2020版高考数学大一轮复习第十二章复数算法推理与证明第4讲直接证明与间接证明课件理新人教A版

1、第十二章第十二章 复数、算法、推理与证明复数、算法、推理与证明 第第4讲讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 1直接证明直接证明 分析法分析法 综合法综合法 和和_直接证明中最基本的两种证明方法是直接证明中最基本的两种证明方法是_(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法立，这种证明方法叫做综合法 由因导果法由因导果法 综合法又称为：综合法又称为：_ (顺推证法顺推证法) (2)分析法：一般

2、地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明为止，这种证明方法叫做分析法方法叫做分析法 执果索因法执果索因法 逆推证法逆推证法) 分析法又称为：分析法又称为：_ (2间接证明间接证明 不成立不成立 ，经过正确的推理，最后得出，经过正确的推理，最后得出反证法：反证法： 假设原命题假设原命题_矛盾矛盾 ，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的，

3、因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的_证明方法叫做反证法证明方法叫做反证法 3证题的三种思路证题的三种思路 (1)综合法证题的一般思路综合法证题的一般思路 用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论 (2)分析法证题的一般思路分析法证题的一般思路 分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒分析法的思路是

4、逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件 (3)反证法证题的一般思路反证法证题的一般思路 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者，或者是非是非A，即在同一讨论过程中，即在同一讨论过程中，A和非和非A有且仅有一个是正确有且仅有一个是正确

5、的，不能有第三种情况出现的，不能有第三种情况出现 判断正误判断正误(正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”) (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件件( ) (2)分析法是从要证明的结论出发，分析法是从要证明的结论出发， 逐步寻找使结论成立的充要逐步寻找使结论成立的充要条件条件( ) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾( ) (4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾( ) (5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，常常用分析

6、法寻找解题的思路与方法， 用综合法展现解决问用综合法展现解决问题的过程题的过程( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) (5) 下列表述：下列表述： 综合法是由因导果法；综合法是由因导果法； 综合法是顺推法；综合法是顺推法； 分析法是执果索因法；分析法是执果索因法； 分析法是逆推法；分析法是逆推法； 反证法是间接证法其中正确的有反证法是间接证法其中正确的有( ) A2个个 B3个个 C4个个 D5个个 解析：选解析：选D.由分析法、综合法、反证法的定义知都由分析法、综合法、反证法的定义知都正确正确 (教材习题改编教材习题改编)设设m13，n2 2，则则m与与n的大小关的大小关系是系是

7、( ) Amn Cmn 22Bmn Dmn 22解析：解析： 选选C.法一：法一：mn(13)(2 2)42 382 3412160，又，又m0，n0.所以所以mn，故选，故选C. 法二：法二：假设假设mn，即即132 2.则有则有(13)(2 2)，即即42 38，即，即2 34，即，即32，即，即34，显然错误，所以，显然错误，所以mn，故选，故选C. 22 用反证法证明命题用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设时，应假设_ 答案：三角形三个内角都大于答案：三角形三个内角都大于60 在不等边三角形中，在不等边三角形中，a为最大边，要想

8、得到边为最大边，要想得到边a的对角的对角A为为222钝角的结论，三边钝角的结论，三边a，b，c应满足应满足_ b ca222解析：由余弦定理解析：由余弦定理cos A0，所以，所以b ca b c . 222答案：答案：a b c 222综合法综合法 典例引领典例引领 如图，已知斜三棱柱如图，已知斜三棱柱ABC- A1B1C1中，中，ABAC，D为为BC的中点的中点 (1)若若 平平 面面ABC 平平 面面BCC1B1， 求求 证证 ：ADDC1. (2)求证：求证：A1B平面平面ADC1. 【证明】【证明】 (1)因为因为ABAC，D为为BC的中点，的中点， 所以所以ADBC， 因为平面因为

9、平面ABC平面平面BCC1B1， 平面平面ABC平面平面BCC1B1BC，AD?平面平面ABC， 所以所以AD平面平面BCC1B1， 因为因为DC1? 平面平面 BCC1B1， 所以所以ADDC1. (2)连接连接A1C，交，交AC1于点于点O，连接，连接OD，则，则O为为A1C的中点，的中点， 因为因为D为为BC的中点，所以的中点，所以ODA1B， 因为因为OD? ? 平面平面ADC1， A1B? ?平面平面ADC1， 所以所以A1B平面平面ADC1. 综合法的证题思路综合法的证题思路 (1)综合法是综合法是“由因导果由因导果”的证明方法，的证明方法， 它是一种从已知到未知它是一种从已知到未

10、知(从题设到结论从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断证的真实判断(命题命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性要求证结论的真实性 (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 在在ABC中，设中，设a，b，c分别是内角分别是内角A，B，C所对的边，且直线所对的边，且直线bxycos Acos B0与与axycos Bcos A0平行，求证：平行，求证：ABC是直角三角形是直角三角形 证明：法一：由两直线平行可知证明：法一：由两直线平行可

11、知bcos Bacos A0，由正弦定，由正弦定11理可知理可知sin Bcos Bsin Acos A0，即即 sin 2 Bsin 2 A0，故故222 A2 B或或2 A2 B，即，即AB或或AB.若若AB，则，则a2b，cos Acos B，两直线重合，不符合题意，故，两直线重合，不符合题意，故AB ，即，即2 ABC是直角三角形是直角三角形 法二：由两直线平行可知法二：由两直线平行可知bcos Bacos A0， b caa cb由余弦定理，得由余弦定理，得ab， 2 bc2 ac所以所以a (b ca )b (a cb )， 所以所以c (a b )(a b )(a b )， 所以

12、所以(ab )(a bc )0，所以，所以ab或或a bc . 若若ab，则两直线重合，不符合题意，则两直线重合，不符合题意， 故故abc，即，即ABC是直角三角形是直角三角形 22222222222222222222222222222222分析法分析法 典例引领典例引领 23 n n* 已知数列已知数列an的前的前n项和项和Sn，nN . 2(1)求数列求数列an的通项公式；的通项公式； (2)证明：对任意的证明：对任意的n1，都存在，都存在mN ，使得，使得a1，an，am成成等比数列等比数列 *3 n n【解】【解】 (1)由由Sn，得，得a1S11， 2当当n2时，时，anSnSn13

13、 n2，当，当n1时也适合，时也适合， 所以数列所以数列an的通项公式为的通项公式为an3 n2. (2)证明：要使得证明：要使得a1，an，am成等比数列，只需要成等比数列，只需要222ana1am， *2即即(3 n2)1(3 m2)，即，即m3 n4 n2，而此时，而此时mN，且且mn，所以对任意的，所以对任意的n1，都存在，都存在mN，使得，使得a1，an，am成等比数列成等比数列 * 分析法的证题思路分析法的证题思路 先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题当这些判断恰恰都是已证的命题(定

14、义、公理、定理、法则、公定义、公理、定理、法则、公式等式等)或要证命题的已知条件时命题得证或要证命题的已知条件时命题得证 提醒提醒 要注意书写格式的规范性要注意书写格式的规范性 ABC的三个内角的三个内角A，B，C成等差数列，成等差数列，A，B，113C的对边分别为的对边分别为a，b，c.求证：求证：. abbcabc113证明：要证证明：要证， abbcabcabcabcca即证即证3，也就是证，也就是证1， abbcabbc只需证只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)， 需证需证caacb . 又又ABC三内角三内角A，B，C成等差数列，故成等差数列，故B60， 由余弦定理，得由余弦定

15、理，得bca2 accos 60， 即即bcaac，故，故caacb成立成立 于是原等式成立于是原等式成立 222222222222反证法反证法 典例引领典例引领 11 设设a0，b0，且，且ab .证明：证明： ab(1) ab2； (2) a a2与与bb0，b0，得，得ab1. (1)由基本不等式及由基本不等式及ab1，有，有ab2 ab2，即，即ab2. (2)假设假设a a2与与bb2同时成立，则由同时成立，则由aa0，得得0a1； 同理，同理，0b1，从而，从而ab1，这与，这与ab1矛盾矛盾 故故aa2与与bb2不可能同时成立不可能同时成立 22222 用反证法证明数学命题需把握

16、的三点用反证法证明数学命题需把握的三点 (1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；必须先否定结论，即肯定结论的反面； (2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；必须依据这一条件进行推证； (3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的的 设设an是公比为是公比为q的等比数列的等比数列 (1)推导推导an的前的前n项和公式；项和公式；

17、 (2)设设q1，证明数列，证明数列an1不是等比数列不是等比数列 解：解：(1)设设an的前的前n项和为项和为Sn， 当当q1时，时，Sna1a1a1na1； 当当q1时，时，Sna1a1qa1q a1qqSna1qa1q a1q ， 得，得，(1q)Sna1a1q ， ? ?na1，q1，? ?a1（1q）n? ?所以所以Sn，所以，所以Sn a1（1q） 1q，q1.? ?1q? ?nn2n2n1， (2)证明：假设证明：假设an1是等比数列，则对任意的是等比数列，则对任意的kN， (ak11)(ak1)( ak21)， 即即2ak12 ak11akak2akak21， 2*2 2 kkk1k1k1k1a1q 2 a1q a1qa1qa1qa1q. 因为因为a10，所以，所以2 qq2kk1qk1. 因为因为q0，所以，所以q2 q10，所以，所以q1，这与已知矛盾，这与已知矛盾 所以假设不成立，故所以假设不成立，故an1不是等比数列不是等比数列 分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法