初中数学基础知识讲义01—有理数

1、中学数学基础学问讲义有理数一、正数和负数的定义(1) 正数 ：大于 0 的数叫做正数；依据需要有时在正数前面加上正号“+”，但是正数前面的正号“+”，一般省略不写； 负数 ：在正数前面加上负号“- ”的数叫做负数；负数前面的负号“- ”不能省略；注：对于正数和负数的概念，不能简洁地懂得为带“+”的数就是正数，带“- ”的数就是负数；eg：-a 不肯定是负数，由于字母a 可以表示任何数，当a 是正数时， -a 是负数；当a 表示负数时， -a 就是一个正数，而不是负数；当a 表示 0 时， -a 就是在 0 前面加上一个负号，仍是0,0 不分正负；(2) 具有相反意义的量正数和负数表示具有相反意

2、义的量；如用正数表示某种意义的量，就负数就表示与其相反的量，反之亦然；常见的表示相反意义的量：零上和零下、前进和后退、海平面以上和海平面以下、收入和支出、向南和向北、盈利和亏损、上升和下降；30的意义（重点懂得） ：数 0 既不是正数，也不是负数；0 是正数和负数的分界线；0是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度；0 的意义已经不仅是表示“没有”；1、2021 山东德州 1,0， 0.2 ，2 、（ 2021 广西玉林市）既不是正数也不是负数的数是1， 3中正数一共有个73、（ 2021 浙江丽水）假如零上2记作 +2，那么零下3记作（） a. 3 b. 2 c.+3 d.+2 4、（

3、2021 浙江宁波）杨梅开头采摘啦！每框杨梅以5 千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图，就这4 框杨梅的总质量是（）a 19.7 千克b 19.9 千克c 20.1 千克d 20.3 千克二、有理数的概念(1) 正整数、 0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数 ；注：（ 1）正整数、 0、负整数统称为整数 ；（ 2）正分数和负分数统称为分数 ；（ 3）对于小数，只有能化成分数的小数 才是有理数；（ 4）我们把 有限小数和无限循环小数都看做分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数；（ 5）无限循环小数不能化成分数，因此它不是分数，也不是整数

4、，所以就不是有理数；(2) 有理数的分类（重点）按数的种类分按有理数的性质分有理数正整数整数0负整数正分数有理数正有理数0负有理数正整数正分数负整数分数负分数负分数注：（ 1）有理数的分类必需按同一标准，不漏、不重；（ 2） 0 和正整数统称为非负整数 ；（ 3）0 和负整数统称为非正整数 ；（ 4）0 和正有理数统称为非负数 ；（ 5）0 和负有理数统称为非正数 ；1、以下个数中：13，0.7 ，0，3 ，1 中负分数有个；负整数有个；25自然数有个2、（宁波）以下各数是正整数的是（）a 1b 2c 0 5d 133、（上海）如以下分数中，能化为有限小数的是（） a1b1 ； c1 ； d1

5、357934、（东阳县）是（）a负整数b 有理数c整数d 负数7三、数轴的概念(1) 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴；(2) 数轴的画法（重点）画数轴时，关键要表达数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不行；(3) 数轴上的点与有理数的关系（重点、难点）一般地，设a 是一个正数，就数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个长度单位；表示数-a 的点在原点的左边， 与原点的距离是a 个长度单位； 全部的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数 可以用原点右边 （或上边）的点表示 ，负有理数 可以用原点左边（或下边）的点表示， 0 用原点表示；(4) 利用数轴比较大小

6、（重点、难点）1、数轴上的数的大小比较：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大2、有理数大小比较法就：（1）正数都大于0（ 2）负数都小于0（ 3）正数大于负数(5) 两个负数比较大小：距原点距离远的数比距离远点近的数小，即在原点的左侧，离原点越远，数越小；1、如下图所示，数轴中正确选项（） 101ab 101c101d2、（重庆潼南）如图，数轴上a， b两点分别对应实数a、 b，aba、b 的大小关系为a0b3、（ 2021 江苏泰州市） 如图， 数轴上的点p 表示的数是 1，将点 p向右移动3 个单位长度得到点 p，就点p表示的数是：四、相反数(1) 相反数的概念：在数轴上与原点的距离

7、相等，且只有 的两个数，我们称它们互为相反数是 ；概念的懂得： ；规定：零的（ 1）互为相反数的两个数分别在原点的 ，且到原点的 相等，（ 2）一般地，数a 的相反数是 ，（ 3）在一个数的前面添上“”号，就表示这个数的相反数；(2) 多重符号的化简：化简双重符号的规律可简述为：同号得“”，异号得“”；例如：化简：（+10） =（ 2） - 0 =（ 3）（ 20）= （ 4） +（ +3） =（ 5） +（ 0.15 ） =1、（ 2021 云南昆明）1 的相反数是（） a.211b.21c. 2d.2212、（ 2021 福州） 3 的相反数是（） a 3b.c.3d.333、（本溪中考

8、假如 a 与 1 互为相反数，就a+2 等于（）a 2b 2c1d1五、肯定值 ：(1) 数轴上，表示 叫做这个数的肯定值；5 的肯定值记作： | 5| ；a的肯定值记作： a(2) 肯定值法就： 正数的肯定值是 ； 0 的肯定值是 ； 负数的肯定值是 ；想一想： 120.623492（ 3）含有字母的肯定值的化简求值（重点、难点）化简肯定值要分两步走，即“先判后去”先判定这个数是正数、零仍是负数，再由肯定值的意义确定去掉肯定值的符号的结果是等于它本身仍是等于它本身的相反数或零；1、（ 2021 云南省） | |= （） abc 7d 72、（ 2021 舟山） 3 的肯定值是（） a 3b

9、3cd 133、（ 2021 四川泸州）已知实数x、y 满意 x1y30 ，就 x+y 的值为（） a 2b 2c 4d 44、已知 | a |3 ，就 a 的值为（）a.3b.3c3 .d.以上答案均不正确六、有理数的大小比较在数轴上，越在右方的数 1负数小于 ，0 小于 ，负数小于 数； 2两个正数，应用已有的方法比较（肯定值大数大）； 3两个负数，肯定值大的 .1、（ 2021 广东）在1， 0，2， 3 这四个数中，最大的数是（） a 1 b 0 c 2d-32、（ 2021 武汉）在实数2， 0， 2， 3 中，最小的实数是（） a -2 b 0 c 2d 33、（ 2021 菏泽）

10、比 1 大的数是（） a 3 b c 0d 14、（ 2021 珠海）比较大小：23七、有理数的运算（ 1）有理数的加法1、把 两个 有理数 合成一个 有理数的运算叫作有理数的加法；2、两个有理数相加，有以下几种情形： 两数都是正数； 两数都是负数； 两数异号，即一个是正数，一个是负数； 一个是正数，一个是0； 一个是负数，一个是0； 两个数都是0.（ 2）有理数的加法法就1、有理数的加法法就共有4 条：（ 1）同号两数相加，取相同的符号，并把肯定值相加；（ 2）异号两数相加，肯定值不相等时，取肯定值较大的加数的符号，并用较大的肯定值减去较小的肯定值；（ 3）互为相反的两个数相加得0；（ 4）

11、一个数与0 相加，仍得这个数；一个数同0 相加，仍得这个数总结：有理数加法的运算步骤先判定属于法就中的哪种类型；再依法就判定和的符号；判定利用肯定值的和仍是肯定值的差进行运算上述步骤可以概括为： “肯定二求三加减”1、（ 2021 武汉）运算：2+（ 3） =2、（ 2021 遵义） 3+（ 5）的结果是（） a -2 b -8 c 8d 23、（ 2021 安徽）下面的数中，与3 的和为 0 的是（） a.3b. 3c.（ 3）有理数的减法1 d.1331、有理数的减法，就是已知两个有理数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算；2、有理数的减法与加法互为逆运算；3、任意两个数都可以进行减法

12、运算；4、几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分构成：（ 1）性质符号； （ 2）数字即数的肯定值；5、有理数的减法法就内容： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 abab ；这里的a、b 表示任意有理数；1、（ 2021 黔东南）运算1 2 等于（）a、1b、3c、 1d、32、（ 2021 山西）运算：2 5 的结果是（） a 7b 3 c3d73、（ 2021 珠海）运算11 .324、（ 2021 台湾）算式743×369741×370之值为何？ a 3 b 2c2d3（ 3）有理数的乘法有理数乘法法就： 同号两数相乘得正，并把肯定值相乘；（两个负数相乘简称：

13、负负得正 ） 异号两数相乘得负，并把肯定值相乘； 0 乘以任何数仍得0；多个有理数连乘， 假如奇数个负数，积得负；假如偶数个负数，积得正；（ 4）有理数的除法由于： 除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以有理数除法的商的符号确定的方法和乘法一样；（ 5）有理数的乘方a aa 2 ，读作 a 的平方（或二次方） aaaa3 ，读作 a 的立方（或三次方） a a aaa4 ，读作 a 的四次方一般地， n 个相同的因数a 相乘：记作：naaaaaana n 读作 a 的 n 次方，或者读作a 的 n 次幂求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方；乘方的结果叫做幂一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如

14、，551（指数 1 通常省略不写）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；12n34n正数的任何次幂都是正数练一练 31 =1=1=1=1 =0 =32111 4 =1=12021=20211=511偶数奇数（ 6）有理数的混合运算到目前为止，对有理数来说，我们学过的运算有：加、减、乘、除、乘方；运算次序： 先乘方，再乘除，后加减；假如右括号，先算括号里面的；1、（ 2021 安徽省 ） 运算（ 2）× 3 的结果是（）a. 6b.6c. 5d.52、20xx 年天津市 运算（ 6）×（ 1）的结果等于（）a 6 b 6c1d 13、（三明中考）假如3 21, 就 内应填的

15、实数是（） a 32b c233d 2233 24、2021 江苏苏州 运算： 2 =（ 2021 四川绵阳） 2=（ 2021 陕西 运算： 1 2 =3（ 7）近似数与有效数字1. 精确数：完全符合实际的数；近似数：和精确数特别接近的数，近似数和精确数接近的程度叫做精确度；2有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0 的数字起 ，到 末尾数字 为止， 全部的数字 都叫做这个数的有效数字；3. 近似数的精确度有两种形式：1）精确到哪一位，2）保留几个有效数字；4. 近似数和有效数字的确定方法对一般数字的近似数有两个原就：一是非零数字都是有效数字；二是前面的“0”都不是有效数字，夹在非零数字中间

16、的“ 0”和后面的“0”都是有效数字；对带有计数单位的近似数，方法同上，如1.2 万，同有两个有效数字1、 2，而不是5 个有效数字1、 2、0、0、0；（ 8）科学记数法1、科学计数法：把一个肯定值大于10 的数写成数的方法就是科学计数法；a10n 的形式（其中a 是整数位只有一位的数， n 是正整数 ），这种计2、用科学计数法计数时应留意：不能转变数的大小；表示成a10n 的形式； 1| a |10,且n为正整数；负数也可以用科学计数法表示，“ - ”照写，其他与正数一样；1、（ 2021 贵州铜仁） 从权威部门获悉， 中国海洋面积是299.7 万平方公里， 约为陆地面积的三分之一, 29

17、9.7万平方公里用科学计数法表示为（）平方公里（保留两位有效数字）a 310 6 b 0.310 7 c 3.010 6 d 2.9910 62、（ 2021 四川资阳市）为了爱护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作20xx年，我国火电企业的平 均煤耗连续降低，仅为330000 毫克 / 千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为毫克/ 千瓦时 3、（ 2021 贵州黔西南州）20210000 用科学记数法表示（保留3 个有效数字）为4、（ 2021 衡阳）环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关怀的重要问题；我国新修订的环境空气质量标准中增加了pm 2.5 监测指标，“ pm

18、2.5 ”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5 微米的颗粒物； 2.5 微米即 0.0000025米；用科学记数法表示0.0000025为（）a 2.510 5b 2.5105c 2.510 6d 2.51065、（ 2021 随州） 20xx 年，我市以保证和改善民生为重点的“十件实事”全面完成，财政保证民生支出达74 亿元，占公共财政预算支出的75%，数据 74 亿元用科学记数法表示为（）a74×10 8 元b7.4 ×10 8 元c7.4 ×10 9 元d0.74 ×10 10 元 57 6m 56、（ 2021 山西） pm2.5 是指大气中

19、直径小于或等于2.5 m（1 m=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害2.5 m用科学记数法可表示为（）a2.5 ×10mb0.25 ×10mc2.5 ×10md25×101、（ 2021 陕西）假如零上5 记作 +5 ，那么零下7 可记作（）a 7 b+7 c+12 d12 2、（ 2021 南京市）以下四个书中，是负数的是（）a.| 2|b. （ 2） 2c. 2 d.2 23、（ 2021 浙江衢州）以下四个数中，最小的数是a.2b. 2 c.0d.1 24、（ 2021

20、 山东莱芜）如图，在数轴上点m表示的数可能是（）a 1.5b 1.5c 2.4d 2.45、（ 2021 湖北宜昌）如图，m，n 两点在数轴上表示的数分别是m，n，就以下 式子中成立的是（）a m+n 0b m nc|m| |n| 0d 2+m2+n6、（ 2021 呼和浩特）实数a， b，c 在数轴上对应的点如下列图，就以下式子中正确选项（）a ac bcb | a b|= abc a b cd ac bc7、2021 重庆）实数17 的相反数是（） a 17bc 17d8、（ 2021 莱芜）以下四个实数中，不是有理数的为（） a 0b-3c d9、（ 2021 浙江湖州市） 2 的肯定值是（） a.2b. 2c.1 d. ±2210、（ 2021 湖北襄阳）一个数的肯定值等于3，这个数是（）a 3b 3c±3d 1311、2021 四川南充 运算： 2（3）的结果是（） a 5b1c 1d 5212、（ 2021 毕节地区）运算3 的值是（） a 9b 6c 9d 613、（ 2021 山东省聊城）运算12 的结果是（）a.331 b.31 c. 1d.1314、（ 2021 浙江嘉兴市）20 等于 a.1b.2c.0d 215、（ 20x