初中数学九年级上册《一元二次方程》热门应用题

1、一元二次方程的热门应用题一、面积问题例 1张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15 米 3 的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米现已知购买这种铁皮每平方米需20 元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？解：设这种运输箱底部宽为x 米，就长为（ x+2 ）米依题意，得x（ x+2 ）×1=15化简，得x2+2x-15=0 解之，得 x1=3， x2=-5 （不合题意，舍去） 所以这种运输箱底部长为 5 米，宽为 3 米由长方体绽开图知，购买的矩形铁皮面积为（ 5+2 ）×（

2、 3+2 ） =35（米 2）故购回这张矩形铁皮要花35×20 700 元钱 点评：此题要深刻懂得题意中的已知条件，弄清各数据的相互关系，布列方程，并正确打算一元二次方程根的取舍问题解决此类问题要善于运用转化的思想方法，将实际问题转化为数学问题二、数字问题两个数的和等于6,积等于 8,求这两个数 .三、销售利润问题例 2某种新产品进价是120 元，在试销阶段发觉每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：（ 1）请你依据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量削减的数量（件）之间的关系（ 2）在不转变上述关系的情形下，请你帮忙商场经理策划每件商品定价为多少元

3、时，每日盈利可达到1 600 元？解：（ 1）由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨 1 元，其日销量就削减1 件（ 2）设每件产品涨价x 元，就销售价为（130+x）元， 日销量为（ 70-x ）件由题意，得 （ 130+x） -120（ 70-x） =1 600 ，解得 x1=x2=30， 130+30=160 （元）答：每件商品定价为160 元时，每日盈利达到1 600 元点评：随着市场经济的日益富强，市场竞争更是激烈因此， “销售问题 ”仍将是人们关注的焦点，仍会被搬上中考试卷这不仅较好地锤炼了同学分析问题、解决问 题的才能，而且让同学们真正体会到数学的珍贵价值值 得说明的是，第（2

4、）小题仍可以用表格中其它两组数据列出方程，结果相同，同学们不妨试一试四、旅行消费问题例 3（南通市）据5 月 8日南通日报报道：今年“五一 ”黄金周期间，我市实现旅行收入再创历史新高， 旅行消费出现多样化，各项消费所占比例如下图所示，其中住宿消费为3 438.24 万元（ 1）求我市今年 “五一 ”黄金周期间旅行消费共多少亿元？旅行消费中各项消费的中位数是多少万元？（ 2）对于 “五一 ”黄金周期间的旅行消费，假如我市要达到 3.42 亿元的目标，那么，到 的平均增长率是多少？解：（ 1）由图知，住宿消费为3438.24万元，占旅行消费的 22.62， 所以消费共3 438.24 ÷

5、22.62 15 200（万元） =1.52（亿元）所以交通消费为15 200 ×17.56 2 669.12（万元）所以我市今年“五一 ”黄金周期间旅行消费中各项消费的中位数是（ 3 438.24 2 669.12） ÷2 3 053.68（万元）（ 2）设到 旅行消费的年均增长率为x，就 1.52（ 1+x ） 2=3.42得 x1=0.5=50 ， x2=-2.5（舍去）所以到 旅行消费的平均增长率为50点评：此题考查通过统计图猎取信息的才能及用方程的思想解决实际问题的才能第（ 2）小题求年平均增长率，因此属增长率问题在解答这类题时应当把握其基本关系式：结果量（增长率

6、）n×基础量；结果量（1-降 低率） n×基础量（其中n 为增长或降低次数） 五、节省与环保问题例 4 （宜昌课改试验区）我国人均用纸为 28 公斤， 每个中学毕业生离校时大约有 10 公斤废纸；用 1 吨废纸造出来的再生好纸，所能节省的造纸木材相当于 18 棵大树， 而平均每亩森林只有 50 至 80 棵这样的大树（ 1）如我市中学毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（ 2）宜昌市从初开头实施自然林爱护工程，到初成效显著，森林面积大约由1374.094 万亩增加到1500.545万亩假设该地区

7、年用纸量的15% 可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为 415万人运算：在从初到初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能爱护的森林面积之和最多可能达到多少亩（精确到1 亩）？解：（ 1）5 万名中学毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为5×104×10÷1 000 ×18÷80=112.5（亩）（ 2）设到 初我市森林面积年均增长率为x， 就 1 374.094（ 1+x ） 2=1 500. 45故 x1=0.045=4.5% ， x2=-2.045 （舍去）所以初到初全年新增森林面积：1

8、500.545 ×104×（ 1+4.5） 2×4.5 737 385（亩）又全市回收废纸所能爱护的森林面积最多为415×104×28× 5 ÷ 1 000 × 18÷ 50 6（2亩75）新增森林面积和爱护森林面积之和为：737 385+6 275=743 660 （亩）点评：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的才能，仍对同学们发扬节省精神、增强环保意识起到潜移默化的北作用a东六、航海问题某军舰以20 节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以30 节的速度由南向北航行 ,它能侦察出四周50 海里b包括

9、50 海里 范畴内的目标.如图 ,当该军舰行至a 处时 ,电子侦察船正位于 a 处的正南方向的b 处,瓶 ab=90 海里 .假如军舰和侦察船仍按原先速度沿原方向连续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰.假如能 ,最早何时能侦察到.假如不能 ,请说明理由 .七、 图表信息应用问题单一图象信息的应用问题：例 1美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来通过拆旧房，植草、栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，如图1，（ 1）依据图中供应的信息，回答以下问题：底的绿地面积为公顷；比 底增加了公顷；在 、 、 这三年中绿地面各增加最多的一年是；（ 2）为了

10、满意城市进展的需要，方案在底使绿地面积达到 72.6 公顷，试求、 两年绿地面积的年平均增长率；解析： 环境爱护是当今社会的一个热点点问题；此题主要考查在阅读、 懂得、读图的基础上用一元二次方程解决实际问题的才能； 仔细观看图象从中猎取有用的信息是解题的关键；解：（ 1） 60， 4， 2004；（ 2 ）设平均增长率为x ，由题意得601x272.6 ，即1x21.21 ； x112,1x1.1,x10.1, x22.1（不合题意舍去） ；答：略；多个图象信息的应用问题：例 2某开发区为改善居民的住房条件，第年都新建一批 住 房 ， 人 均 住 房 面 积 逐 年 增 加 （ 人 均 住 房

11、 面 积该区住房面积=该区人口总数，单位：平方米/ 人 ），该开发区至 ，每年年底人口总数和人均住房面积统计结果如图2（ 1），（ 2）请依据上面两图所供应的信息解答下面问题：（ 1）该区 2004 和 2005 两年中哪一年比上年增加的住房面积多？多增加了多少？（ 2）由于经济进展的需要，估计底，该区居民将增加2 万人，住房面积要达到13 平方米 /人，试求2006 和 2007这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？ 解析：由于此题是两个图象的组合，所以应把两个图形结合起来猎取猎取信息；解：（ 1） 比 增加住房面积20×10-18 ×9.6=27.2； 比

12、2005增加住房面积18×9.6-17 ×9=19.8 ；多增加了： 27.2-19.8=7.4（万平方米） ；（ 2）设住房总面积的年平均增长率应达到x,由题意得：220（0 1x）13202， 即 20（0 1x）2286， 解 得 ：（1x）21.43 ，x10.196, x22.196（不合题意舍去） ；所以 2006 和 2007 这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到 19.6% ；一元二次方程应用新题型一、条件探求型例 1要建一个面积为150m2 的长方形养鸡场，为了节省材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三 边用竹篱笆围成，假如篱笆的长为35m

13、（ 1）求鸡场的长与宽各是多少？（ 2）题中，墙的长度a 对题目的解起着怎样的作用？ 分析：第（ 2）小题着眼于作为条件显现的常数a，探索这一条件对题目的解有何影响，需依据第（1）小题的结 果进行争论解：（ 1）设平行于墙的一边长为xm，就另一边的长为35x ， 2依据题意，得35x x2150 ，解得 x1=15， x2=20当 x=15 时， 35x10 ；当 x=20 时， 35x15 222答：略（ 2）由题意可知： 当 a<15 时， 此题无解； 当 15a<20时，此题只有一个解；当a20 时，此题有两解二、方案设计型例 2某中学有一块长为am，宽为 bm的矩形场地，方

14、案在该场地上修筑宽都为2米的两条相互垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪（ 1）如图 1，请分别写出每条道路的面积（用含a 或含 b 的代数式表示） ；（ 2）已知a b=2 1，并且四块草坪的面积之和为 312m2，试求原先矩形场地的长与宽各为多少米？（ 3）在（ 2）的条件下，为进一步美化校内，依据实际情形，学校打算对整个矩形场地作如下设计（要求同时 符合下述两个条件） ：条件：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必需分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13m2；条件：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形请你画出符合上述设计方案的一

15、种草图（不必说明画法与依据），并求出每个菱形花圃的面积解：（ 1）这两条道路的面积分别为2am2 与 2bm2（ 2）设 b=xm，就 a=2xm， 依题意，得2x·2x - （ 2x+4x-4 ） 312 整理，得x -3x-154=0，解得 x1=14， x2=-11 （舍去） 所以 b=14，a=2x=28 即矩形的长为28m，宽为 14m（ 3）符合设计方案的一种草图如图2 所示，其中四个菱形花圃中，第1 个与第 2 个，第 3 个与第 4 个花圃的面积分别相等设 ae x，就 fb=14-2-x=12-x（ m）， ag28213（ m）2依题意，得113 x1 12x13

16、13 22解得 x=7（ m）所以大菱形花圃的面积为171345.5 （ m2），2小菱形花圃的面积为11271332.5 （ m2）2（注：其他符合设计方案的三种花圃见图3，图 4，图 5 ，同上法仍可求得大、小花圃的面积分别为45.5m2 与32.5m2）三、创意自编型例 3编一道关于增长率的一元二次方程应用题，并解答编题要求：（ 1）题目完整，题意清晰；（ 2）题意与方程的解都要符合实际；分析：题目只给出大致的编题要求，可视为一种情境，除此以外的内容，诸如条件、解法、结果等均未确定，需 要自行设置，属于综合开放题的范畴由于是编题，我们可以先依据要求列出方程，为了使应用题好编并且便于运算，

17、尽量使题目中的已知数据和结果都是整数，比如预定方程为： 100（ 1+x） 2=144据此编一道应用题为：某钢厂 7 月份产值为100 万元，方案9 月份产值可达144万元那么，这两个月的产值平均每月的增长率是多少？一元二次方程解法的综合应用一、与不等式学问的综合应用例 1 证明关于 x 的方程 （ m2-8m+17 ）x2+2mx+1=0 不论 m 为何值时，都是一元二次方程分析：方程含二次项系数，要证明 “不论 m 为何值时， 方程都是一元二次方程 ”，只需证明二次项系数 m2-8m+17的值不等于 0证明：由于二次项系数m2-8m+17 m2-8m+16+1=（ m-4） 2+1，又由于

18、（ m-4 ） 20，所以（ m-4 ） 2 1 0，即 m2-8m+17 0所以不论m 为何值时，原方程都是一元二次方程二、与题目中隐含条件的综合应用例 2如关于 x 的一元二次方程 （ m-1 ）x2+3m 2x+（ m+3）（ m-1） =0 有一个根是0，就 m 的值为（） -3 或 1 3 或 -1 -3 1分析： 由题意知， 0 是方程的根， 故由根的定义知： x=0 满意方程，所以把x=0 代入原方程，得（m+3 ）（ m-1）=0，故 m=-3 或 m=1，但题设明确指出是关于x 的一元二次方程，因此隐含了条件m-10，即 m1，故正确答案为c三、与三角形三边关系定理的综合应用 例 3请依据下面的解题过程回答疑题一个三角形的两边