南昌大学数学物理方法期末考试c卷答案

1、精品文档精品文档南昌大学200；2009学年第二学期期末考试试卷参考答案及评分标准试卷编号：6031 (C)卷课程编号：H55020190课程名称：数学物理方法考试形式：闭卷适用班级：物理系07各专业姓名：学号:班级:题号 一A «四五六七八九+总分累分人签名题分5050100得分学院：专业：考试日期：考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更 换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。3、请仔细阅读题前的说明。、基础题(每小题10分，共50分)得分评阅人1. ( 1)计算的代数式和产的三角式.(2已知复数占1的模为 即91

2、|2，求(0解：i3(D e2(2)首先cos(3 n) i si n(3 n)o44(5 分)因为。1 iIe1 1I2cos i sin 1 (cos 1)2 si n21/2 22 2cos4sin221/21/2，所以有Ie1 1缈？。因此得忙1，即。"5分)2. (1)试说明解析与可导之间的联系与区别。(2)解析函数有那些基本性质？(3)已知解析函数f (z)的实部为x3 3xy2，试验证其虚部为3x2y fo解：(1 )解析必定可导，可导不一定解析。一(2分)(2 )解析函数的实部虚部可构成正交曲线族，且为共血调和函数。一(3分)(3) 令实部u x3 3xy2，若虚部v

3、 3x2y y3，容易验证它们的偏导数存在且连续，并且满足柯西黎曼条件，因此f (z)的虚部为3x2y y3。(5分)3. ( 1)幕级数和双边幕级数的收敛性质有什么区别?(2)给出泰勒展开的公式(3)以原点z。为展开中心，在原点z。的邻域上，将函数f (z) zez展开为泰勒级 数。解：(1)幕级数和双边幕级数分别的收敛区域分别为收敛园与环域。(3)f(z)(n)/f厥Z由 f (z) ez zez，f (z) 2ez zez，f (z) 3ez zez，容易证明f(n)(z) nez ze2，所以f(n)(0) n。同时还有f(0)勒展开公式一(2分)一(3分)0。然后由泰n!-(5 分)

4、产(o” n!i(n1)!1Zn on!4. (1)什么是孤立奇点？(2)孤立奇点可分为哪几类？并举例说明。(3)试说明f(z) e%的奇点的特点，举例说明。解：(1)孤立奇点的某一邻域不包含其它奇点。-(2分)(2)孤立奇点可分可去奇点，女口 sinz/z的奇点，极点，女口 1/z2的奇点，和本性奇点，如的奇点,一(5分)(3)当z 0时，其极限依赖于z 0的方式。例如z 0 (0 )，f(z) (0)(3分)5. 已知函数f(x)的傅里叶变换为F()，试证明f(x)的傅里叶变换为if()。1 ix证明：由于函数f(x)的傅里叶变换F() f (x)e dx，一(2 则f (x)的傅里叶变换

5、为GOFf(x) /f'(x)eixdx-(322有Hm f(x) 0，于是，上式中的第一项为0。 凶(2根据傅里叶积分定理,所以G()f(x)eixdx i F(-(3二、计算题(每小题25分，共50分)1. (1)计算函数f(z)(z1)(z2)2在其各个极点的留数(2)用留数定理计算周|z| 3oC-pp D(z5i产其中,为以原点为圆心，半径为3的(3)用留数定理计算实积分解：2 dxo0 2 Qinv解:f(z) 亿1)(Z2)2有两个极点：单极点Z1 5两阶极点Z(1留数分别为(2得分Rest (2)lim22(2 lA£(z2)2f(z)limd2 dz-(2评

6、阅人(2)积分 l2iResf(0) Resf(1).cLIimResf (0)z (z 1)(z5i)， dz (z 1)亿 5i)n 25 5Resf 呵艮宁z 1lim 11 5iz (z1)(z5i)I I Az 0 z2(z 5i)26 26(5分)所以I 21 i2526262i(1i)650 13065 325dz原积分化为IZI 2 2 dz iz|iZ 4iz 1(5(3分)分)由 z2 4iz 10得两个根乙(23)i, Z2 (23)i o但在积分围线|z| 1只有点乙是被积函数f(z) 因为 Resf(zi) lim z z(1/( z2 4iz 1)的单极点。Z1)f

7、 (z)1/(Z1 z2)1/(i2.3)(3(2根据留数定理得12 2 iResf(zJ 2/ 3-(2内， 分) 分) 分)2.(1 )试写出达朗贝尔公式，并求 解偏微分方程UttUxxto x sin x0，初始条件为解:(2)解常微分方程初值问题d? qdy出2dty"y'(o) o。注：可使用拉普拉斯变换，或其它任何方 法。若方程utt auxx11u(x,t) - (x at) - (x at)22拉普拉斯变换得,1 V sin2 xtxtCCQ -ci1 xt2 x t11 xt2 xtrnc Hd CCS一 sin x t21sinx2P y(P) 3py(p) 4y(p)1/P所以1y(p) 2P(P 3p 4)111 11 1P(P 4)( p1)20 p 45 p 1 4p-(10 分)-(3 分)一(4 分)°的初始条