初中数学人教新课标版七年级下下第十章101平方根教案

1、10.1 平方根 3 课时课程目标一、学问与技能目标1. 通过对平方值的运算等确立平方根的意义、开方的运算；明白算术平方根与平方根的区分与联系；2. 对于任意有理数都能区分其“”、“”性，运用运算器已势在必行；二、过程与方法目标采纳类比平方值的求法，定义出平方根的概念，同时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？三、情感态度与价值观目标1. 引导同学充分进行沟通，争论与探究等教学活动，培育他们的合作与钻研精神；2. 明白无理数的发觉过程，勉励同学大胆质疑，培育同学学习数学的热忱；教材解读本节内容第一给出一个简洁的问题，依据正方形的面积求出

2、其边长，由此引出求某数的平方根的问题，在涉及到不能直接用已有的学问开方时，就引进运算器的使用方法，通过运算器对任意正数进行开方；这样将有理数与无理数沟通起来成为实数；学情分析上学期已经学习了有理数，对任何数的形式主义都能够顺当得到，同时也感知了“互为相反数的平方相等”，故由平方值去探究平方根的问题实际上只是互逆过程，只要求出一个数的平方就可得知平方根的值；第课时一、创设情境，导入新课玲玲家最近喜事不断，家里新购了一套房子，全家欢喜悦喜地搬进新居，爸爸妈妈又增加了工资；条件改善了，为了给玲玲一个好的学习环境，爸爸准备给玲玲买一张桌子供 她在家做作业；爸爸问玲玲：“你宠爱长方形桌子仍是正方形桌子？

3、”玲玲认为正方形桌子更大，可以多堆点书，又可以有足够的位置写字，所以她更宠爱正方形桌子；于是爸爸依据她的宠爱为她购置了一张正方形桌子，玲玲量了量课桌的边长为100cm，你能算出这 张桌子的周长和面积吗？当然可以了，.可是假如玲玲更直接地告知爸爸“我想要一张面积约为 125dm的正方形桌子” ；.请问她爸爸能为她购置到中意的桌子吗？当然可以，运算正方形的面积必需要知道正方形的边长，依据边长求面积是乘方运算，而依据面积求边长 又是什么运算呢？这节课我们就来探讨这个问题；二、师生互动，课堂探究一 提出问题 , 引发争论1. 你能求出以下各数的平方吗.0,-1,5,2.3,-1 ,-3,3,1,155

4、能 .0 2=0-12=152=252.3 2=5.29-15 2=125-32=932=912=1 1 2= 15252. 如已知一个数的平方为以下各数, 你能把这个数的取值说出来吗.25,0,4,425,1144,-14,1.69能. 由于 52=25,-52=25, 故平方为25 的数为 5 或 -5.02=0, 故平方为0 的数为 0.22=4,-22=4, 故平方为4 的数为 2 或 -2.-25 2= 425,25 2= 425, 故平方为425的数为±2 .5-112 2=1144,112 2 =1144, 故平方为1144的数为±1 .12对于 - 14这个

5、数 , 没有哪个数的平方等于它, 故平方为 - 14的数找不到 .1.32=1.69,-1.32=1.69, 故平方为1.69 的数是± 1.3.又如 : 课本 p160 中的问题 : 小欧要裁一块面积为25dm2 的正方形画布 , 由于正方形的面积为边长的平方, 而边长不行能为负数, 故此画布的边长应为5dm. 依此可得正方形的面积如分别为 1,9,16,36,425时, 此正方形的边长分别为1,3,4,6,2 .5由以上争论发觉, 有时候我们已知一个数要求这个数的平方值时, 只有一个 ,. 也有些时候 , 我们已知某数的平方, 要求出这个数, 发觉此时通常可找到两个数, 且这两个

6、数是互为相反数 , 而假如是已知某物的面积求其边长时, 其边长也只有一个值. 我们把已知平方值, 求原数的问题称为求这个数的平方根.二 导入学问 , 说明疑难1.教材内容讲解欲确定某数的平方根时, 由以上过程发觉, 即使有两个值,. 这两个值也是一对互为相反数 , 因此实际上我们如求出其中一个值, 另一个值也就可以依据求出的数再写出它的相 反数 , 我们就可先确定一个正数, 把这个正数称为所给数的算术平方根.一般地 , 假如一个正数x 的平方等于a, 即 x 2=a, 那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根 ,a的算术平方根记为a , 读作“根号a” ,a 叫做被开方数 . 规定 :0 的算术

7、平方根是0.例 1 求以下各数的算术平方根:1900 21 349644196 50 610-6解: 1 302=900, 故 900 的算术平方根是30, 即900 =30.2 12=1, 故 1 的算术平方根是1, 即1 =1.3 78 2= 4964, 故 4964的算术平方根是7 , 即49 = 786484 142=196, 故 196 的算术平方根是14, 即196 =14.5 02=0, 故 0 的算术平方根是0, 即0 =0.- 3- 6- 36 10 2=10, 故 10 的算术平方根是10, 即10 6=10- 3例 2: 勤俭节省是中国人的一种美德, 涛涛的爷爷是个能工巧

8、匠, 他把两张破旧了一部分的桌面重新拼接成一张完整的正方形桌面, 其面积为169dm2. 已知他用的两张小桌面也是锯成了正方形的桌面, 其中一张是边长为5dm 的小板子 ,. 试问另一张较大的桌面的边长应为多少 dm才能拼出面积为169dm2 的桌面 .分析 : 边长为 5dm的正方形板子, 其面积为 25dm2, 要拼出面积为169dm2 的桌面 , 仍需面积为169-25 =144d m2 的正方形桌面, 故问题实际上转化为求144.的算术平方根 ,144 即=12.解: 设另一张较大的桌面的边长为xdm,就有x 2+52=159,x 2=169-25=144, 而 122=144故 14

9、4 的算术平方根为12, 即144 =12, 即另一张桌面的边长应为12dm.练习 :1. 求以下各式的值:1.44 ; 0.12; 0.810.04 ; 12 1 .4解: 1.44 =1.20.12=0.01=0.10.810.04 =0.9-0.2=0.712 14=49 = 7422如a-12+ b-9 =0, 就 ba的算术平方根是以下哪一个a. 1 3b.± 3c.3d.-3分析 : 由于 a-12 0. b-9 0, a-12+ b-9 =0 时, 有 a-1=0 且 b-9=0, a=1,b=9, b = 9a1=9, 故b 的算术平方根是3.a3.7 有意义吗 .为

10、什么 .分析 :7 无意义 , 由于任何数的平方都是非负数, 即 a20, 故7 无意义 .2.探究活动(1) 当 a 为负数时 ,a 2 有没有算术平方根.其算术平方根与a 有什么关系 .当 a 为正数时,a 2 的算术平方根如何表示.a 为 0 呢.举例说明你的结论.2x2-x+ 124是否有算术平方根.如有请写出其算术平方根, 如没有说明为什么.解: 当 a 为负数时 ,a 2 为正数 , 故 a2 有算术平方根 , 如 a=-5 时,a 2=-52=25,a=25 =5,52是-.5 的相反数 , 故 a <0 时,a 的算术平方根与a 互为相反数 , 表示为 -a.当 a2 为

11、正数时 ,a 的算术平方根表示为a2 , 其值为 a, 即a2 =a.当 a=0 时 ,a2 =0a a0由此可知a2 =|a|=0 a0a a0(2) 由于 x-1 2=x2-x+ 1 , 而x-1 2 肯定是非负数, 故 x-x+ 也是非负数 , 故 x 2-x+ 1 有2424算术平方根 , 其算术平方根的值要视x 的取值而定 . 当 x 12时 ,x 2-x+ 14的算术平方根为x- 1 . 当 x< 1 时,x 2-x+ 1 的算术平方根为-x-1 = 1-x.22422三 归纳总结 , 学问回忆这节课主要就平方根中的算术平方根进行争论,. 求一个数的算术平方根与求一个正数的平

12、方幂正好是互逆的过程, 因此 , 求正数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的 开平方运算 . 只不过 , 只有正数和0 才有算术平方根, 负数没有算术平方根.练习设计一 双基练习1. 某数的算术平方根等于它本身, 就这个数为 ;. 如某数的算术平方根为其相反数 , 就这个数为 .2. 求以下各式的值:0.16 ,1 11 ,2523,0.25 ,1023.3x-4为 25 的算术平方根 , 求 x 的值 .4. 已知 9 的算术平方根为a,b 的肯定值为4, 求 a-b 的值 .二 创新提升5. 已知 2a-1 的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4, 求 a、b 的值 .三 探究拓

13、展6. 如x4 与4y 互为相反数 , 求 xy 的算术平方根.参考答案1.0,1 0;2.0.4,6 ,3,0.5,10-1 1; 3.x=35104.a=3,b= ± 4, 就 a-b=3-4或 3-4,故 a-b=-1或 7.5.a=5,b=26. x=4,y=4,xy=16,xy的算术平方根为4.课后作业：第 2 课时一、创设情境，导入新课某同学用一张正方形纸片折小船，但他手头上没有现成的正方形纸片，于是他撕下一张作业本上的纸，依据如图，沿ae对折使点b 落在点 f 的位置上 ,. 再把余外部分fecd剪 下 , 假如他事先量得矩形abcd的面积为90cm2, 又测量剪下的余

14、外的矩形纸片的面积为 40cm2. 请依据上述条件算出剪出的正方形纸片的边长是多少厘米.a fdb ec将原矩形纸片的面积减去剩余的矩形纸片的面积即为正方形纸片的面积,. 正方形纸片的面积为90-40=50cm2, 而正方形的面积为边长的平方, 要求正方形的边长就得算出多少 的平方等于50, 但我们知道72=49,8 2 =64,50 这个数既不是72, 也不是 82, 由于 49<50<64, 故此正方形的边长应大于7 而小于 8. 究竟它为多少呢.它是一个小数吗.你有什么方法确定这 个值呢 .这一系列问题正是我们这节课要争论的问题.二、师生互动, 课堂探究一 提出问题 , 引发

15、争论在实际问题中, 往往会遇到像上述情形中的问题, 假如在所学过的有理数中的确找不到合适的数的平方会等于所给的数, 我们该怎么表示所给数的算术平方根呢.我们知道 , 如有正数x, 使 x2=aa 0, 就 x 为 a 的算术平方根, 记作 x=a .,. 于是如x2 =50 时x 为正数 , 就 x=50 , 而 72<50<82 , 因此有7<50 <8, 现在我们就来学习如何求50 的近似值 ,50 是不是有理数呢.二 导入学问 , 说明疑难1. 教材内容讲解在上学期有理数的乘方运算中,. 我们已经把握了用运算器求一个数的平方的方法, 现在 我 们 要 确 定一 个

16、 数 的平 方 根 , 也 可 借 助这 种方 法 进 行 ,. 我们 不 妨 用计 算 器 验 证=50.27>50, 故 7<7.1 2,7.1 2=50.41, 而 50.41>50, 故50 <7.1, 再验证 7.09 250 <7.09,而7.08 2=50.12,7.072=49.98, 故 7.07<50 <7.08, 接着连续增加小数点后一位小数, 如 7.071,运算 7.071 2=49.99, 而 7.072 2=50.013, 故 7.071<50 <7.072, , 如此连续进行下去, 可以发觉将小数点后的小数位

17、连续增加下去, 始终不能穷尽, 都只能使7.07 , 的平方值无限接近50 , 因此发觉 ,50 不行能化为我们以前学过的无限循环小数,. 只能化为无限不循环小数 , 而有理数只包括有限小数和无限循环小数或者整数, 但50 却不在这些数的范畴内, 只能说50 这个数不是有理数, 我们把这种数重新命名为“无理数”, 于是数的范畴也就扩充了 , 是否我们可以直接用运算器来运算某一个正数的算术平方根呢.只要运算器上有“”键或者“y ”键 , 它就可以用来求某正数的算术平方根了,但不同的运算器的按键次序不相同, 只要按运算器的使用方法去按键, 就可求出任意正数的算术平方根了.例 1: 用运算器运算31

18、36 和2 ,5 ,10 的值 .解 : 通过按键可得3136 的值在运算器上显示:56, 为有理数 .2 的值在运算器上显示1.414213562,.而5 的值在运算器上显示2.236067978,10 的值在运算器上显示3.16227766. 从运算器上显示的数都是位数有限的,. 因此往往给我们一个印象“这些值都 是有理数” , 而事实上我们知道用平方幂验证它们的平方根时, 却怎么也找不到精确的数, 使其平方为2、 5、10, 于是我们得出: 这些数不是有理数, 只是一个无限不循环小数即无理 数 . 通过运算器运算出的小数只能是这些数的算术平方根的近似值或最接近的值. 运用运算器可以很便利

19、地确定一个任意正数的算术平方根.活动 : 怎样用两个面积为1 的小正方形拼成一个面积为2 的大正方形 .求出其边长 .分析 : 将两个面积为1 的小正方形的面积相加得2, 而要拼的大正方形的面积正好为2, 于是可知 , 只要将两个小正方形剪开再重新拼合成一个正方形即能满意要求. 要确定新正方形的边长 , 我们就得确定2 的值大约是多少, 我们知道12=1,2 2=4, 故 1<2 <2,. 也即是面积为 2 的正方形的边长比 1 大故比原小正方形的边长大 ,. 如沿原小正方形的对角线将两个小三角形剪开 , 得四个外形、 大小完全相同的小直角三角形 , 将这四个直角三角形的直角边拼接

20、起来得一个新正方形 . 如课本图 10.1-1使用运算器不仅能很便利地运算出任意一个正数的算术平方根,. 而且仍能使用运算器找到某些数的算术平方根之间的关系.例 3: 1 求以下各数的算术平方根.0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,10000002利用运算器运算以下各式的值:0.06250.6256.2562.5625625062500 ,你能找到其中的规律吗. 把你的发觉用自己的语言表达出来, 并利用你的发觉说出0.03 、300 、30000的近似值 已知3 1.732,你能依据3 的值确定30的值吗.解 : 1 0.001 2=0.0000010.00000

21、1 =0.001依 次 可 得 出0. 0 0 0 1=0.01,0.01 =0.1,1 =1,100 =10,10000 =100,1000000=1000从中发觉被开方数在逐步扩大, 并且每次扩大100 倍 ,. 其算术平方根也在逐步扩大, 但只扩大 10 倍, 于是推测两个正数之间假如满意b=100a, 就有b =10a , 或者 :. 被开方数每扩大 100 倍时 , 其算术平方根相应地扩大10 倍20.0625 =0.250.625 0.790576.25 7.905762.5 7.9057625 =256250 79.0576250 =25062500 790.57比较相应的两列数

22、中的被开方数及其算术平方根, 同样可验证在题1 中的规律 , 而0.0625 与0.625 中的数开方数只扩大了10 倍, 它们的算术平方根之间没有规律可循.故如已知 3 1.732, 可知 0.03 0.1732, 300 17.32, 30000 173.2, 但不能知30 的值 .2. 探究活动(1) 用一块面积为400cm2 的正方形纸片, 沿着边的方向剪出一块面积为300cm2 的长方形纸片 , 你会怎样剪 .(2) 如用上述正方形纸片剪出面积为300cm2 的长方形纸片, 且其长宽之比为3:2,. 你又怎样剪 .依据你的剪法回答: 只要利用面积大的纸片肯定能剪出面积小的纸片吗.解:

23、 1 面积为 400cm2 的正方形纸片的边长为20cm,沿着边的方向剪出一刀,. 使长方形纸片的面积为300cm2, 就其宽为300÷20=15cm, 于是只要剪掉5cm宽的长方形纸片即可.2如用上述正方形纸片剪出面积为300cm2 的长方形纸片, 且其长宽之比为3:2,. 就可设其两边为3x和2x, 就有3x · 2x=300,6 x 2=300 x2 =50,x=50 , 故长方形纸片的长为350 cm, 宽为 250 cm, 而 350 >3× 7=21cm,21cm 比原正方形的边长20cm 更长 , 这是不行能的 .通过上述两例发觉利用面积大的纸

24、片不肯定能剪出面积小的纸片.三 归纳总结 , 学问回忆通过本节课的学习可知, 并不是全部的正数的算术平方根都是有理数, 这时我们既可以用“a ”的形式表示 , 也可以用一个与a 的值接近的有理数替代,. 于是可用运算器算出这个数 , 但实际上 ,a 是一个无理数 .练习设计一 双基练习1. 用运算器求出以下各式的值.895512345-2600.005372. 用运算器比较31 与 1的大小 .223. 在物理学中 , 用电器中的电阻r与电流 i, 功率 p.之间有如下的一个关系式:.p=i 2r,现有一用电器, 电阻为 18 欧, 该用电器功率为2400 瓦, 求通过用电器的电流i.4. 用

25、边长为5cm 的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形, 其边长约为多少 . 精确到 0.01cm二 创新提升5. 某地开创了一块长方形的荒地, 新建一个以环保为主题的公园. 已知这块荒地的长是宽的 2.5 倍 , 它的面积为60000 米 2.(1) 试估算这块荒地的宽约为多少米. 误差小于1 米(2) 如在公园中建一个圆环喷水池, 其面积为80 米 2, 该水池的半径是多少. 精确到0.01三 探究拓展 6.1任意找一个很大正数, 利用运算器将该数除以3, 将所得结果再除以3,. 随着运算资料的增加, 你发觉了什么 .换一个数试试, 是否仍有类似的规律.2任意找一个特别大的正数,

26、利用运算器不断地对它进行开算术平方根,. 你发觉了什么 .参考答案1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2.31 0.366< 13.i 11.55安培4.22约 7.07cm 5.1宽约为 154.92 米 2r 5.05 米6.1结果越来越小 , 趋向于 0 2结果越来越趋向于1一、创设情境, 导入新课第 3 课时同学们 , 你知道“神舟五号”载人飞船吗？“神舟五号”载人飞船于2003. 年 10 月 15日 9 时整 , 在中国酒泉卫星发射中心进行首次载人航天发射, 由“长征二号”f 型火箭点火升空 , 这标志着我国的航天事业又前进了一步, 我国在世界上的位置也徒

27、然而升了; 当物体达到 11.2千米 / 秒的运动速度时能摆脱地球引力的束缚,. 在摆脱地球束缚的过程中, 在地球引力的作用下它并不是直线飞离地球, 而是按抛物线飞行,. 脱离地球引力后在太阳引力 作用下绕太阳运行, 如要摆脱太阳引力的束缚飞出太阳系, 物体的运动速度必需达到16.7 千米 / 秒, 那时将按双曲线轨迹飞离地球, 而相对太阳来说它将沿抛物线飞离太阳. 经过运算, 在地面上 , 物体的运动速度达到7.9 千米 /. 秒时 , 该速度被称为第一宇宙速度. 第一宇宙速度与哪些因素有关呢.又是如何运算呢.二、师生互动, 课堂探究(1) 前面在第一节课的学习中, 我们运算过了许多互为相反

28、数的平方,. 发觉这些数的平方值会相等, 依据我们求正数x 的算术平方根的考虑, 如 x2=a, 就 x=a 称为 a. 的算术平方根 , 而 x 仍有一个负值, 又该如何称呢.(2) 宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第一宇宙速度v 1 米/ 秒. 而小1于其次宇宙速度v 2 米/ 秒 , 其中 v 1、v 2 满意 v2=gr,v 22=2gr, 其中 g.是物理中的一个常数 重力加速度 ,g 9.8 米/ 秒 2 ,r 是地球半径 ,r 6.4 × 106 米, 如何确定v 1、v 2 的值呢 .它与算术平方根有什么关系.下面让我们来逐个分析吧.二 导入学问 , 说明

29、疑难1. 如一个数的平方等于16, 这个数是多少, 又怎样表示呢 .由于 42=16,-42=16, 故平方等于16 的数有两个 :4 和-4, 把 4 和 -4 叫做 16 的平方根 ,记为 4=16 , 就 -4= -16 , 把 4 和-4 称为 16 的平方根 .一般地 , 假如一个数的平方等于a, 那么这个数叫做a 的平方根或二次方根,. 即如 x2=a,就 x 为 a 的平方根 , 记为 x=±a . 如 3 和 -3 是 9 的平方根 , 记为± 3 是 9 的平方根 ,. 表示为± 3=±9 .把求一个数a 的平方根的运算, 叫做开平方

30、,. 而平方运算与开平方运算互为逆运算. 依据这种运算关系, 可以求一个数的平方根, 例如当x 2=1 时,x= ± 1; 当 x 2=16 时 , 就 x=±4, 当x2 =36 时,x= ± 6; 当 x 2=49 时,x= ± 7; 当 x 2= 425, 就± 25为 4 的平方根 , 依次可记为±1 ,25±16 , ±36 , ±49 , ±425, 它们的对应关系如下列图.练习 : 求以下各数的平方根.10.4924936381405-100解:1由于 0.7 2=0.49,-0.

31、72=0.49, 所以 0.49 的平方根为±0.7, 即±0.49 =± 0.72由于 7 2= 49,-7 2= 49, 所 以 49的平方根为±7, 即±49 =± 76366363663663由于 92=81,-92=81, 所以 81 的平方根为±9, 即±81=± 9.4由于 02=0, 所以 0 的平方根为0, 即±0 =0.5由于任何数的平方都不小于0, 找不到平方为-100 的数 , 故-100 没有平方根 .将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较, 正数 或 0 的算术平

32、方根只是它们的平方根中的一部分, 是正数 或 0 的那部分 ,. 而负的那个值正好是算术平方根的相反数,进一步可归纳出:正数的平方根有两个, 它们是一对互为相反数.0的平方根是0负数没有平方根例 1: 求以下各式的值, 并依据这些值写出各被开方数的平方根.11.442-813±9100解: 1 由于 1.2 2=1.44, 所以1.44 =1.2,1.44的平方根为± 1.2, 即±1.44 =± 1.2.2由于 92=81, 所以 -81 =-9,81的平方根为±9, 即±81=± 9.3由于 3 100 2=9100,

33、所以±9100=±3100, 它正是9100的平方根 .故求正数的平方根时, 只要知道它的算术平方根, 就能确定了,. 由于其算术平方根和 算术平方根的相反数即为该数的平方根. 同样假如知道某数的算术平方根的相反数, 就该数的平方根同样可确定.面对问题 2 中的“宇宙速度”, 我们知道第一宇宙速度v1 2=gr,其中 g=9.8米 / 秒 2,r 6.4 × 106 米 ,v2=2gr, 就有 v12 9.8 ×6.4 × 106 米 2/ 秒 2 62.72 × 106 米 2/ 秒 2=6.27 × 10722米 2 /

34、 秒 2.v2 125.44 ×106 米 2/ 秒 2=1.2544 × 108 米 2/ 秒 2因此 , v1 是 6.272 × 107 的平方根 ,v 2 是 1.2544 × 108 的平方根 .那 么 v1=±6.272107± 7.9 ×103 米/ 秒=± 7.9千米 / 秒,v 2=±1.2544108 ± 11.2 × 103 米/ 秒=.± 11.2 千米 / 秒但在实际问题中, 速度是一个比0 大的数 , 数学问题中不考虑速度的方向, 故负值不合题意

35、, 应舍去 , 实际上 , 在某些详细问题中, 要依据得出的答案是否有意义而取值.例 2: 某矩形的面积为13200 平方米 , 如其长是宽的3 倍, 试求出此矩形的长与宽分别是多少米.解: 设宽为 x 米, 就长为 3x 米 , 其面积为3x2 平方米故 3x 2=13200x2=4400解得 x=±4400 =± 66.33但 x 为矩形的边长应大于0, 故 x=66.33 米,3x=198.99米 , 即此矩形的长为198.99 米,宽为 66.33 米 .2. 探究活动对于正数x 和 y, 有以下命题 : 1如 x+y=2, 就xy 1 2x+y=3,就xy 3如 x+y=6, 就xy 3依据以上三个命题所供应的规律猜想:1如 x+y=9, 就xy .2如对于任意正数a、b, 总有ab .分析 : 当 x+y=3时, 有xy 32, 从中发觉分母为2, 分子为x 、y 的和 , 再验证其它的等式:x+y=2时, 就xy 22=1. 当 x+y=6 时,xy 62=3. 与已知相吻合 , 故有结论m>0,n>0,且 m+n=a时,. 就mn a , 即mn mn 22 x+y=9 时, 就xy 9 ,ab ab 22由