初中数学专题特训第二十三讲：圆的有关概念及性质

1、中考数学专题复习其次十三讲圆的有关概念及性质【基础学问回忆】一、 圆的定义及性质：1、 圆的定义：形成性定义：在一个平面内，线段oa 绕它固定的一个端点o 旋转一周，另一个端点a 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段 oa 叫做描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合【赵老师提示：1、在一个圆中，圆打算圆的半径打算圆的2、直径是圆中的弦，弦不肯定是锥】2、弦与弧：弦：连接圆上任意两点的叫做弦弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、三类3、圆的对称性：轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴的直线都是它的对称轴中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是【赵老师提示：圆不仅是中心对称图形，而且具有

2、旋转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原先的图形重合】二、 垂径定理及推论：1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的【赵老师提示：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满意：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个， 留意解题过程中的敏捷运用2、圆中常作的帮助线是过圆心作弦的线3、垂径定理常用作运算，在半径r 弦 a 弦心 d 和弦 h 中已知两个可求另外两个】三、圆心角、弧、弦之间的关系：1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分

3、别【赵老师提示：留意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】四、 圆周角定理及其推论：1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的推论 1、在同圆或等圆中，假如两个圆周角那么它们所对的弧 推论 2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900 的圆周角所对的弦是【赵老师提示： 1、在圆中， 一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有个，它们的关系是2、 作直弦所对的圆周角是圆中常作的帮助线】五、 圆内接四边形：定义：假如一个多边形的全部顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做性质：圆内接四边形的对角【赵老师提示：圆内

4、接平行四边形是圆内接梯形是】考点一：垂径定理例 1 （ 2021.绍兴）如图， ad 为 o 的直径，作 o 的内接正三角形abc ，甲、乙两人的作法分别是：甲： 1、作 od 的中垂线，交o 于 b ， c 两点，2、连接 ab ，ac ， abc 即为所求的三角形乙： 1、以 d 为圆心， od 长为半径作圆弧，交o 于 b， c 两点2、连接 ab ，bc ， ca abc 即为所求的三角形 对于甲、乙两人的作法，可判定（）a 甲、乙均正确b 甲、乙均错误c甲正确、乙错误d 甲错误，乙正确考点： 垂径定理 ； 等边三角形的判定与性质； 含 30 度角的直角三角形专题： 运算题 分析：由甲

5、的思路画出相应的图形，连接ob ，由 bc 为 od 的垂直平分线，得到oe=de ，且 bc 与 od 垂直，可得出oe 为 od 的一半，即为ob 的一半，在直角三角形boe 中，依据始终角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到 obe 为 30°，利用直角三角形的两锐角互余得到 boe 为 60°，再由 boe 为三角形aob 的外角，且oa=ob ，利用等边对等角及外角性质得到abo 也为 30°，可得出 abc 为 60°，同理得到 acb 也为 60°，利用三角形的内角和定理得到bac 为 60°，

6、即三角形abc 三内角相等，进而 确定三角形abc 为等边三角形；由乙的思路画出相应的图形，连接ob，bd ，由 bd=od ，且 ob=od ，等量代换可得出三角形 obd 三边相等，即为等边三角形，的长boe= dbo=6°0，由 bc 垂直平分od ，根据三线合一得到 be 为角平分线，可得出 obe 为 30°，又 boe 为三角形 abo 的外角，且 oa=ob ，利用等边对等角及外角的性质得到 abo 也为 30°，可得出 abc 为 60°，同理得到 acb 也为 60°，利用三角形的内角和定理得到 bac 为 60°，

7、即三角形 abc 三内角相等，进而确定三角形 abc 为等边三角形，进而得出两人的作法都正确解答：解：依据甲的思路，作出图形如下：连接 ob，bc 垂直平分 od ，e 为 od 的中点，且 od bc ，oe=de=1od ，又 ob=od ，2在 rt obe 中， oe= 1 ob ，2 obe=3°0 boe=6°0，又 oeb=9°0 ，oa=ob ， oab= oba ， 又 boe 为 aob 的外角， oab= oba=3°0， abc= abo+ obe=6°0 ，同理 c=60°， bac=60° ， a

8、bc= bac= c， abc 为等边三角形，故甲作法正确；依据乙的思路，作图如下：连接 ob， bd ，od=bd ， od=ob ，od=bd=ob ， bod 为等边三角形， obd= bod=6°0，又 bc 垂直平分 od ， om=dm ，bm 为 obd 的平分线， obm= dbm=3°0，又 oa=ob ，且 bod 为 aob 的外角， bao= abo=3°0， abc= abo+ obm=6°0，同理 acb=60° ， bac=60° ， abc= acb= bac ， abc 为等边三角形，故乙作法正确，应

9、选 a点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，娴熟把握定理及判定是解此题的关键对应训练1（ 2021.哈尔滨）如图，o 是 abc 的外接圆， b=60°，opac 于点 p，op=23 ，就 o 的半径为（）a 43b 63c 8d 12考点： 垂径定理 ； 含 30 度角的直角三角形； 圆周角定理 专题： 运算题 分析：由 b 的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2 倍，求出 aoc 的度数，再由 oa=oc ，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出oac=3°0，

10、又 op 垂直于 ac ，得到三角形aop 为直角三角形， 利用 30°所对的直角边等于斜边的一半， 依据 op 的长得出oa 的长，即为圆o 的半径解答：解：圆心角aoc 与圆周角 b 所对的弧都为ac ，且 b=60°， aoc=2 b=120°，又 oa=oc ， oac= oca=3°0，opac ， aop=9°0 ，在 rt aop 中， op=23 ， oac=3°0，oa=2op=43 ，就圆 o 的半径 43 应选 a点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，娴熟

11、把握定理及性质是解此题的关键考点二：圆周角定理例 2（ 2021.青海）如图，ab 是 o 的直径， 弦 cd ab 于点 n，点 m 在 o 上， 1= c（1）求证： cb md ；（2）如 bc=4， sinm=2 ，求 o 的直径3考点： 圆周角定理 ；垂径定理 ；解直角三角形分析：（ 1）由 c 与 m 是bd 所对的圆周角，依据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得c= m ，又由 1= c，易得 1= m ，即可判定cb md ；（2）第一连接ac ，ab 为 o 的直径，可得acb=90° ，又由弦 cd ab ，依据垂径定理的即可求得bc =bd ，继而

12、可得 a= m ，又由 bc=4 ，sinm=2 ，即可求得 o 的直径3解答：（ 1）证明： c 与 m 是 bd 所对的圆周角， c= m ， 又 1=c， 1= m ，cb md ；（2）解：连接ac ，ab 为 o 的直径， acb=90° ，又 cd ab ， bc =bd ， a= m ，sina=sinm ，在 rt acb 中， sina= bc ，absinm= 2 ，bc=4 ，3ab=6 ，即 o 的直径为 6点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等学问此题难度适中，留意把握帮助线的作法，留意数形结合思想的应用对应训练37（ 2021.沈

13、阳）如图， o 是 abc 的外接圆，ab 是 o 的直径，d 为 o 上一点，od ac ，垂足为 e，连接 bd（1）求证： bd 平分 abc ；（2）当 odb=3°0时，求证： bc=od 考点： 圆周角定理 ；含 30 度角的直角三角形；垂径定理 专题： 证明题 分析：（ 1）由 od acod 为半径，依据垂径定理，即可得cdad ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得bd 平分 abc ；（2）第一由ob=od ，易求得 aod 的度数，又由od ac 于 e，可求得 a 的度数，然后由 ab 是 o 的直径，依据圆周角定理，可得acb=90

14、76; ，继而可证得bc=od 解答： 证明：（ 1） od acod 为半径， cdad ， cbd= abd ，bd 平分 abc ；（2） ob=od ， obd= 0db=30° ， aod= obd+ odb=3°0又 od ac 于 e，+30°=60°， oea=9°0 ， a=180°- oea- aod=18°0又 ab 为 o 的直径， acb=90° ，在 rt acb 中， bc= 1 ab ，2od= cdad ab ，-90 °-60 °=30°，bc=od

15、 点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等学问此题难度适中，留意把握数形结合思想的应用考点三：圆内接四边形的性质例 3（ 2021.深圳）如图，c 过原点，且与两坐标轴分别交于点a 、点 b，点 a 的坐标为（ 0， 3）， m 是第三象限内ob 上一点， bmo=12°0，就 c 的半径长为（）a 6b5c 3d 32考点： 圆内接四边形的性质； 坐标与图形性质；含 30 度角的直角三角形专题： 探究型 分析： 先依据圆内接四边形的性质求出oab的度数，由圆周角定理可知aob=9°0，故可得出 abo 的度数，依据直角三角形的性质即可得出ab 的长，进而

16、得出结论解答： 解：四边形abmo是圆内接四边形，bmo=12°0， bao=6°0，ab 是 o 的直径， aob=9°0 abo=9°0，- bao=9°0-60 °=30°，点 a 的坐标为（ 0， 3），oa=3 ，ab=2oa=6 ， c 的半径长 =应选 cab=32点评：此题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键对应训练3（ 2021.肇庆）如图，四边形 abcd 是圆内接四边形， e 是 bc 延长线上一点， 如 bad=105°，就

17、 dce 的大小是（）a 115 °b l05 °c 100 °d 95°考点： 圆内接四边形的性质专题： 运算题 分析：依据圆内接四边形的对角互补得到bad+ bcd=18°0，而 bcd 与 dec 为邻补角，得到 dce= bad=10°5解答： 解：四边形abcd 是圆内接四边形， bad+ bcd=18°0，而 bcd+ dce=18°0 ， dce= bad ，而 bad=10°5， dce=10°5 应选 b 点评：此题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补也考查了邻补角

18、的定义以及等角的补角相等【聚焦山东中考】1（ 2021.泰安）如图， ab 是 o 的直径，弦cd ab ，垂足为 m ，以下结论不成立的是（）a cm=dmbcbdbc acd= adcd om=md考点： 垂径定理 专题： 运算题 分析： 由直径 ab 垂直于弦cd ，利用垂径定理得到m 为 cd 的中点， b 为劣弧 cd 的中点，可得出 a 和 b 选项成立，再由am 为公共边，一对直角相等，cm=dm ，利用 sas 可得出三角形 acm 与三角形adm 全等，依据全等三角形的对应角相等可得出选项c 成立，而om 不肯定等于md ，得出选项d 不成立解答：解： ab 是 o 的直径，

19、弦cd ab ，垂足为m ，m 为 cd 的中点，即cm=dm ，选项 a 成立；b 为 cd 的中点，即cbdb ，选项 b 成立；在 acm 和 adm中，amamamcamd cmdm90， acm adm （ sas）， acd= adc ，选项 c 成立；而 om 与 md 不肯定相等，选项d 不成立应选 d点评： 此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为： 垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，娴熟把握垂径定理是解此题的关键2（ 2021.东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），如不计木条的厚度，其俯视图如图2 所示，已知ad 垂直平分bc，

20、ad=bc=48cm ，就圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是cm2 30考点： 垂径定理的应用； 勾股定理 分析：当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于abc ；连接外心与b 点，可通过勾股定理即可求出圆的半径解答：解：连接ob，如图，当 o 为 abc 的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大ad 垂直平分bc ， ad=bc=48cm ，o 点在 ad 上， bd=24cm ；在 rt 0bd 中，设半径为r，就 ob=r ， od=48-r ，r 2=（48-r ）2+242 ，解得 r=30 即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm 故答案为： 30点评：此题考查把实物图转化为几何图形

21、的才能以及勾股定理，垂径定理的争论和勾股定理3（ 2021.泰安）如图，在半径为5 的 o 中，弦 ab=6 ，点 c 是优弧 ab 上一点（不与a ，b 重合），就cosc 的值为435考点： 圆周角定理 ；勾股定理 ；垂径定理 ； 锐角三角函数的定义分析：第一构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出bd 的长，再利用cosc=cosd= bd 求ad出即可解答：解：连接ao 并延长到圆上一点d ，连接 bd ，可得 ad 为 o 直径，故 abd=90° ，半径为5 的 o 中，弦 ab=6 ，就 ad=10 ，bd=ad 2ab210262 =8， d= c，cosc=cosd=

22、bdad故答案为：4 584=，105点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，依据已知构造直角 三角形 abd 是解题关键4（ 2021.青岛） 如图， 点 a、b 、c 在 o 上，aoc=60°，就 abc 的度数是4.150 °考点： 圆周角定理 分析：第一在优弧adc 上取点 d ，连接 ad ，cd ，由圆周角定理，即可求得adc 的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案解答：解：在优弧adc 上取点 d ，连接 ad ，cd ， aoc=6°01 adc=2， aoc=3°0， abc+ adc=18°

23、0， abc=18°0- adc=18°0-30 °=150°故答案为： 150°点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题比较简洁， 留意把握帮助线的作法【备考真题过关】一、挑选题1（ 2021.无锡）如图，以m （-5， 0）为圆心、 4 为半径的圆与x 轴交于 a 、b 两点， p 是m 上异于 a 、b 的一动点，直线pa、pb 分别交 y 轴于 c、d ，以 cd 为直径的 n 与 x轴交于 e、f，就 ef 的长（）a 等于 42b等于 43c等于 6d 随 p 点位置的变化而变化考点： 垂径定理 ； 勾股定理 ； 相像

24、三角形的判定与性质专题： 运算题 分析：连接ne ，设圆 n 半径为 r，on=x ，就 od=r-x ，oc=r+x ，证 obd oca ，推出 oc： ob=oa ：od ，即（ r+x ）： 1=9 ：（ r-x ），求出r2-x 2=9 ，依据垂径定理和勾股定理即 可求出答案解答：解：连接ne，设圆 n 半径为 r，on=x ，就 od=r-x ， oc=r+x ，以 m （ -5， 0）为圆心、 4 为半径的圆与x 轴交于 a 、b 两点，oa=4+5=9 ， 0b=5-4=1 ，ab 是 m 的直径， apb=90° （直径所对的圆周角是直角）， bod=9°

25、0， pab+ pba=90° ， odb+ obd=9°0， pba= obd ， pab= odb ， apb= bod=9°0， obd oca ，ocoa，obod即 rx9，1rx解得：（ r+x ）（ r-x ） =9，r2-x 2=9 ，由垂径定理得：oe=of ， oe2=en 2-on 2=r 2-x 2=9，即 oe=of=3 ，ef=2oe=6 ，应选 c点评： 此题考查了勾股定理，垂径定理，相像三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出 oe=of 和 r2-x 2=9 ，主要考查同学运用定理进行推理和运算的才能2（ 2021.陕西）如图

26、，在半径为5 的 o 中， ab 、cd 是相互垂直的两条弦，垂足为p，且 ab=cd=8 ，就 op 的长为（）a 3b 4c 32d 42考点： 垂径定理 ； 勾股定理 分析：作 om ab 于 m ， on cd 于 n，连接 op，ob，od ，第一利用勾股定理求得om 的长，然后判定四边形ompn 是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得om 的长 解答：解：作om ab 于 m ，on cd 于 n，连接 op， ob ， od ，由垂径定理、勾股定理得：om=52弦 ab 、 cd 相互垂直， dpb=90° ，42 =3 ，om ab 于 m ， on cd 于 n，

27、 omp= onp=9°0四边形monp 是正方形，op=32应选 c点评：此题考查了垂径定理及勾股定理的学问，解题的关键是正确地作出帮助线3（ 2021.黄冈）如图， ab 为 o 的直径，弦cd ab 于 e，已知 cd=12 ，be=2 ，就 o的直径为（）a 8b 10c 16d 20考点： 垂径定理 ； 勾股定理 分析：连接oc ，可知，点e 为 cd 的中点，在rtoec 中， oe=ob-be=oc-be，依据勾股定理，即可得出oc，即可得出直径解答：解：连接oc，依据题意，1ce=cd=6 ， be=2 2在 rt oec 中，设 oc=x ，就 oe=x-2 ，故：

28、（ x-2） 2+62=x 2解得： x=10即直径 ab=20 应选 d 点评：此题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形4（ 2021.河北）如图， cd 是 o 的直径， ab 是弦（不是直径），ab cd 于点 e，就以下结论正确选项（）a ae beb adbcc d=1 aecd ade cbe2考点： 垂径定理 ； 圆周角定理 ；相像三角形的判定分析：依据垂径定理及相像三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可解答：解： cd 是 o 的直径， ab 是弦（不是直径），ab cd 于点 e，ae=be ， acbc ，故 a 、b 错误； ae

29、c 不是圆心角，1 d2 aec ，故 c 错误； ceb= aed ， dae= bce ， ade cbe ，故 c 正确 应选 d 点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理、相像三角形的判定，难度不大，是基础题5（ 2021.重庆）已知：如图，oa ，ob 是 o 的两条半径，且oa ob ，点 c 在 o 上，就 acb 的度数为（）a 45°b 35°c 25°d 20°考点： 圆周角定理 专题： 探究型 分析：直接依据圆周角定理进行解答即可解答：解： oa ob ， aob=9°01 acb=2， aob=4°5应选 a 点评

30、： 此题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半6（ 2021.云南） 如图， ab 、cd 是 o 的两条弦， 连接 ad 、bc如 bad=60°，就 bcd的度数为（）a 40°b 50°c 60°d 70°考点： 圆周角定理 分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得bcd 的度数解答：解：bad 与 bcd 是 bd 对的圆周角， bcd= bad=60° 应选 c点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简洁，留意把握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角

31、相等定理的应用，留意数形结合思想的应用7（ 2021.襄阳） abc 为 o 的内接三角形， 如 aoc=160°，就 abc 的度数是 （）a 80°b 160 °c100 °d 80°或 100 °考点： 圆周角定理 分析：第一依据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案abc 的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得abc的度数解答：解：如图，aoc=16°0， abc= 1 aoc= 1 ×160 °=80 °，22 abc+ abc=180°， abc=180°-

32、 abc=18°0-80 °=100° abc 的度数是： 80°或 100°应选 d 点评： 此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质此题难度不大， 留意数形结合思想与分类争论思想的应用，留意别漏解8（ 2021.泸州）如图，在abc 中， ab 为 o 的直径， b=60°， bod=100°，就 c的度数为（）a 50°b 60°c 70°d 80°考点： 圆周角定理 分析： 由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得 a 的度数，然后由三角

33、形的内角和定理，即可求得c 的度数解答：解：bod=10°0， a= 1 bod=5°0，2 b=60°， c=180°- a- b=70°应选 c点评： 此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理此题难度不大， 留意把握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键二、填空题9（ 2021.朝阳）如图， ab 为 o 的直径， cd 为 o 的一条弦， cd ab ，垂足为e，已知 cd=6 ， ae=1 ，就 0 的半径为9 5考点： 垂径定理 ； 勾股定理 =（ r-1）分析：连接od ，由垂径定

34、理得求出de，设 o 的半径是r，由勾股定理得出r22+32，求出 r 即可 解答：解：连接 od ，ab cd ， ab 是直径，由垂径定理得：de=ce=3 ，设 o 的半径是 r，在 rt ode 中，由勾股定理得：od 222，即 r222，解得： r=5，故答案为： 5=oe+de=（ r-1） +3点评：此题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了方程思想，题目比较好，难度适中10（ 2021.成都）如图， ab 是 o 的弦， oc ab 于 c如 ab=23 ，0c=1，就半径 ob的长为10 2考点： 垂径定理 ； 勾股定理 专题： 探究型 分析：先依据垂径定理得出bc 的长，再

35、在rt obc 中利用勾股定理求出ob 的长即可解答：解： ab 是 o 的弦， oc ab 于 c，ab=23 ，bc= 1 ， ab=3 ，20c=1 ，在 rt obc 中，2222ob=ocbc132 故答案为： 2点评：此题考查的是垂径定理及勾股定理，先求出bc 的长，再利用勾股定理求出ob 的长是解答此题的关键11（ 2021.嘉兴）如图，在o 中，直径 ab 丄弦 cd 于点 m ，am=18 ，bm=8 ，就 cd 的长为11 24考点： 垂径定理 ； 勾股定理 专题： 探究型 分析：连接od ，由 am=18 ，bm=8可求出 o 的半径，利用勾股定理可求出md 的长，再依据

36、垂径定理即可得出cd 的长解答：解：连接od ，am=18 ， bm=8 ，od=ambm188=13 ，2om=13-8=5 ，在 rt odm 中， dm=直径 ab 丄弦 cd ，2od2om 21325212 ，ab=2dm=×212=24 故答案为： 24点评： 此题考查的是垂径定理及勾股定理，依据题意作出帮助线，构造出直角三角形是解答此题的关键12（2021.株洲） 已知： 如图，在 o 中，c 在圆周上， acb=45°，就 aob=12 90°考点： 圆周角定理 分析：由在 o 中， c 在圆周上， acb=45° ，依据在同圆或等圆中，

37、同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得aob 的度数解答：解：在o 中， c 在圆周上， acb=45° ， aob=2 acb=2× 45°=90°故答案为： 90°点评： 此题考查了圆周角定理此题比较简洁，留意把握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，留意数形结合思想的应用13（ 2021.玉林）如图，矩形oabc内接于扇形mon ，当 cn=co时， nmb的度数是13 30°考点： 圆周角定理 ；含 30 度角的直角三角形；矩形的性质 分析： 第一连接 ob，由矩形

38、的性质可得boc 是直角三角形， 又由 ob=on=2oc ，boc的度数，又由圆周角定理求得nmb 的度数解答：解：连接ob，cn=co ，ob=on=2oc ，四边形 oabc 是矩形， bco=9°0 ，oc1cos boc=，ob2 boc=6°0 ， nmb= 1 boc=3°02故答案为： 30°点评： 此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特别角的三角函数值此题难度适中， 留意帮助线的作法，留意数形结合思想的应用14（ 2021.义乌市）如图，已知点a （0， 2）、 b （ 23 ， 2）、 c（ 0， 4），过点c 向右作平行于x 轴的射

39、线，点p 是射线上的动点，连接ap，以 ap 为边在其左侧作等边apq ，连接 pb、ba 如四边形abpq 为梯形，就：（1）当 ab 为梯形的底时，点p 的横坐标是；（2）当 ab 为梯形的腰时，点p 的横坐标是214（ 1）3 ，（ 2） 0 或 233考点： 圆周角定理 ；等边三角形的性质；梯形 ； 解直角三角形 专题： 几何综合题 分析：第一依据题意画出符合题意的图形，（1）当 ab 为梯形的底时，pq ab ，可得 q在 cp 上，由 apq 是等边三角形，cp x 轴，即可求得答案；（2）当 ab 为梯形的腰时， aq bp，易得四边形abpc 是平行四边形， 即可求得cp 的长

40、，继而可求得点p 的横坐标解答：解：（ 1）如图 1：当 ab 为梯形的底时，pqab ，q 在 cp 上， apq 是等边三角形，cp x 轴，ac 垂直平分pq，a （ 0， 2）， c（ 0，4），ac=2 ，pc=ac.tan30°=2×323，32当 ab 为梯形的底时，点p 的横坐标是：23 ；2（2）如图 2，当 ab 为梯形的腰时，aq bp，q 在 y 轴上，bp y 轴，cpx 轴，四边形 abpc 是平行四边形，cp=ab=23 ，如图 3，当 c 与 p 重合时，a （ 0， 2）、 b（ 23 ， 2），23tanapc=3 ，2 apc=60&#

41、176; ， apq 是等边三角形， paq=6°0 ， acb= paq ，aq bp，当 c 与 p 重合时，四边形abpq 以 ab 为要的梯形，此时点 p 的横坐标为0；当 ab 为梯形的腰时，点p 的横坐标是： 0 或 23 2故答案为：（ 1）3 ，（ 2）0 或 23 3点评： 此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质此题难度适中， 解题的关键是依据题意画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解115（ 2021.鞍山）如图，abc 内接于 o，ab 、cd 为 o 直径，de ab 于点 e，sina=，2就 d 的度数是15.30 °考点： 圆周角定理 ；

42、特别角的三角函数值 专题： 运算题 分析： 由圆周角定理、 特别角的三角函数值求得cab=30° ；然后依据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得eod= cob=6°0形 ode 中求得 d 的度数 解答：解： ab 为 o 直径， acb=90° （直径所对的圆周角是直角）；最终在直角三角1又 sina=，2 cab=30° ， abc=60° （直角三角形的两个锐角互余）；又点 o 是 ab 的中点，oc=ob ， ocb=obc=°60， cob=6°0 ， eod= cob=6°

43、0又 de ab ， d=90°-60 °=30°故答案是： 30°（对顶角相等）；点评：此题综合考查了圆周角定理、特别角的三角函数值解题时，留意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一学问点的利用三、解答题16（ 2021.荆门）如下列图为圆柱形大型储油罐固定在u 型槽上的横截面图 已知图中 abcd为等腰梯形（ ab dc ），支点 a 与 b 相距 8m，罐底最低点到地面cd 距离为 1m设油罐横截面圆心为o，半径为 5m， d=56°，求： u 型槽的横截面（阴影部分）的面积（参考数据： sin53 ° 0，.8tan56

44、 ° 1，.5，3结果保留整数）考点： 垂径定理的应用； 勾股定理 ； 等腰梯形的性质； 解直角三角形的应用分析：连接ao 、bo 过点 a 作 ae dc 于点 e，过点 o 作 on dc 于点 n， on 交 o于点 m ，交 ab 于点 f，就 of ab ，先依据垂径定理求出af 的值，再在在rt aof 中利用锐角三角函数的定义求出aob 的度数，由勾股定理求出of 的长，依据四边形abcd 是等腰梯形求出ae 的长，再由s 阴=s 梯形 abcd -（ s 扇 oab -soab ）即可得出结论解答：解：如图，连接ao 、bo过点 a 作 ae dc 于点 e，过点 o

45、 作 on dc 于点 n ，on 交 o 于点 m ，交 ab 于点 f就 of ab oa=ob=5m ， ab=8m ，af=bf=1 ab=4 （ m）， aob=2 aof ，2在 rt aof 中， sin aof=af=0.8=sin53 ，°ao aof=53° ，就 aob=10°6，of=oa2af 2=3（ m），由题意得：mn=1m ，fn=om-of+mn=3（ m），四边形 abcd是等腰梯形，ae dc ， fn ab ，ae=fn=3m ， dc=ab+2de 在 rt ade 中， tan56 °= ae3 ，de210

46、62×5-13602de=2m ， dc=12m s 阴=s 梯形 abcd -（ s 扇 oab -soab ） =答： u 型槽的横截面积约为20m21 （ 8+12） ×3-（2×8×3） =20（ m2）点评： 此题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，依据题意作出帮助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键17（ 2021.南通）如图， o 的半径为17cm，弦 ab cd， ab=30cm ，cd=16cm ，圆心 o位于 ab ， cd 的上方，求ab 和 cd 的距离考点： 垂径定理 ； 勾股定理 专题： 探究型

47、 分析：过点o 作弦 ab 的垂线，垂足为e，延长 ae 交 cd 于点 f，连接 oa ，oc ；由于ab cd ，就 ofcd ， ef 即为 ab 、cd 间的距离；由垂径定理，易求得ae 、cf 的长，可连接 oa 、odc 在构建的直角三角形中，依据勾股定理即可求出oe、 of 的长，也就求出了 ef 的长，即弦ab 、cd 间的距离解答：解：过点o 作弦 ab 的垂线，垂足为e，延长 ae 交 cd 于点 f，连接 oa ， oc，ab cd ，of cd ，ab=30cm ， cd=16cm ，ae=1ab=21×30=15cm， cf=21cd=21×16=

48、8cm ，2在 rt aoe 中，2222oe=oaae1715=8cm ，在 rt ocf 中，2222of=occf178=15cm ，ef=of-oe=15-8=7cm 答： ab 和 cd 的距离为7cm点评： 此题考查的是勾股定理及垂径定理，依据题意作出帮助线，构造出直角三角形是解答此题的关键18（ 2021.宁夏）在 o 中，直径 ab cd 于点 e，连接 co 并延长交 ad 于点 f，且 cf ad 求d 的度数考点： 垂径定理 ； 等边三角形的判定与性质分析：连接bd ，依据平行线的性质可得：bd cf，就 bdc= c，依据圆周角定理可得bdc=1 boc ，就 c=1 boc ，依据直角三角形的两个锐角互余即可求解22解答：解：方法一：连接bd ab o 是直径，bd ad又 cf ad ，bd cf， bdc= c又 bdc= 1 boc ，2 c= 1 boc 2ab cd ， c=30°， adc=6°0方法二：设 d=x ，cf ad ， ab cd ， a= a ， afo aed ， d= aof=x ， adc=2 adc=2x ，x+2x=180 ，x=60 ， ad