析价值的序列。 纯随机性检验也称为白噪声检验，是专门用来检纯随机性检验也称为白噪声检验，是专门用来检验序列是否为纯随机序列的一种方法。验序列是否为纯随机序列的一种方法。 LB ( Ljung-Box)统计量检验：统计

5、量检验： H0:延迟期数小于或等于延迟期数小于或等于m期的序列值之间相互独立。期的序列值之间相互独立。 H1:延迟期数小于或等于延迟期数小于或等于m期的序列值之间有相关性。期的序列值之间有相关性。 平稳序列通常具有短期相关性，若一平稳序列有平稳序列通常具有短期相关性，若一平稳序列有显著的短期相关性，就一定不是白噪声。显著的短期相关性，就一定不是白噪声。ARMA模型PPT课件R程序程序平稳性、白噪声预分析平稳性、白噪声预分析 #生成一个模拟生成一个模拟AR(2)的的100项序列供分析，并显示时序图项序列供分析，并显示时序图 u=arima.sim(n = 100, list(ar = c(0.6

6、,-0.4);plot(u) par(mfrow=c(1,2) #开设一个有横向两绘图区的图形窗开设一个有横向两绘图区的图形窗 acf(u,lag=12) #画出有画出有12个延时期的自相关图个延时期的自相关图 pacf(u,lag=12) #画出有画出有12个延时期的偏自相关图个延时期的偏自相关图 Box.test(u,Ljung-Box,lag=6) #延时期为延时期为6时的白噪声检验，时的白噪声检验，p0.05为白噪声。为白噪声。 #生成一个模拟生成一个模拟MA(2)的的100项序列供分析，并显示时序图项序列供分析，并显示时序图 v=arima.sim(n = 100, list(ma

7、= c(0.3,-0.6);plot(v) #生成一个模拟生成一个模拟ARMA(2,1)的的100项序列供分析项序列供分析 w=arima.sim(n = 100, list(ar = c(0.7,-0.5),ma=0.4);plot(w)ARMA模型PPT课件非平稳序列的平稳化处理 对序列进行若干次差分，能使序列平稳化。对序列进行若干次差分，能使序列平稳化。 序列蕴含着显著的线性趋势，序列蕴含着显著的线性趋势，1阶差分就可以实现阶差分就可以实现趋势平稳趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶序列蕴含着曲线趋势，通常低阶(2阶或阶或3阶阶)差分差分就可以消除曲线趋势的影响就可以消除曲线趋势的影响

8、 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息。的差分运算，通常可以较好地提取周期信息。 多次差分运算可充分消除原序列中的非平稳确定多次差分运算可充分消除原序列中的非平稳确定性信息。但差分运算是对信息的提取、加工，每性信息。但差分运算是对信息的提取、加工，每次差分都会有信息的损失，应当避免过度差分。次差分都会有信息的损失，应当避免过度差分。ARMA模型PPT课件ARMA模型 ARMA模型是描述平稳随机序列常用的一种模型模型是描述平稳随机序列常用的一种模型. 模型模型ARMA(p,q)的一般表达式为的一般表达式为qtq

9、tttptptttyyyy22112211引进延时算子引进延时算子B：yt-1=Byt 则有：则有：)()(ByBtt其中：其中：ppBBBB.1)(221qqBBBB.1)(221ARMA模型PPT课件ARMA模型三种基本形式 自回归模型AR(p)（AR：Auto-regressive） 移动平均模型MA(q)（MA：Moving-Average） 混合模型ARMA(p,q)（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）tyBpARpARMAt)(: )()0 ,(即)(: )(), 0(ByqMAqARMAtt即 求和自回归移动平均模型ARIMA(p,d,q)(

10、)(ByBtdtARMA模型PPT课件建模的基本步骤 (1)求出该观察值序列的样本自相关系数求出该观察值序列的样本自相关系数(ACF)和样和样本偏自相关系数本偏自相关系数(PACF)的值。的值。 (2)根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质，根据样本自相关系数和偏自相关系数的性质，选择阶数适当的选择阶数适当的ARMA(p,q)模型进行拟合。模型进行拟合。 (3)估计模型中未知参数的值。估计模型中未知参数的值。 (4)检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验；检验模型的有效性。如果拟合模型通不过检验；转向步骤转向步骤(2)，重新选择模型再拟合。，重新选择模型再拟合。 (5)模型优化。如果拟合模型

11、通过检验，仍然转向模型优化。如果拟合模型通过检验，仍然转向步骤步骤(2)，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，充分考虑各种可能，建立多个拟合模型，从所有通过检验的拟合模型中选择最优模型。从所有通过检验的拟合模型中选择最优模型。 (6)利用拟合模型，预测序列的将来走势。利用拟合模型，预测序列的将来走势。ARMA模型PPT课件模型识别 (1)在在k=q后自相关函数后自相关函数k 截尾截尾,而偏自相关而偏自相关函数函数?kk拖尾拖尾 = MA(q) (2)在在k=p后偏自相关函数后偏自相关函数?kk 截尾截尾,而自相而自相关函数关函数k拖尾拖尾 = AR(p) (3)若自相关函数、偏自相关函数都拖尾

12、若自相关函数、偏自相关函数都拖尾 = ARMA(p,q) p=?,q=?进一步试验进一步试验ARMA模型PPT课件截尾性、拖尾性 自相关函数自相关函数k截尾截尾: 对每个对每个q计算计算q+1, , q+M, (M取取sqrt(N)考察其中满足考察其中满足|k|=sqrt(1+2i=1q i 2)/sqrt(n)的个数是否占的个数是否占M个个中的中的68.3%或或|k|=2sqrt(1+2i=1q i 2)/sqrt(n)的个数是否占的个数是否占M个个中的中的95.5%；若在；若在1q之间的之间的|k|明显异于零明显异于零,q之后的之后的|k|满足满足上述条件上述条件,则近似判断则近似判断k是

13、是q步截尾的。步截尾的。 偏自相关函数偏自相关函数?kk截尾截尾:对每个对每个p类似考察类似考察 |?kk|=1/sqrt(n)的的个数是否占个数是否占M个中的个中的68.3%或或|?kk|1。 通过通过AIC等信息准则选择较优的等信息准则选择较优的ARMA(p,q) （AIC等统计值较小）。等统计值较小）。ARMA模型PPT课件R程序程序估计、检验估计、检验 usol=arima(u,order=c(2,0,0),method=ML,include.mean=F); usol #按按AR(2)模式做似然估计模式做似然估计,模型中不要出现均值项模型中不要出现均值项 tsdiag(usol) #

14、画出残差的时序图、画出残差的时序图、acf图、未修正的图、未修正的LB检验检验p值图值图 Box.test(usol$residual, type=Ljung-Box,lag=6, fitdf=2) #上句对残差序列进行白噪声检验上句对残差序列进行白噪声检验, fitdf=p+q修正自由度修正自由度 absT=abs(usol$coef/sqrt(usol$var.coef(1:2)+2*(0:1)#T统计绝统计绝对值对值 pt(absT,df=100-2,lower.tail= F)*2 # ar参数的参数的T检验概率值检验概率值ARMA模型PPT课件ARMA(p,q)模型预测 设设平稳时间

15、序列设设平稳时间序列yt是一个是一个ARMA(p,q)过程，即过程，即yt= 1yt-1+ pyt-p+ t- 1 t-1- q t-q ; 这里这里 t是白噪声是白噪声,并且对于所有的并且对于所有的t,满足满足: E( t|yt-1,yt-2,)=0 我们可以得到我们可以得到yt+l的预测值的预测值yt(l):piqlipiqlilyqlilyyyyyElytiiltitittqltltltpltpltt11, )()(),|()(,1111110,1, )()(kykkykykttt式中：ARMA模型PPT课件预测的置信区间 对于对于ARMA(p,q)模型，我们可以得到模型，我们可以得到y

16、t+l预测预测的的95%的置信区间的置信区间:yt(l) 1.96*se(l),式中式中se(l)是误差标准差是误差标准差 .ARMA模型PPT课件R程序程序预测预测 ufore = predict(usol, n.ahead =6) #预测未来预测未来6期期 U = ufore$pred+1.96*ufore$se #算出算出95%置信上限置信上限 L = ufore$pred-1.96*ufore$se #算出算出95%置信下限置信下限 #下面作时序图下面作时序图,含原序列、拟合值预测值序列、含原序列、拟合值预测值序列、95%置信区间置信区间 uuf=ts(c(u-usol$residua

17、ls,ufore$pred) # 合并拟合值与预测值合并拟合值与预测值 ts.plot(u,uuf,col=1:2) # 画原序列、拟合值预测值序列时序图画原序列、拟合值预测值序列时序图 lines(U, col=blue, lty=dashed) #在图中补充在图中补充95%置信上限置信上限 lines(L, col=blue, lty=dashed) #在图中补充在图中补充95%置信下限置信下限ARMA模型PPT课件应用案例 用某市用某市1995-2003年各月的工业生产总值数据年各月的工业生产总值数据yt 建立建立ARMA模型预测模型预测04年工业生产总值年工业生产总值y=c(10.93

18、,9.34,11.00,10.98,11.29,11.84,10.62,10.90,12.77,12.15,12.24,12.30,9.91,10.24,10.41,10.47,11.51,12.45,11.32,11.73,12.61,13.04,13.14,14.15,10.85,10.30,12.74,12.73,13.08,14.27,13.18,13.75,14.42,14.57,14.25,15.86,12.94,11.43,14.36,14.57,14.25,15.86,15.18,15.94,16.54,16.90,16.88,18.10,13.70,10.88,15.79,1

19、6.36,17.22,17.75,16.62,16.96,17.69,16.40,17.51,19.73,13.73,12.85,15.68,16.79,17.59,18.51,16.80,17.27,20.83,19.18,21.40,23.76,15.73,13.14,17.24,17.93,18.82,19.12,17.70,19.87,21.17,21.44,22.14,22.45,17.88,16.00,20.29,21.03,21.78,22.51,21.55,22.01,22.68,23.02,24.55,24.67,19.61,17.15,22.46,23.19,23.40,2

20、6.26,22.91,24.03,23.94,24.12,25.87,28.25)注：注：04年实际数据为年实际数据为20.99,17.04,23.16,24.96,26.20,27.89,24.77,26.32,26.75,26.51,28.57,31.14ARMA模型PPT课件R程序ts.plot(y)yd=y13:108-y1:96ts.plot(yd)ydm=yd-mean(yd)ts.plot(ydm)acf(ydm)pacf(ydm)sol=arima(ydm, order = c(2,0,0),method=ML, include.mean = F)pydm=predict(sol, n.ahead =12)pyd=pydm$pred+mean(yd)py=pyd+y97:108ts.plot(c(y,py)pyU=py + 1.96* pydm$sepyL=py - 1.96* pydm$seARMA模型PPT课件应用案例 某车站1993-1997年各月列车运行数量xt，根据数据建立ARMA模型。1196.8,1181.3,1222.6,1229.3,1221.5,1148.4,1250.2,1174.4,1234.5,1209.7,1206.5,1204.0,1234.1,1146.0,1304.9,122