初中数学因式分解的常用方法

1、中学阶段因式分解的常用方法（例题详解）因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在中学代数中占有重要的位置和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章学问时，应留意以下几点；1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果肯定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必需进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 题目中没有指定数的范畴，一般指在有理数范畴内分解；7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采纳一“提”、 二“公”、 三“分”、 四“变”的步骤； 即第一看有无公因式可提，其次

2、看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法连续分解；（ 2）如上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法 .因式分解的方法多种多样，现将中学阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法 .如多项式ambmcmmabc,其中 m叫做这个多项式各项的公因式，m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法 .运用公式法，即用写出结果22abaa22abb2a3b 3aba aba 2b,b 2 ,abb2 三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：amanbm

3、bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系；解：原式 = am= am= mannn abmbmbbnn每组之间仍有公因式！摸索：此题仍可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提；例 2、分解因式：2ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式 = 2 ax10ay5bybx原式 = 2axbx

4、10ay5by= 2a x5 yb x5 y= x2ab5 y2ab= x5 y2 ab= 2ab x5 y第 1 页 共 7 页练习：分解因式1、 a 2abacbc2、 xyxy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y2axay分析：如将第一、三项分为一组，其次、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能连续分解，所以只能另外分组；解：原式 = x2= x= xy 2 y xy x axy yay a xy a 例 4、分解因式：a 22abb 2c 2解：原式 = a 2= a2 abb) 2b 2 c2 c2= ab留意这两个例题的区分！c abc23练习：分解因式3 、

5、 x2x9 y 23 y4 、 x2y 2z22 yz综合练习：（ 1） x3x 2 yxy2y（ 2） axbx 2bxaxab（ 3） x26 xy9 y 216a 28a1（4） a 26ab12b9b24a（ 5） a 42 a 3a 29（ 6） 4a 2 x4a 2 yb 2 xb 2 y（ 7）x22 xyxzyzy 2（8） a 22ab 22b2ab1（ 9）y y2m1 m1（ 10） ac ac) bb2 a（ 11） a 2 bcb 2 acc2 ab2abc （ 12） a3b 3c33abc四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x 2 pq

6、 xpqxp xq 进行分解；特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和；例 5、分解因式：x25x6分析：将6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5；由 于6=2 × 3=-2 × -3=1 × 6=-1 × -6 ， 从 中 可 以 发 现 只 有2 × 3的 分 解 适 合 ， 即2+3=5 ；12解 ： x 25 x6 = x 223x2313= x2 x31× 2+1× 3=5第 2 页 共 7 页用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个

7、因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：x27x6解：原式 = x 216 x161-1= x1 x61-6（ -1） +（ -6）= -7练习 5、分解因式 1 x214 x24(2) a 215a36(3) x24 x5练习 6、分解因式 1x2x2(2) y22 y15(3) x210x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（ 1） a（ 2） c（ 3） ba1a 2c1c2a1c2a2 c1a1 a 2ba1c2c1c2a 2 c1分解结果：ax 2bxc = a1 xc1 a 2 xc2 例 7、分解因式：3 x211x10分析：1-23-5（ -6

8、） +（-5） = -11解 ： 3x 211x10 = x2 3x5练习 7、分解因式： （1） 5 x27 x6（ 2） 3 x27x2（3） 10x 217 x3（ 4）6 y 211 y10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式：a 28ab128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解；18b8b+-16b= -8b解 ： a 28ab128b 2 = a 28b16b a8b16b= a8b a16b练习 8、分解因式 1x23 xy2 y 2 2 m26 mn8n 2 3 a 2ab（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例

9、 9、 2 x 27 xy6 y 2例 10 、 x 2 y23xy1-2y把xy 看作一个整体1-12-3y1-21-16b6b 22-3y+-4y= -7y-1+-2= -3解：原式 = x2 y 2x3 y解：原式 = xy1 xy2练习 9、分解因式： （1） 15x27xy4 y2（2） a 2 x26ax8综合练习10、（ 1） 8 x67 x 31（ 2） 12x 211xy15 y2（ 3） xy23xy102（4） ab4a4b3（ 5）x2 y 25 x 2 y6 x 2（ 6） m24mn4n 23m6n2第 3 页 共 7 页（ 7） x24 xy4 y 22x4 y3

10、 （ 8） 5 ab 223a 2b 2 10ab 2（ 9）4x 24 xy6 x3 yy 210 （ 10） 12 xy 211x 2y2 2 xy 2摸索：分解因式：abcx 2a 2 b 2c 2 xabc五、主元法 .2x3 xy210 yx9 y25-22-1例 11、分解因式： 解法一：以x 为主元解：原式 = x 2= x 2x3y1x3y110 y 25 y9 y22 2 y1-5+-4= -91-5y-2= x5 y2 x2 y112y-1= x5 y2 x2 y1-5y-2+2y-1= -3y-1解法二：以y 为主元1-1解：原式 =10 y 210 y 210 y 2y

11、3x 3x3x99 y9 yx 2 x2 xxx 1 x22212-1+2=12x-1= 2 y=2 y x1 5 yx1 5 y xx225-x+25 x-1-2 x+2=3 x-9练习 11、分解因式 1 x 2y 24x6 y5(2) x 2xy2 y 2x7 y6(3) x2xy6 y 2x13 y6(4) a 2ab6b 25a35b36六、双十字相乘法；定义：双十字相乘法用于对ax 2bxycy 2dxeyf 型多项式的分解因式；条件：（ 1） aa1 a2 ， cc1 c2 ， ff1 f 2（ 2） a1c2a 2c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f 2a 2 f

12、1d即：a1c1f 1a 2c2f 2a1c2a2 c1b ， c1 f 2c2 f1e ， a1 f 2a 2 f 1d就 ax2bxycy 2dxeyfa1 xc1 yf1 a 2 xc2f 2 例 12、分解因式（1） x 2（ 2） x 23xy xy10 y 26 y 2x9 y2x13 y6解 ：（ 1） x23xy10 y2x9 y2应用双十字相乘法：x5 y2x2 y1第 4 页 共 7 页2xy5xy3xy， 5 y4 y9 y ，x2xxxy6 y 2x13y6原式 = x5 y2 x2 y1（ 2） x2应用双十字相乘法：x2 y3原式 = xx3 y22xyxy ，4

13、y9 y13 y ，2x3xx3 x3 y23xy2 y练习 12、分解因式（1）（2）2x6x2xy7 xy2 y 23 y 2x7 y xz67 yz2 z2七、换元法；例 13、分解因式（1） 2005 x2 200521) x2005（ 2） x1 x2 x3 x6x2解：（ 1）设 2005= a ，就原式 = ax 2= axa 21 x1xa a = 2005 x1 x2005（ 2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 = x27x6 x 25 x6x 2设 x 25x6a ，就 x 27x6a2 x原式 = a2 x ax2 =a22 axx2=

14、 ax2 = x 26 x6 2练习 13、分解因式（1） x 2xyy2 24 xy x2y 2 （ 2）x 23 x2 4x28x390（ 3）a 21 2a 25 24a 232例 14、分解因式（1） 2 x4x36 x2x2观看：此多项式的特点是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”；这种多项式属于“等距离多项式” ；方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法；解：原式 =x2 2x2x61 x1 = x 2x 22 x 21x2 x1 6x设 x1 xt ， 就 x 212t22x原式 = x2= x2（2 t 222t5t2t62 = x=

15、x 222 x12t 22xt105x12x22= x·2x5 ·x·xx2= 2 xx5 x2x2 x1= x21 2x1 x24（ 2） x22324 xx414 x12211解：原式 = xx4x1x2= xx2xx4 x1x第 5 页 共 7 页设 x1 xy ，就 x21x2y 22原式 = x2y 24 y213 = x 2y11y322= x x1 xx3 =xxx1 x3x1练习 14、（1）6 x47 x336 x27 x6 （ 2） x42 x3x212 xx2 八、添项、拆项、配方法；例 15、分解因式（1） x 33x 24解法 1拆项；解

16、法 2添项；原 式 = x313x 23原式 = x33x 24 x4 x4= x= x1 x 21 x 2x1x13 x 3x1 x13= xx 2= xx3x1 x44 x444 x1= x= x1 x 21 x4x42 2= x= x1 x 21 x4x42 2（ 2） x9x 6x33解：原式 = x91 x61 x31= x3= x31 x61 x6x31x 31x 3x31 x3111x31= x1 x 2x1 x 62 x33练习 15、分解因式（1） x39 x8（ 2） x1 4 x21 2x1 4（ 3） x47 x 21（ 4） x 4x22ax1a 2（ 5） x4y

17、4 xy4（ 6） 2a 2b 22a 2 c 22b 2c 2a 4b 4c 4九、待定系数法；例 16、分解因式x 2xy6 y 2x13 y6分析：原式的前3 项 x2xy6 y 2 可以分为x3 y x2 y ，就原多项式必定可分为x3 ym x2 yn解：设 x 2xy6 y 2x13y6 = x3 ym x2 yn x3 ym x2 yn = x2xy6 y 2mn x3n2m ymn x 2xy6 y2x13y6 = x 2mxy6 y 2n1 mn xm3n22m ymn对比左右两边相同项的系数可得3n2 mmn613 ，解得n3原式 = x3 y2 x2 y3例 17、（ 1

18、）当 m 为何值时，多项式x2y 2mx5 y6 能分解因式，并分解此多项式；（ 2）假如 x3ax2bx8 有两个因式为x1 和 x2 ， 求 ab 的值；（ 1）分析：前两项可以分解为 xy xy ，故此多项式分解的形式必为 xya xyb解：设 x 2y 2mx5 y6 = xya xyb就 x 2y 2mx5 y6 = x2y2abxba yab第 6 页 共 7 页比较对应的系数可得：a bmb a5，解得：a 2a2b 3或b3ab6m1m1当 m1时，原多项式可以分解；当 m1时，原式 = x当 m1时，原式 = xy2 xy2 xy3 ；y3（ 2）分析： x3的一次二项式；ax2bx8 是