初中数学二次函数的应用

1、二次函数的应用目标指引1运用二次函数的学问去分析问题、解决问题，.并在运用中体会二次函数的实际意义2体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题3经受把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，.学会运用这种 “转化 ”的数学思想方法要点讲解1在详细问题中经受数量关系的变化规律的过程，.运用二次函数的相关学问解决简洁的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型2运用函数思想求最值和数形结合的思想方法讨论问题学法指导1当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，.建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应留意两点：（1）变量的取值范畴； （ 2） .求最值时，宜用

2、配方法2有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，.再利用函数最值的学问求函数值，并依据问题的实际情形作答例题分析【例 1】如图，在 abc 中， b=90°，ab=6cm ，bc=12cm ，点 p 从点 a 开头， .沿着 ab 向点 b 以 1cm/s 的速度移动；点q 从点 b 开头，沿bc 边向点 c 以 2cm/s 的速度移动，.设 p， q 同时动身，问：（ 1）经过几秒后p， q 的距离最短？（ 2）经过几秒后pbq 的面积最大？最大面积是多少？【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts，明显 ap 和 bq. 的长度分别为ap=t ， bq=2t

3、 （0 t ）6pq 的距离pq=bp2bq2 =5t 212t36 因此，只需求出被开方式 5t212t+36 的最小值，就可以求p， q 的最短距离【解】（ 1）设经过ts 后 p， q 的距离最短，就：122222 pq=bpbq=6t 2t =5t12t36 =5t6 2144经过556s 后， p， q 的距离最短5（ 2）设 pbq 的面积为s，1就 s=21bp·bq=2（ 6 t） ·2t=6t t2=9（ t 3）2当 t=3 时， s 取得最大值，最大值为9即经过 3s 后， pbq 的面积最大，最大面积为9cm2【留意】 对于动点问题， 一般采纳 “以

4、静制动 ”的方法， 抓住某个静止状态，查找等量关系 在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要留意自变量的取值范畴【例 2】某高科技进展公司投资1500 万元，胜利研制出一种市场需求较大的高科技替代产品， 并投入资金500 万元进行批量生产已知生产每件产品的成本为40 元，在销售过程中发觉：当销售单价定为100 元时，年销售量为20 万件；销售单价如增加10 元，年销售量将削减1 万件设销售单价为x （元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额生产成本投资） 为 z（万元）（ 1）试写出y 与 x 之间的函数关系式（不必写出x 的取值范畴） ；（ 2）试写出z 与 x 之间的函

5、数关系式（不必写出x 的取值范畴） ；（ 3）运算销售单价为160 元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，.销售单价仍可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？（ 4）公司方案： 在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售； .其次年的年获利额不低于 1130 万元，请你借助函数的大致图象说明，其次年的销售单价 x （元） .应确定在什么范畴？【分析】此题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导同学主动关怀和参加日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程学问来解题1【解】（ 1）依题意知：当销售单价定为x 元时，年销量削减10（x

6、 100）万件21 y=2010（ x 100） = 110x+30 1即 y 与 x 之间的函数关系式是y= 10（ 2）由题意可得：x+30 1z= （ 30101x）（ x 40） 500 1500=10x2+34x 3200 1即 z 与 x 之间的函数关系式为z=10（ 3）当 x=160 时，x2 +34x 32001z= 10×1602+34 ×160 3200= 320，1 320=10x 2+34x 3200 ，即 x2 340x+28800=0 b由 x1+x 2=a得， 160+x=340 ， x=180 即得到同样的年获利额，销售单价仍可以定为180

7、 元1当 x=160 时， y= 101当 x=180 时， y= 10×160+30=14 ，×180+30=12 所以相应的年销售量分别为14 万件和 12 万件1（ 4） z= 10x 2+34x 3200= 110（ x 170） 2 310，当 x=170 时， z 取得最大值为310即当销售单价为170 元时， 年获利额最大， 并且到第一年底公司仍差310 万元就可以收回全部投资其次年的销售单价定为x 元时，就年获利额为：1z （=30101x ）（ x 40） 310= 10x2+34x 1510当 z =113时0 ，即 1130= 解得 x1=120， x

8、 2=2201 x 2+34x 1510，103函数 z= 110x 2+34x 1510 的大致图象如下列图由图象可看出：当 120 x 22时0， z 1130其次年的销售单价应确定在不低于120 元且不高于220 元的范畴内练习提升 一、基础训练1函数 y=2x24 x5 的最大值是 2炮弹从炮口射出后飞行的高度h（米）与飞行的时间t（秒）之间的函数关系式为h=v 0tsin 5t2，其中 v 是发射的初速度，是炮弹的发射角，当v0 =300 米/秒， =30时°，炮弹飞行的最大高度为 米，该炮弹在空中飞行了 秒落到地面上3如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽ab=1.6 米时

9、，涵洞顶点o 到水面的距离为2.4 米，在图中的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式为 4如图，直角三角形aob 中， ab ob ，且 ab=ob=3 ，设直线x=t. 截此三角形所得阴影部分的面积为s，就 s 与 t 之间的函数关系的图象为（）45如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4 米，顶部距地面的高度为4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4 米， .该车要想通过此门，装货后的最 大高度应小于（）a 2.80 米b 2.816 米c 2.82 米d 2.826 米16如图，今有网球从斜坡oa 的点 o 处抛出， .网球的抛物路线的函数关系是y=4

10、x 2x2，斜坡的函数关系是y= 12x2，其中 y 是垂直高度，x 是与点 o 的水平距离（ 1）求网球到达的最高点的坐标；（ 2）网球落在斜坡上的点a 处，写出点a 的坐标7某水果批发商销售每箱进价为40 元的苹果， .物价部门规定每箱售价不得高于55 元，市场调查发觉，如每箱以50 元的价格出售，平均每天销售90 箱，价格每提高1 元，平均每天少销售 3 箱（ 1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元 /箱）之间的函数关系式；（ 2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x（元 /箱）之间的函数关系式；（ 3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？58

11、如下列图，一位运动员在距篮圈 4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5m 时，达到最大高度 3.5m，然后精确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m（ 1）建立如下列图的坐标系，求抛物线的解析式；（ 2）该运动员身高1.8m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少？二、提高训练9如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是y=ax 2； y=bx 2； . y=cx 2； y=dx 2就a， b，c， d 的大小关系为（）a a>b>c>db a<c<b<dc a>c>

12、b>dd d>c>b>a10为备战世界杯， 中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m 处挑射，.正好射中了24m高的球门横梁， 如足球运行的路线是抛物线y=ax 2+bx+c（如图）.有以下结论： a+b+c>0 ；160<a<0； a b+c>0； 0<b< 12a其中正确的结论是（）a bcd 11如图，在矩形abcd 中， ab=6cm ，bc=12cm ，点 p 从点 a 动身，沿 ab 边向点 b 以 1cm/s的速度移动，同时点q 从点 b 动身沿 bc 向点 c 以 2cm/s 的速度移动，回答以下问题：6（ 1）

13、设运动后开头第t 秒时，五边形apqcd 的面积为s（单位：厘米2），写出 s 与 t.之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范畴；（ 2） t 为何值时s 最小？并求出s 的最小值12如图，有一边长为5cm 的正方形abcd和等腰 pqr， pq=pr=5cm ， qr=8cm ，点 b， c， q，r 在同始终线l 上，当 c， q 两点重合时，等腰pqr 以 1cm/s 的速度沿直线l. 按箭头方向开头匀速运动，t 秒后正方形abcd 与等腰 pqr.重合部分的面积为s（单位： cm2）（ 1）当 t=3s 时，求 s 的值；（ 2）当 t=5s 时，求 s 的值；（ 3）当 5t 时

14、8，求 s 与 t 之间的函数关系式，并求出s 的最大值713如图，甲船位于乙船的正西方向26km 处，现甲、乙两船同时动身，甲船以每小时12km 的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km 的速度朝正西方向行驶，.何时两船相距最近？最 近距离是多少？三、拓展训练14如图，在直角梯形abcd中，a= d=90°，截取 ae=bf=dg=x ，已知 ab=6 ，cd=3 ，ad=4 ，求：（ 1）四边形cgef 的面积 s 关于 x 的函数关系式和x 的取值范畴；（ 2）面积 s 是否存在最小值？如存在，求出最小值；如不存在，请说明理由；（ 3）当 x 为何值时， s 的数值等于x 的 4 倍？8答案 :132 1125， 303 y= 3.75x24 d5 b76（ 1）（ 4， 8）（2） a （ 7，）27（ 1） y= 3x+240（ 2） w= 3x2+360x 9600（ 3）当每箱定价为55 元时，可获利大利润为1125.