初中数学函数知识点归纳新

1、名师总结精品学问点函数学问点总结 把握函数的定义、性质和图像平面直角坐标系1、定义：平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特点 :第一象限：（ +， +）其次象限：（ - ，+）第三象限：（- ，- ）第四象限：（ +，- ）3、坐标轴上点的坐标特点：x 轴上的点， y 为零； y 轴上的点， x 为零；原点的坐标为（ 0 , 0）；4、点的对称特点：已知点pm,n,关于 x 轴的对称点坐标是 m,-n,横坐标相同，纵坐标反号关于 y 轴的对称点坐标是 -m,n纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是-m,-n横，纵坐标都反号5、平行于坐

2、标轴的直线上的点的坐标特点：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等；6、各象限角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；其次、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数；7、点 p（x,y ）的几何意义：点 p（x,y ）到 x 轴的距离为 |y|，点 p（x,y ）到 y 轴的距离为 |x|；点 p（x,y ）到坐标原点的距离为x 2y28、两点之间的距离：x 轴上两点为 ax1 ,0 、b x2 ,0|ab| x2x1 |y 轴上两点为 c0, y1 、d0, y2 |cd|y 2y1|11已知 a x1 , y1

3、 、b x2 , y2 ab|= x2x 2 y2y 2名师总结精品学问点9、中点坐标公式：已知a x1, y1 、bx2 ,y2 m 为 ab的中点 , 就： m= x2x1,2y2y1 210、点的平移特点：在平面直角坐标系中，将点（ x,y ）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y）；将点（ x,y ）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（ x+a ，y）；将点（ x,y ）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（ x，yb）；将点（ x,y ）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（ x，yb）；函数的基本学问 ：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同

4、数值的量；常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量；2、函数： 一般的，在一个变化过程中，假如有两个变量x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值， y 都有唯独确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量， y 是x 的函数；*判定 a 是否为 b 的函数，只要看b 取值确定的时候， a 是否有唯独确定的值与之对应3、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域仍要和实际情形相符合

5、，使之有意义；4、函数的图像一般来说，对于一个函数，假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象5. 函数解析式： 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式；6、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；其次步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点） ；第三步：连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）；7、函数的表示方法: 列表法、解析式法、图象法名师总结精品学问点一次函数图象和性质【学问梳理】一、一

6、次函数的基础学问1、定义 ：一般地，形如y=kx bk,b 是常数， k0，那么 y 叫做 x 的一次函数当 b=0 时， y=kxb 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式：y=kx+b k0说明： k 不 为零 x 指数为 1 b 取任意实数2、解析式 ： y=kx+bk 、b 是常数， k03、图像： 一次函数y=kx+b 的图象是经过（0， b）和（ -线 y=kx+b,b ，0）两点的一条直线，我们称它为直k4、增减性（单调性） ： k>0 ， y 随 x 的增大而增大（单调增）； k<0 ，y 随 x 而增大而减小 （单调

7、减）5、必过点 ：（ 0， b）和（ -b ， 0）：理由如下： y=kx+b 中，k当 x=o,时， y=？所以，该函数经过（，）点当 y=o,时， x= ？所以，该函数经过（，）点所以，一次函数ykxb 的图象是必经过（b， 0）和（ 0， b）两点的一条直线.，k注：两点确定一条直线；画图时，可通过这两点来确定直线；6、一次函数图像的画法：两点法、运算必过点 （ 0， b）和（ -b ， 0）、 描点、连线（从左到右光滑的直线）k7、增减性 ： k>0 ， y 随 x 的增大而增大；k<0， y 随 x 增大而减小 .8、倾斜度 只与 k 相关 ：|k|越大，图象越接近于y

8、轴； |k|越小，图象越接近于x 轴.9、与 y 轴交点当 b>0 时直线与y 轴交于原点上方（即y 轴的正半轴） ；当 b<0 时，直线与y 轴交于原点的下方； （即 y 轴的负半轴）10、图像的上下平移（只与b 相关）：直线 y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx 平移 |b| 个单位长度得到.上加下减例如： y=2x+3,将直线向平移个单位； y=5x-6, 将直线的图象向平移个单位11、一次函数ykxb 的图象与性质b>0经过：第一、二、三象限不经过：第四象限名师总结精品学问点b<0经过：第一、三、四象限不经过：其次象限b=0（正比例函数）经过：第一、三象限

9、不经过：其次、四象限k>0增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随 x的增大而增大，单调增经过第一、二、四象限经过其次、三、四象限经过其次、四象限不经过：第三象限不经过：第一象限不经过：第一、三象限k<0增减性（单调性）：图象从左到右下降，y 随 x的增大而减小，单调减必过点： 经过 （b， 0）和（ 0， b）两点，正比例函数即是经过原点（ 0， 0）k（3）如直线 l1 ：yk1 xb112 、两直线之间的位置关系 （平行或相交） ：l 2 ： yk2 xb2平行： 当k1k2 时， l1/ / l2 ；当b1b2b时， l 1与l2 交于 0， b 点；相交：将两直线方程联

10、立成一个方程组， yk1yk 2b1b2，解得结果，即为交点；13 、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解；反比例函数图象和性质【学问梳理】一、反比例函数的基础学问1、定义 ： 一般地，形如 yk （ k 为常数， kxo ）的函数称为反比例函数；yk 仍可以写成 y xkx12、解析式 ： yk （ k 为常数，）x注： 反比例函数解析式的特点：等号左边是函数y ，等号右边是一个分式； 分子是不为零的常数k（也叫做比例系数 k ），分母中含有自变量x ，且指数为 1.比例系数 k0名师总结精品学问点自变量 x 的取值为一切 非零 实数；（反比例函数

11、有意义的条件：分母 0）函数 y 的取值是一切 非零实数；3、增减性（单调性） ： k>0 ， y 随 x 的增大而减小（单调减）； k<0 ，y 随 x 增大而增大 （单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（ 1） 图像的 画法：描点法列表（应以o为中心，沿o的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的次序）连线（从左到右光滑的曲线）1是中心对称图形，对称中心是原点（ 2）对称性：2是轴对称图形，对称轴是直线yx和yx（ 3） 反比例函数 yk （ k 为常数， k x0 ）中自变量 x0 ，函数值 y0 ， 所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延长部分

12、逐步靠近坐标轴，但是永久不与坐标轴相交；k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内3）k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而减小 y随x的增大而增大（ 4） 比例系数 k 的几何含义（右图） ：反比例函数y kxk 0中 比例系数k 的几何意义，即过双曲线y kxk 0上 任意一点p 作 x 轴、 y 轴垂线，设垂足分别为 a 、b，就所得矩形oapb 的面积 阴影面积 为k.（由 y kx变形可得： k=xy由于面积为正数，所以k 取肯定值；）5、反比例函数性质如下表：k 的符号k0k 0yyo图像的大致位置xox经过象限第象限第象限增减性（单调性：单调区间内争论）在每

13、一象限内，从左到右看，y随 x 的增大而减小；（ - ， 0） u（ 0， +）区间内， 单调减在每一象限内,从左到右看y 随 x 的增大而增大（ - ， 0） u（ 0， +）区间内， 单调增图像的对称性中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线 y=-x名师总结精品学问点二次函数图象和性质【学问梳理】一、二次函数的基础学问：1定义 ：一般地，形如2yaxbxc （ a，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0 ，而 b，c 可以为零二次函数的定义域（x 的取值范畴） ：全体实数， r2. 解析式（表

14、达式） ：一般式：yax 2bxc （ a0 ， a ，b ，c 是常数）：说明：等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项对于二次函数yax2bxc，经过配方变形为顶点式：y=ax+b 22a4acb24a, 其顶点坐标为（b4acb2-，）2a4a补充： 二次函数解析式的表示方法（三种）一般式：yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；顶点式：ya xh 2k （ a ， h ， k 为常数， a0 ）； 抛物线的顶点 p（h，k）对于二次函数yax2bxc，经过配方变形顶点式

15、：y=ax+b 22a4acb24a, 其顶点坐标为（b4acb2-，）2a4a两根式（交点式） ：ya xx1 xx2 （ a0 ， x1 ，x2 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 仅限于与 x 轴有两个交点 a（ x1 ，0）和 b（x2， 0）的抛物线，即 0bb24 acbb24ac其中 x1,x22a即一元二次方程求根公式2a注：在 3 种形式的相互转化中，有如下关系:b4 acb 2bb 24acbb 24ach=-k=x12a4 a,x22a2a2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即的这三种形式可

16、以互化.b4ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式二次函数2ya xhk 与 yax2bxc 的比较从解析式上看，2ya xhk 与 yax2bxc 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前名师总结精品学问点者，即2yaxb 2a4acb 24a，其中 hb ，k 2a4acb24a3、二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点，挑选适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.

17、 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数顶点坐标 ;yax2bxc 化为顶点式yaxh2k ，确定其开口方向、对称轴及然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0 ，c 、以及0，c关于对称轴对称的点2h ，c、与 x 轴的交点x1 ，0 ，x2 ，0（如与 x 轴没有交点，就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点 .3、二次函数的图像：抛物线（ 1）对

18、称性 ：抛物线是轴对称图形；对对称称轴轴：直直线线x =-b,对称轴与抛物线唯独的交点为抛2a物线的顶点 p；特殊地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线 x=0）（2）抛物线有一个顶点p， 坐标为 p（- b2a4acb2，）4a当 - b 2a=0 时， p 在 y 轴上；当 =b24ac =0 时， p 在 x 轴上；4、a.b.c 与抛物线的关系（a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 ）y（ 1） a 打算抛物线的开口方向和大小：开口方向： a 为正 a0 ，开口朝上，有最小值；a 为负 a0 ，开口朝下，有最大值； 开口大小： a 的肯定值越大，抛物线的开口越小

19、；2by=5x2 y=x（ 2） a、b 共同打算 对称轴：直线bx=-x2 aab 的符号打算对称轴x的位置， 分两种情形：2a当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右侧；概括的说就是“左同右异”（ 3） 常数项 c 打算抛物线与 y 轴交点；抛物线与 y 轴交于（ 0，c），分三种情形： 当 c 当 c 当 c名师总结精品学问点0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；0 时，抛物线与y 轴的交点在x

20、轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总之，只要a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯独确定的6、抛物线与 x 轴交点个数=b24ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点； a（x1,0）和 b（ x2,0）= b24ac =0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；顶点 pb ,02a=b24ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点；配图：开口向上 开口向下，情形类似 y 0y=0y 0abxpxx7、类比一元二次方程的根的情形：特殊地，二次函数（以下称函数）yax2bxc当 y=0 时，二次函数为关于x 的一元二次方程（以下称方程），即 ax2bxc0此时，函数图像与x 轴有无交点

21、即方程有无实数根；函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根；8、二次函数yax22b4acb2a4a的图像和性质a 0a 0y图象开口对 称 轴顶点坐标最值在对称轴左当 x 时，y 有最值， yxo当 x时，y 有最值， y增侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而减在对称轴右性y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而侧名师总结精品学问点9. 应用 ：（ 1）最大面积； （2）最大利润； （ 3）其它10、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线yax2 的外形不变，将其顶点平移到h ，k处，详细平移？2. 平移规

22、律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 : 向上（下）平移m 个单位，yax 2bxc 变成2yaxbxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax2bxc 变成ya xm 2b xmc （或 ya xm 2b xmc ）综合练习（ 1）以下函数，x y2 1 .y1 yx11 . y x21 y2 xx y 21；其中是 y3x关于 x 的反比例函数的有： ；（ 2）函数 ya 22 a2 x是反比例函数，就a 的值是（）a 1b 2c

23、2d 2 或 2（ 3）假如 y 是 m 的反比例函数，m 是 x 的反比例函数，那么y 是 x 的（）a反比例函数b正比例函数c 一次函数d 反比例或正比例函数（ 4）假如 y 是 m 的正比例函数，m 是 x 的反比例函数，那么y 是 x 的（）（ 5）假如 y 是 m 的正比例函数，m 是 x 的正比例函数，那么y 是 x 的（）（ 6）反比例函数yk k x0）的图象经过（2， 5）和（2 ，n ），求（ 1） n 的值；（2）判定点b（ 42 ，2 ）是否在这个函数图象上，并说明理由（ 7）已知函数yy1y2 ，其中y1 与 x 成正比例 ,y2 与 x 成反比例，且当x 1 时，

24、y 1； x 3 时，2y 5求：（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（ 2）当 x 2 时， y 的值（ 8）如反比例函数y2m1 x m2的图象在其次、四象限，就m 的值是（）a 、 1 或 1;b 、小于 1 2名师总结精品学问点的任意实数 ; c 、 1;、不能确定（ 9）已知 k0 ，函数 ykxk 和函数 yk在同一坐标系内的图象大致是（）xyyyyxxxx10 、如图，正比例函数ykx k0 与反比例函数y2的图象相交于a、c 两点，xy过点 a 作 ab x 轴于点 b，连结 bc就 abc的面积等于（）a 1b 2c 4d随 k 的取值转变而转变x11 、已知函数yy1y2

25、，其中y1与x成正 比例,y2与x2成反 比例,且当x1 时 , y当1 ;x 时 3y ,求当5 . 时x的值2y12、（ 8 分）已知 , 正比例函数yax 图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数, 反比例函数yk在每一象2x限内 y随x 的增大而减小, 一次函数y（ 1）求 a 的值 .k xka4 过点2,4.（ 2）求一次函数和反比例函数的解析式.二次函数提高题:1 ymxm3m2 是二次函数，就m 的值为（）2a 0 或 3b 0 或 3c 0d 32已知二次函数yk 21) x22kx4与 x 轴的一个交点a（ 2， 0），就 k 值为（）a 2b 1c 2 或 1d任何实数3与

26、y2 x123 外形相同的抛物线解析式为（）a y11 x 22b y2 x12c yx12d y2 x24关于二次函数yax2b ，以下说法中正确选项（）a如 a0 ，就 y 随 x 增大而增大b x0 时， y 随 x 增大而增大；c x0 时， y 随 x 增大而增大d 如 a0 ，就 y 有最小值5函数 y2x 2x 3 经过的象限是（）a第一、二、三象限b第一、二象限c第三、四象限d第一、二、四象限6已知抛物线y ax2bx ，当 a0，b0 时，它的图象经过（）a第一、二、三象限b 第一、二、四象限c 第一、三、四象限d 第一、二、三、四象限名师总结精品学问点7对 y72xx2的表

27、达正确选项（）a当 x 1 时， y 最大值 22b当 x 1 时， y 最大值 8 c当 x 1 时， y 最大值 8d当 x 1 时， y 最大值 228二次函数yax2bxc 的图象过点（1， 0）、（ 0， 3），对称轴 x 1求函数解析式；5、图象与x 轴交于 a、b（ a 在 b 左侧），与 y 轴交于 c，顶点为d，求四边形abcd的面积9、抛物线y1 x233x2 与yax2 的外形相同，而开口方向相反，就a =（）（ a）13（b） 3（ c）3（ d） 1310把二次函数yx 22x1 配方成顶点式为（）a yx1 2by x1 22c y x1 21d y x1 2211

28、函数 ykx26 x3 的图象与 x 轴有交点，就k 的取值范畴是（）a k3b k3且k0c k3d k3且k012、如抛物线ya xm2n 的开口向下，顶点是（1， 3）， y 随 x 的增大而减小，就x 的取值范畴是（）（ a） x3（ b） x3（ c） x1dx013抛物线yax2bxca0 过其次、三、四象限，就a0， b0， c014抛物线y6 x1 22 可由抛物线y6 x 22 向平移个单位得到15顶点为（2， 5）且过点（ 1， 14）的抛物线的解析式为16对称轴是y 轴且过点a（ 1， 3）、点 b（ 2， 6）的抛物线的解析式为17已知抛物线yx 2bxc 与 y 轴交

29、于点a，与 x 轴的正半轴交于b、c 两点，且bc=2， sabc=3，就b =， c =18、已知二次函数二次函数的解析式；yax 2bxc的图象经过点（1， 0）和（ -5 ， 0）两点，顶点纵坐标为92，求这个对称轴、顶点、平移：21. 抛物线 yx13 的顶点坐标为2. 抛物线yx21的顶点坐标是3. 抛物线 y2x26xc 与 x 轴的一个交点为1，0 ，就这个抛物线的顶点坐标是4. 二次函数y x1 22 的最小值是名师总结精品学问点5. 已知二次函数22xyx2 xc 的对称轴和轴相交于点m，0，就 m 的值为 6. 抛物线 yx 22x3 的对称轴是直线7. 将抛物 y2 x1

30、 向左平移1 个单位后，得到的抛物线的解析式是8. 把抛物线yx2bxc 向右平移3 个单位，再向下平移2 个单位，所得图象的解析式是yx 23x5 ，就有 a、b、 c 的值分别是图像交点、判别式：9. 已知抛物线yx2m1xm2 与 x 轴相交于a，b 两点，且线段ab2 ，就 m 的值为10. 已知二次函数不经过第一象限，且与x 轴相交于不同的两点，请写出一个满意上述条件的二次函数解析式11. 如抛物线yx22 xa 的顶点在x 轴的下方，就a 的取值范畴是（） a1 a1 a 1 a 112. 已知二次函数yax2bxc ，且 a0 ， abc0 ，就肯定有（）a. b 24ac0b. b 24ac0c. b 24ac0d. b 24ac 0利用图像：1如直线 ym（m为常数）与函数y2. 以下图形：x2（ x 2） 4（ x 2）x的图像恒有三个不同的交点，m 的取值范畴是；yyx2oyy3 xo1xyy2xyx21yoxox其中，阴影部分的面积相等的是（）3. 如 a13， y， b1， y， c5 ， y为二次函数yx24 x5 的图象上的三点，就12343y1， y2， y3 的大小关系是（） y1y2y3 y3y