初中数学抛物线与几何专题练习及谜底2

1、全国各地中考试题压轴题精选讲座抛物线与几何问题【学问纵横】抛物线的解析式有以下三种形式：1 、一般式：yaxbxc a 0 ；2 、顶点式：2y =ax h 2- k ；3 、交点式： y=ax x 1x x 2 ，这里 x 1、x 2 是方程 ax 2 +bx+c=0的两个实根；解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与运算相结合是解题的关键；【典型例题】【例 1 】 浙江杭州 在直角坐标系xoy 中，设点a （ 0， t ），点 q （t ， b ）；平移二次函数 ytx 2 的图象，得到的抛物线f 满意两个条件：顶点为 q

2、；与 x 轴相交于 b，c 两点（ob < o，c）连结 a ， b；（ 1 ）是否存在这样的抛物线f，2oaoboc ？请你作出判定，并说明理由；3（ 2 ）假如 aq bc，且 tan abo=2，求抛物线f对应的二次函数的解析式；2【 思路点拨 】（1 ）由关系式oaoboc来构建关于t 、b 的方程； 2 争论t 的取值范畴，来求抛物线f 对应的二次函数的解析式；【例2】 江苏常州 如图 ,抛物线yx4x 与 x 轴分别相交于点b、o,它的顶点为2a, 连接 ab, 把 ab 所的直线沿y 轴向上平移 ,使它经过原点o, 得到直线l,设 p 是直线 l 上一动点 .（ 1 ）求点

3、 a 的坐标 ;（ 2 ）以点 a 、b、o 、p 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形 ,请分别直接写出这些特别四边形的顶点p 的坐标 ;（ 3 ）设以点 a、b、o 、p 为顶点的四边形的面积为s,点 p 的横坐标为x, 当 462范畴 .s682 时,求 x 的取值【思路点拨 】（ 3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x，所以应争论当点p 在其次象限时，x<0 、 当点 p 在第四象限是， x>0这二种情形；【例 3 】（浙江丽水） 如图，在平面直角坐标系中，已知点 a 坐标为（ 2 ，4），直线 x2与 x 轴相交于点b ，连结 oa ，抛物线y点 p ，顶点

4、m 到 a 点时停止移动x2 从点 o 沿 oa 方向平移，与直线xy2 交于（ 1 ）求线段 oa 所在直线的函数解析式；（ 2 ）设抛物线顶点m 的横坐标为m ,a用 m 的代数式表示点p 的坐标；p当 m 为何值时，线段pb 最短；m（ 3）当线段 pb 最短时，相应的抛物线上是否存在点q ，使qma 的面积与 pma 的面积相等， 如存在， 恳求出点 q 的坐标；如不存在，请说明理由boxx2【思路点拨 】（ 2 ）构建关于pb 的二次函数，求此函数的最小值； （ 3 ）分当点 q 落在直线 o a 的下方时、当点q 落在直线 oa 的上方时争论；【 例4 】（ 广 东 省 深 圳 市

5、 ） 如 图1 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 二 次 函 数yax2bxc a0 的图象的顶点为d 点，与 y 轴交于 c 点，与 x 轴交于 a、b 两点，1a 点在原点的左侧，b 点的坐标为（3， 0）， ob oc， tan aco 3（ 1 ）求这个二次函数的表达式（ 2 ）经过 c、d 两点的直线，与x 轴交于点e，在该抛物线上是否存在这样的点f， 使以点 a 、c、e、f 为顶点的四边形为平行四边形？如存在，恳求出点f 的坐标；如不存 在，请说明理由（ 3 ）如平行于x 轴的直线与该抛物线交于m 、 n 两点，且以mn为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度（ 4 ）如

6、图 2 ，如点 g（ 2 ，y ）是该抛物线上一点，点p 是直线 ag 下方的抛物线上一动点，当点p 运动到什么位置时， apg 的面积最大？求出此时p 点的坐标和 apg 的最大面积 .yyeaobxaobxccgdd图 9图 10【思路点拨 】（ 2 ）可先以 a 、c、 e、f 为顶点的四边形为平行四边形时，求 f 点的坐标，再代入抛物线的表达式检验； （ 3 ）争论当直线 mn 在 x 轴上方时、当直线 mn 在 x 轴下方时二种情形； （ 4）构建 s 关于 x 的二次函数，求它的最大值；【例 5 】（山东济南） 已知：抛物线2yaxbxc a 0 ，顶点 c 1 ，3 ，与 x 轴

7、交于 a、b 两点， a1，0 （ 1 ）求这条抛物线的解析式（ 2 ）如图， 以 ab 为直径作圆， 与抛物线交于点 d ，与抛物线对称轴交于点e，依次连接a、d 、b、e，点 p 为线段 ab 上一个动点 p 与 a、b 两点不重合 ，过点 p 作 pm ae 于 m ，pndb 于 n ，请判定 pmpnbead是否为定值 . 如是，恳求出此定值；如不是，请说明理由（ 3 ）在 2 的条件下，如点s 是线段ep 上一点，过点s 作 fg ep ， fg 分别与边ae、be 相交于点f、gf 与 a、e 不重合， g 与 e、b 不重合 ，请判定paefpbeg是否成立如成立，请给出证明；

8、如不成立，请说明理由y【思路点拨 】（2 ）证apm abe， pmapebeab同理 :pnpbadab（ 3 ）证 ph = bh 且apm pbhm再证mepegf 可得；aopbxndc【学力训练】1 、（广东梅州） 如下列图，在梯形abcd 中，已知 ab cd， ad db ，ad = dc= cb，ab =4 以ab 所在直线为x 轴，过 d 且垂直于ab 的直线为y轴建立平面直角坐标系（ 1 ）求dab 的度数及a、d 、c 三点的坐标；（ 2 ）求过 a、d 、c 三点的抛物线的解析式及其对称轴 l（ 3 ）如 p 是抛物线的对称轴l 上的点， 那么使pdb 为等腰三角形的点

9、p 有几个 .（不必求点p的坐标，只需说明理由）2 、（广东肇庆） 已知点 a（ a，y1 ）、b（2 a，y 2 ）、c（ 3 a，y 3 ）都在抛物线y5x212x上.（ 1 ）求抛物线与x 轴的交点坐标；（ 2 ）当 a=1 时，求abc 的面积；（ 3 ）是否存在含有y1 、y 2 、y 3 ，且与 a 无关的等式？假如存在，试给出一个，并加以证明；假如不存在，说明理由.3 、（青海西宁） 如图，已知半径为1 的o1 与 x 轴交于 a， b 两点， om 为o1 的切线，切点为 m ，圆心 o1 的坐标为 2，0 ，二次函数yx2bxc 的图象经过a， b 两点（ 1 ）求二次函数的

10、解析式；y（ 2 ）求切线 om 的函数解析式；m（ 3 ）线段 om 上是否存在一点p ，使得以 p， o， a为顶点的三角形与oo1m相像如存在，恳求出全部符合条件的点p 的坐标；如不存在，请说明理由4 、（辽宁 12 市） 如图，在平面直角坐标系中，直线oao1bxy3x3 与 x 轴交于点a ，与 y 轴交于点c ，抛物线 yax2233xc a0 经过 a， b， c三点y（ 1 ）求过 a， b， c 三点抛物线的解析式并求出顶点f 的坐标；aobx cf（ 2 ）在抛物线上是否存在点p ，使 abp 为直角三角形，如存在，直接写出p 点坐标；如不存在，请说明理由；（ 3 ）摸索究

11、在直线ac 上是否存在一点m ，使得 mbf的周长最小，如存在，求出m 点的坐标；如不存在，请说明理由5 、（四川资阳）如图，已知点a 的坐标是（1， 0），点b 的坐标是（ 9 ，0 ），以 ab 为直径作o，y交轴的负半轴于点 c，连接 ac、bc，过 a 、b、c 三点作抛物线（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 e 是 ac 延长线上一点， bce的平分线cd 交o 于点 d ，连结 bd ，求直线bd 的解析式；（ 3）在（ 2 ）的条件下， 抛物线上是否存在点p，使得pdbcbd. 假如存在，恳求出点 p 的坐标；假如不存在，请说明理由6 、（辽宁沈阳） 如下列图，在平面直角坐标系

12、中，矩形aboc 的边 bo 在 x 轴的负半轴上，边oc 在 y 轴的正半轴上，且ab1， ob3 ，矩形 aboc 绕点 o 按顺时针方向旋转60 后得到矩形efod 点 a 的对应点为点e ，y点 b 的 对 应 点 为 点 f ， 点 c 的 对 应 点 为 点 d ， 抛 物 线e fayax2bx过c 点 a， e， d cdbox（ 1 ）判定点 e 是否在 y 轴上，并说明理由；（ 2 ）求抛物线的函数表达式；（ 3 ）在 x 轴的上方是否存在点p ，点 q ，使以点 o， b， p， q 为顶点的平行四边形的 面积是矩形aboc 面积的 2 倍，且点 p 在抛物线上， 如存在

13、， 恳求出点 p ，点 q 的坐标；如不存在，请说明理由7 、（苏州市） 如图，抛物线y ax 1x 5 与 x 轴的交点为m 、n 直线 y kxb与 x 轴交于 p 2，0，与 y 轴交于 c如 a、b 两点在直线y kx b 上，且 ao = bo =2 ，ao bo d 为线段 mn 的中点， oh 为 rtopc 斜边上的高1 oh 的长度等于 ；_ k ， b ；_2 是否存在实数a，使得抛物线y ax 1x 5上有一点e，满意以d 、n 、e 为顶点的三角形与 aob相像 .如不存在，说明理由；如存在，求全部符合条件的抛物线的解析式，同时探究所求得的抛物线上是否仍有符合条件的e

14、点简要说明理由 ；并进一步探索对符合条件的每一个e 点，直线 ne 与直线 ab 的交点 g 是否总满意pb·pg 10出探究过程2 ，写ybchap-2modnx抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例 1 】 浙江杭州 （ 1 ） 平移 ytx 2 的图象得到的抛物线f 的顶点为 q , 抛物线 f 对应的解析式为: yt xt 2b . 抛物线与x 轴有两个交点，t b0 .令 y0 , 得 obtb ， octb ,tt | ob | oc | tbbttt| t 2b |t 2toa 2,t即 t 2bt 2 , 所以当 b2 t 3 时, 存在抛物线f 使得| oa |

15、2| ob | oc| .- 2分2aq / bc, tb , 得 f :yt xt2t ,解得 x1t1, x2t1.在 rtaob 中,1) 当 t0 时,由| ob | oc| , 得 b t1, 0 ,当 t10 时, 由tanabo3|oa |2| ob |t, 解得 t3 ,t1此时 , 二次函数解析式为y3x218x24 ;当 t10 时, 由tanabo3|oa |2 | ob |t3, 解得 t,t15此时，二次函数解析式为y3 x 25+ 18x+2548 .12532) 当 t0 时, 由| ob | oc| , 将t 代 t , 可得 t,t3 ,5（也可由x 代 x

16、，y 代 y 得到）所以二次函数解析式为y3 x2+ 18x48 或 y3x 218x24 .525【例 2 】 江苏常州 （ 1） yx 2a-2,-41254x x2 24（ 2）四边形abp 1 o 为菱形时， p1-2,424四边形 abop 2 为等腰梯形时，p1，55四边形 abp483 o 为直角梯形时，p1，55612四边形 abop 4 为直角梯形时，p1，55（ 3）由已知条件可求得ab 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线 l 的函数关系式是y=-2x当点 p 在其次象限时，x<0,pob 的面积s pob14212 x4 xaob 的面积s aob448

17、 ，2ssaobs pob4x8x0462s682 ，s462s6824x8即4x8462x23221422682s142x 的取值范畴是2x2322当点 p 在第四象限是，x>0,过点 a 、p 分别作 x 轴的垂线，垂足为a 、p就四边形 poa a 的面积spoa as梯形pp a as pp o142 x x2212xx24 x4aa b 的面积s aa b4242sspoa as a a b4x8x0462s6s462s68282 ，4 x8即4 x8462x32224212682sx 的取值范畴是3222x4212【例 3 】（浙江丽水） （ 1 ）设 oa 所在直线的函数解

18、析式为ykx ， a （ 2， 4），y2k4 ,k2 ,aoa 所在直线的函数解析式为y2 xpm（2 ）顶点 m 的横坐标为m ，且在线段o a 上移动，y2 m （ 0 m 2 ） .boxx2顶点 m 的坐标为 m , 2m .（第 24 题）抛物线函数解析式为y xm 22m .当x2 时，y2m 22mm22m4 （ 0m 2） .点p 的坐标是（ 2，m22m4 ） .pb =m22 m4 = m1 23 ， 又0m 2 ，当m1 时， pb 最短（3 ）当线段 pb 最短时，此时抛物线的解析式为2yx12 .假设在抛物线上存在点q ，使s qmas pma .设点 q 的坐标为

19、（x ，x22 x3 ） .当点 q 落在直线 oa 的下方时，过p 作直线 pc / ao ，交 y 轴于点 c ，pb3， ab4 ，ap1 ，oc1 ，c 点的坐标是（0 ，1） .yd a点 p 的坐标是（ 2， 3 ），直线 pc 的函数解析式为y2x1 .ps qm as pm a ，点 q 落在直线y2x1 上.mx22 xe3 = 2 x1.b解得 x12, x22 ，即点 q （ 2， 3） .oxx2c点q 与点 p 重合 .此时抛物线上不存在点q ，使qma 与apm 的面积相等 .当点 q 落在直线 oa 的上方时，作点 p 关于点 a 的对称称点d ，过 d 作直线

20、de /ao ，交 y 轴于点 e ，ap1 ， eoda1 ， e 、 d 的坐标分别是（0 ， 1），（ 2， 5），直线 de 函数解析式为y2x1.s qm as pm a ，点 q 落在直线y2x1 上.x22 x3 = 2x1.解得：x122 ，x222 .代入 y2x1，得y1522 ，y2522 .此时抛物线上存在点q122, 522， q2 22 ,522使qma 与pm a 的面积相等 .综上所述，抛物线上存在点q122,522， q2 22 ,522使qma 与pm a 的面积相等 .【例 4 】（广东省深圳市） （ 1 ）方法一：由已知得：c（0 ， 3 ）， a（ 1

21、， 0）将 a 、b、c 三点的坐标代入得abc09 a3bc0c3a1解得：b2c3所以这个二次函数的表达式为：yx 22x3（ 2）存在， f 点的坐标为（ 2， 3）易得 d （1 ， 4 ），所以直线cd 的解析式为：yx3e 点的坐标为（3 ，0 ）以 a 、c、e、f 为顶点的四边形为平行四边形f点的坐标为（ 2 ， 3 ）或（2 ，3 ）或4（，3 ）代入抛物线的表达式检验，只有（2， 3）符合存在点 f，坐标为（ 2 ， 3 ）（ 3）如图，当直线mn在 x 轴上方时，设圆的半径为r（r>0 ），就 n （r+1 ， r），代入抛物线的表达式，解得117yr21r当直线

22、mn在 x 轴下方时，设圆的半径为r（ r>0 ），就 n （ r+1 ， r ），mnraobxr代入抛物线的表达式，解得r1171rmn2117圆的半径为或2117d2（ 4）过点 p 作 y 轴的平行线与ag 交于点 q ，易得 g（ 2 ， 3 ），直线 ag 为 yx1 设 p（x， x22 x3 ），就 q（ x， x 1 ）， pqx2x2 s apgs apq1s gpq1 x 2x223当 x时，apg 的面积最大2此时 p 点的坐标为115,2427， s apg的最大值为8【例 5 】（山东济南）(1) 设抛物线的解析式为yax2213将 a 1， 0 代入 :0a

23、 113 a31x4 抛物线的解析式为y3 x23 ，即： y323 x9（ 2）是定值，4pmpn1bead424 ab 为直径，aeb=90 °，p m ae， pm bepmapapmabe，beab同理 :pnpbadab +pmpnappb:1beadabab（ 3） 直线 ec 为抛物线对称轴， ec 垂直平分ab ea= ebaeb=90 °aeb 为等腰直角三角形eab=eba=45 ° .7 分如图，过点p 作 ph be 于 h ，由已知及作法可知，四边形phem 是矩形，ph = me 且 ph me在apm 和pbh 中amp =phb=9

24、0 °， eab=bph=45 ° ph= bh且apm pbhpapmpbbhpapmpmpbphme在mep 和egf 中， pe fg，fge+seg=90 °mep +seg=90 ° fge=meppme=feg=90 °mepegfpmefmeeg由、知：paefpbeg【学力训练】1 、（广东梅州）（ 1）dc ab，ad = dc= cb，cdb =cbd =dba ，dab =cba ，dab =2 dba ，dab +dba =90，dab =60，dba =30，ab =4 ，dc = ad =2 ，rtaod ， oa

25、=1 ，od =3 ，a（ -1 ， 0 ）， d （ 0，3 ）， c（2 ，3 ）（ 2 ）依据抛物线和等腰梯形的对称性知，满意条件的抛物线必过点a（ 1 ， 0 ）， b（ 3 ， 0 ），故可设所求为y = a（ x +1 ）（x -3 ）3将点 d （ 0 ，3 ）的坐标代入上式得，a =3所求抛物线的解析式为y =3 x1 x33.其对称轴l 为直线 x =1 （ 3 ）pdb 为等腰三角形，有以下三种情形：因直线l 与 db 不平行， db 的垂直平分线与l 仅有一个交点p1 ，p1 d = p1 b， p1 db 为等腰三角形；由于以d 为圆心，db 为半径的圆与直线l 有两个

26、交点p2 、p3，db = dp 2 ，db= dp3 ，p2 db，p3db 为等腰三角形；与同理，l 上也有两个点p4、p5，使得bd= bp4 ， bd = bp5由于以上各点互不重合，所以在直线l 上，使pdb 为等腰三角形的点p 有 5 个2 、（广东肇庆） （1 ）由 5 x212x =0 ， （ 1 分）得 x10 ， x212 抛物线与 x 轴的交点坐标为（0 ，0 ）、（512，0 ） （ 3 分）5（ 2）当 a=1 时，得 a（1 ，17 ）、b（ 2， 44 ）、c（ 3， 81 ），分别过点 a、b、c 作 x 轴的垂线，垂足分别为d 、e、f，就有s abc=s 梯

27、形 adfc17812 -17441 - 44811222=- s梯形 adeb- s梯形 befc=5 （个单位面积）（ 3）如： y33 y2y1 事实上，y353a 2123a=45 a2 +36 a3 （ y2y1 ） =35 ×（2 a） 2 +12 ×2a- （ 5a2+12 a） =45 a2+36 a y33 y2y1 3 、（青海西宁）（ 1）圆心o1 的坐标为 2，0 ，o1 半径为 1 ，a1，0 ， b3，01 分二次函数yx2bxc 的图象经过点a， b ，可得方程组1bc093bc0b 4解得：c 3二次函数解析式为yx24x3（ 2 ）过点m作

28、 mfx 轴，垂足为f om是o1 的切线，m 为切点，o1mom （圆的切线垂直于经过切点的半径）在 rtoo1m中， sino1omo1m1oo12yo1om 为锐角，o1om303p1p2ohamf o1bxomoo1cos3023 ，2在 rt mof中， ofom33cos30322mfomsin 30313 22点 m 坐 标为3 ， 322设切线 om 的函数解析式为ykx k0 ，由题意可知33 k ，22k3切3线 om 的函数解析式为y3 x3（ 3）存在过点 a 作ap1x 轴，与 om 交于点p1 可得rt ap1o rtmoo1（两角对应相等两三角形相像）p aoa

29、tanaoptan303 ，p1， 331113过点 a 作ap2om ，垂足为p2 ，过p2 点作p2 hoa ，垂足为 h 可得 rt ap2o rto1 mo （两角对应相等两三角开相像）在 rtop2 a 中，oa1，op2oacos303 ，2在 rtop2 h中， ohop2cosaop2333，224p hopsinaop3132，p3 ， 322222444符合条件的p 点坐标有1， 33，3 ， 3444 、（辽宁 12 市）解：（1 ）直线 y3x3 与 x 轴交于点 a ，与 y 轴交于点 c a1，0 ， c0，3点 a， c 都在抛物线上，0a23ca3333cc3抛

30、物线的解析式为y3 x223 x3顶点 f1， 43333（ 2）存在p10，3 p2 2，3（ 3）存在y理由：haobxcbm f图 9解法一：延长 bc 到点 b ，使 b cbc ，连接 b f 交直线 ac 于点 m ，就点 m 就是所求的点过点 b 作 b hab 于点 h b 点在抛物线y3 x223 x3 上，b 3，033在 rt boc 中，tanobc3 ，3obc30 ， bc23 ，1在 rt bb h 中，b hbb 223 ，bh3b h6 ，oh3 ，b 3， 23设直线 b f 的解析式为ykxb233kb43kb 3y3 x33k3解得6b33262y3 x

31、3x37333解得m3 ， 1 03y6x2y103 ，777在直线 ac 上存在点m ，使得 mbf的周长最小，此时m3 ， 103775 、（四川资阳）1 以ab 为直径作o，y交轴的负半轴于点c，oca+ ocb=90 °，又ocb+ obc=90 °，oc=a obc，又ao=c cob=90 °，aoc cob ，oaoc ocob又a 1 ，0 ， b9 ， 0 ， 1ococ9，解得 oc=3 负值舍去 c0 ，3 ，设抛物线解析式为y=ax+1x9 ，3=a0+109 ，解得 a= 1 ，3二次函数的解析式为y= 1 x+1x 9 ，即 y= 1

32、x 2图 108 x 3 3332 ab 为 o的直径，且 a 1 ， 0 ，b9 ， 0 ， oo =4 ， o 04，点 e 是 ac 延长线上一点，的bc平e分线 cd 交o于点d ，bc=d12 bce= 12× 90 ° =45 °，连结 od交 bc 于点 m ，就bo=d2 bcd=2 × 45 ° =90o°o， =4 ，o d4 ，5 设直线 bd 的解析式为y=kx+b（ k 0 ）1 ab=5 d=29kb4kb0,k1,解得5.b9.直线 bd 的解析式为y=x 9.3假设在抛物线上存在点p，使得pdb= cb

33、d，设射线 dp 交o于点q，就 bqcd 分两种情形 如答案图1 所示 ：o 40 ， d4 ，5 ， b9 ， 0 ，c0 ，3 把点 c、d 绕点 o逆时针旋转 90 °，使点d 与点 b 重合，就点c与点 q 1 重合，因此，点q 17 ，4 符合 bqcd ， d4 ，5 ， q 17 ，4 ，图 10 答案图 1y1 x19，用待定系数法可求出直线dq 1 解析式为y=119x解方程组33得33y1 x 28 x3.12x941，x 212y2941； y 633941 ，22941 .6点 p1 坐标为 去941，229416， 坐标为 941，229416不符合题意，

34、 舍q 17 ，4 ，点 q 1 关于 x 轴对称的点的坐标为q 27 ， 4 也符合 bqcd d4 ，5 ， q 27 ， 4 用待定系数法可求出直线dq 2 解析式为y=3x 17 y3 x17，x13，x214，解方程组y1 x28得x3.y18； y225.33点 p2 坐标为 14 ， 25 ， 坐标为 3 ，8 不符合题意，舍去符合条件的点p 有两个： p1 941，229416， p214 ， 25 6 、（辽宁沈阳） （ 1 ）点 e 在 y 轴上理由如下：连接 ao ，如下列图，在rt abo 中，ab1 ， bo3 ，ao2sinaob1 ，2aob30由题意可知：aoe60boeaobaoe306090点 b 在 x 轴上，点 e 在 y 轴上（2 ）过点 d 作 dmx 轴于点 mod1 ，dom30在 rt dom中， dm1 ， om322点 d 在第一象限，点 d 的坐标为3122由（ 1）知eoao2 ，点 e 在 y 轴的正半轴上点 e 的坐标为 0，2点 a 的坐标为 3，1抛物线c2yax2bxc 经过点 e ，312由题意，将a3，1 ，d，代入22yaxbx2中得3a3b21a89331解得53bab242298253所求抛物线表达式为：yxx 992 （ 3 ）存在符合条件的点p ，点 q 10 分理由如下：矩形 ab