初中数学相似三角形经典练习难题易错题

1、相像三角形难题易错题一填空题（共2 小题）1如下列图，已知ab ef cd ，如 ab=6 厘米， cd=9 厘米求ef2如图， .abcd的对角线相交于点o，在 ab 的延长线上任取一点e，连接 oe 交 bc 于点 f如 ab=a ， ad=c ，be=b ，就 bf= 二解答题（共17 小题）3如下列图 在abc 中， bac=120 °，ad 平分 bac 交 bc 于 d求证：4如下列图，.abcd中， ac 与 bd 交于 o 点， e 为 ad 延长线上一点，oe 交 cd 于 f，eo 延长线交ab 于 g求证：15一条直线截 abc 的边 bc、ca、ab（或它们的

2、延长线） 于点 d、e、f求证：6如下列图 p 为 abc 内一点， 过 p 点作线段de，fg，hi 分别平行于ab ，bc 和 ca ，且 de=fg=hi=d ， ab=510 ， bc=450 ， ca=425 求 d7如下列图梯形abcd中， ad bc，bd ，ac 交于 o 点，过 o 的直线分别交ab ，cd于 e， f，且 ef bc ad=12 厘米， bc=20 厘米求ef2adb38已知： p 为.abcd 边 bc 上任意一点， dp 交 ab 的延长线于q 点，求证：9如下列图， 梯形 abcd 中，ad bc ，mn bc ，且 mn 与对角线 bd 交于 o如

3、ad=do=a ，bc=bo=b ，求 mn 10 p 为abc 内一点，过p 点作 de， fg， ih 分别平行于ab ， bc， ca （如下列图） 求证：411如下列图在梯形abcd 中， ab cd ，ab cd 一条直线交ba 延长线于e，交 dc延长线于 j，交 ad 于 f，交 bd 于 g，交 ac 于 h ，交 bc 于 i已知 ef=fg=gh=hi=ij，求 dc ： ab 12已知 p 为 abc 内任意一点，连ap ， bp， cp 并延长分别交对边于d， e， f求证：（ 1）（ 2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于213如下列图在 abc 中， a

4、m 是 bc 边上的中线， ae 平分 bac ， bd ae 的延长线于 d ，且交 am 延长线于f求证： ef ab 5614如下列图p，q 分别是正方形abcd的边 ab ， bc 上的点，且bp=bq ，bh pc 于 h求证： qh dh 15已知 m 是 rtabc 中斜边 bc 的中点， p、q 分别在 ab 、ac 上，且 pm qm 求证：2pq =pb2+qc 216如下列图 在 abc 中，acb=90 °，cd ab 于 d，ae 平分 cab ，cf 平分 bcd 求证： ef bc 17如下列图在abc 内有一点p，满意 apb= bpc= cpa如 2

5、b= a+ c，求证： pb2=pa.pc（提示：设法证明pab pbc）7818已知： 如图， abc 为等腰直角三角形，d 是直角边bc 的中点， e 在 ab 上， 且 ae ： eb=2 ： 1求证： ce ad 19如下列图， abc 中， m 、n 是边 bc 的三等分点， be 是 ac 边上的中线， 连接 am 、an ，分别交be 于 f、g，求 bf ： fg： ge 的值120.在 abc 中， a b c=1 2 4求证 ab +11ac = bc提示：要证明如11a + b =1几何题的常用方法：比例法：将原等式变为ca+bab=1a+bbc 或a=c，故构造成以a+

6、b、b 为边且与 a、c 所在三角形相像的三角形；通分法：将原等式变为c + c= 1 ，ab利用相关定理将两个个比通分即：cmc=，=adbn，且 m + n = d ，就原式成立；b92021 中学相像三角形难题易错题参考答案与解析一填空题（共2 小题）1如下列图，已知ab ef cd ，如 ab=6 厘米， cd=9 厘米求ef考点 ：平 行线分线段成比例专题 ：计 算题分析：由 于 bc 是 abc 与 dbc 的公共边，且ab efcd ，利用平行线分线段成比例的定理，可求ef解答：解 ：在 abc 中，由于ef ab ，所以 ef： ab=cf ：cb ，同样，在 dbc 中有 e

7、f： cd=bf ： cb ， + 得 ef： ab+ef ： cd=cf ： cb+bf ：cb=1 设 ef=x 厘米，又已知ab=6 厘米， cd=9 厘米，代入 得x ： 6+x ：9=1 ， 解得 x=故 ef=厘米点评：考 查了平行线分线段成比例定理，娴熟运用等式的性质进行运算2如图， .abcd的对角线相交于点o，在 ab 的延长线上任取一点e，连接 oe 交 bc 于点 f如 ab=a ， ad=c ，be=b ，就 bf=考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ：计 算题分析：首 先作帮助线：取ab 的中点 m ，连接 om ，由平行四边形的性质与三角形中位线

8、的性质，即可求得： efb eom 与 om 的值，利用相像三角形的对应边成比例即可求得 bf 的值解答：解 ：取 ab 的中点 m ，连接 om ， 四边形 abcd是平行四边形，10 ad bc ，ob=od ， om ad bc ，om=ad=c， efb eom ， ab=a ，ad=c ， be=b ， me=mb+be=ab+be=a+b， bf=故答案为：点评：此 题考查了平行四边形的性质、相像三角形的判定与性质等学问解此题的关键是精确作出帮助线，合理应用数形结合思想解题二解答题（共17 小题）3如下列图 在abc 中， bac=120 °，ad 平分 bac 交 bc

9、 于 d求证：考点 ：相 似三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题 ：证 明题分析：过 d 引 de ab ，交 ac 于 e，由于 ad 平分 bac （=120°），所以 bad= ead=60 °如引 de ab ，交 ac 于 e，就 ade 为正三角形，从而ae=de=ad，利用 ced cab ，可实现求证的目标解答：证 明：过 d 引 de ab ，交 ac 于 e ad 是 bac 的平分线， bac=120 °， bad= cad=60 °又 bad= eda=60 °，所以 ade 是正三角形， ea=ed=ad 由于 d

10、e ab ，所以 ced cab ，=1 由 ， 得=1，11从而+=点评：本 题考查了相像三角形对应边比值相等的性质，考查了相像三角形的判定，考查了等边三角形的判定，考查了角平分线的性质，此题中求证ced cab 是解题的关键4如下列图，.abcd中， ac 与 bd 交于 o 点， e 为 ad 延长线上一点，oe 交 cd 于 f，eo 延长线交ab 于 g求证：考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ：证 明题分析：应 利用平行四边形的性质，通过添加帮助线使各线段“集中 ”到一个三角形中来求证解答：证 明：延长cb 与 eg，其延长线交于h，如虚线所示，构造平行四边形a

11、ihb 在 eih 中，由于df ih ，= ih=ab ， =，从而，=1+ 在 oed 与 obh 中， doe= boh ， oed= ohb ， od=ob ， oed obh （aas ） 从 而 de=bh=ai ，=1 由 ， 得=2 点评：此 题考查同学对相像三角形的判定与性质和平行四边形的性质的懂得和把握， 此题的关键是延长 cb 与 eg，其延长线交于 h，如虚线所示，构造平行四边形 aihb 这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题125一条直线截 abc的边 bc 、ca 、 ab （或它们的延长线）于点d、e、f求证：考点 ：三 角形的面积专题 ：证 明题分析

12、：连 接 be 、ad ，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证 解答：证 明：如图，连接be、 ad ， bde 与 dce 等高， =， dce 与 ade 等高， =， adf 与 bdf 等高， =， aef 与 bef 等高， =，=，.=.=113点评：此 题考查同学对三角形面积的懂得和把握，解答此题的关键是连接be、ad ，并把线段之比转化为两三角形面积之比6如下列图 p 为 abc 内一点， 过 p 点作线段de，fg，hi 分别平行于ab ，bc 和 ca ，且 de=fg=hi=d ， ab=510 ， bc=450 ， ca=425 求 d考点 ：相 似三角

13、形的判定与性质；平行四边形的判定与性质专题 ：计 算题分析：由 fg bc，hi ca ，ed ab ，易证四边形aipe 、四边形bdpf 、四边形cgph均是平行四边形， 利用平行线分线段成比例定理的推论可得 ihb afg abc ，于是=，=，再结合=，先运算式子右边的和，易求+=2 ，从而有+=2 ，再把 de=fg=hi=d ，ab=510 ，bc=450 ，ca=425 代入此式，解即可解答：解 ： fg bc， hi ca ， ed ab ， 四边形 aipe 、四边形bdpf 、四边形cgph 均是平行四边形， ihb afg abc ，=，=，+=， 又 de=pe+pd=

14、ai+fb ，af=ai+fi ，bi=if+fb ， de+af+bi=2 ×（ ai+if+fb ） =2ab ，+=2， de=fg=hi=d ， ab=510 ， bc=450 ，ca=425 ，+=+=2，+=2， 解得 d=306点评：本 题考查了相像三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质147如下列图梯形abcd中， ad bc，bd ，ac 交于 o 点，过 o 的直线分别交ab ，cd于 e， f，且 ef bc ad=12 厘米， bc=20 厘米求ef考点 ：平 行线分线段成比例分析：由平行线的性质可得=，得出 oe 与 bc，

15、 of 与 ad 的关系，进而即可求解 ef 的长解答：解 ： ad bc， ef bc，=，又=，=， oe=bc=，of=ad=， ef=oe+of=15 点评：本 题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简洁的运算问题8已知： p 为.abcd 边 bc 上任意一点， dp 交 ab 的延长线于q 点，求证：考点 ：相 似三角形的判定与性质专题 ：证 明题分析：由于 ab=cd ，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可解答：证 明：在平行四边形abcd中，就 ad bc ， ab cd ，=1 点评：本 题主要考查了平行四边形的性质以及相像三角形的判定及性质问题，

16、能够娴熟把握9如下列图， 梯形 abcd 中，ad bc ，mn bc ，且 mn 与对角线 bd 交于 o如 ad=do=a ，bc=bo=b ，求 mn 15考点 ：相 似三角形的判定与性质；梯形专题 ：计 算题分析：由 平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段mn 的长解答：解： mn bc ， 在 abd 中，=，即 om=，同理 on=， mn=om+on=点评：本 题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够娴熟把握10 p 为abc 内一点，过p 点作 de， fg， ih 分别平行于ab ， bc， ca （如下列图） 求证：考点 ：平 行线分线段成比

17、例专题 ：证 明题分析：（ 1）由平行线可得 pif cab ，得出对应线段成比例，即=，同理得出=，即可证明结论；（ 2）证明方法与（1）相同解答：证 明：（1） de ab ， ih ac ， fg bc ， 可得 pif cab ，=， 同理=，16+=+=1（ 2）仿（ 1）可得=，=，+=+=1点评：本 题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质通过线段之间的转化，证明一些简洁的结论11如下列图在梯形abcd 中， ab cd ，ab cd 一条直线交ba 延长线于e，交 dc延长线于 j，交 ad 于 f，交 bd 于 g，交 ac 于 h ，交 bc 于 i已知 ef=fg=g

18、h=hi=ij，求 dc ： ab 考点 ：相 似三角形的判定与性质；梯形专题 ：计 算题分析：由 平行线可得对应线段成比例，又由已知ef=fg=ch=hi=ij ，可分别求出线段ab 、cd 与 ae 、cj 的关系，进而可求解结论 解答：解 ： ab cd ， ef=fg=ch=hi=ij ，=，=，=， dj=4ae ，又=， 解得 ab=ae ，又 ae=cj， ab=cj， eb=4cj ，=，cd=5cj ， ab ： cd=： 5=1： 2点评：本 题主要考查了相像三角形对应边成比例或平行线分线段成比例的性质问题，应娴熟把握1712已知 p 为 abc 内任意一点，连ap ， b

19、p， cp 并延长分别交对边于d， e， f求证：（ 1）（ 2）三者中，至少有一个不大于2，也至少有一个不少于2考点 ：平 行线分线段成比例专题 ：证 明题分析：（ 1）第一问可由三角形的面积入手，即 pbc+ pac+ pab= abc ，通过化简可得面积与线段之间的关系，进而即可求解（ 2）由（ 1）中得出，就其中至少有一个不大于，可设 ，即3ad pd，而 ad=ap+pd ，进而通过证明即可得出结论解答：解 ：（ 1）由面积概念得：spbc+spac+spab=sabc 整理等式得：+=1， 由面积概念得：=，=，=，即= 同理得：=把式 、 、 、代入式 得：18；（ 2）由，知，

20、中至少有一个不大于，不妨设 即 3ad pd 而 ad=ap+pd ， ap2pd，2，即不小于 2，同理可证三式中至少有一个不大于2点评：本 题主要考查了三角形的面积比与对应边的比值之间的关系，能够娴熟把握其内在联系，并能求解一些比较复杂的问题13如下列图在 abc 中， am 是 bc 边上的中线， ae 平分 bac ， bd ae 的延长线于 d ，且交 am 延长线于f求证： ef ab 考点 ：相 似三角形的判定与性质；角平分线的性质专题 ：证 明题分析：利 用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明 mef mab ，从而 ef ab解答：证 明：过 b 作 bg

21、 ac 交 ae 的延长线于g，交 am 的延长线于h ae 是 bac 的平分线， bae= cae bg ac ， cae= g， bae= g， ba=bg 又 bd ag， abg 是等腰三角形， abf= hbf ， f 到 ab 与 bh 的距离相等， sabf ： s hbf=ab ： bh ， sabf ： s hbf=af ： fh ， ab ： bh=af ： fh 又 m 是 bc 边的中点，且bh ac ，易知 abhc 是平行四边形，从而bh=ac ，19 ab ： ac=af ： fh ae 是 abc 中 bac 的平分线， ab ： ac=be ： ec， af

22、 ： fh=be ： ec，即（ am+mf ）：（am mf ） =（ bm+me ）：（bm me ）（这是由于abhc 是平行四边形，所以am=mh及 bm=mc ）由合分比定理，上式变为am ：mb=fm ： me 在 mef 与 mab中， emf= amb ， mef mab abm= fem ，所以 ef ab 点评：此 题考查同学对相像三角形的判定与性质和角平分线的懂得和把握，证明此题的关键是过 b 引 bgac 交 ae 的延长线于g，交 am 的延长线于h和利用合分比定理14如下列图p，q 分别是正方形abcd的边 ab ， bc 上的点，且bp=bq ，bh pc 于 h

23、求证： qh dh 考点 ：相 似三角形的判定与性质；直角三角形的性质；正方形的性质专题 ：证 明题分析：要 证 qh dh ，只要证明 bhq= chd 由于 pbc 是直角三角形，且bh pc，熟知 pbh= pcb，从而 hbq= hcd ，因而 bhq 与dhc 相像解答：证 明：在 rt pbc 中， bh pc， pbc= phb=90 °， pbh= pcb明显， rt pbc rt bhc ，=，由已知， bp=bq ， bc=dc ，=， = abc= bcd=90 °， pbh= pcb， hbq= hcd 在 hbq 与 hcd 中， =， hbq=

24、hcd ， hbq hcd ， bhq= dhc ， bhq+ qhc= dhc+ qhc 又 bhq+ qhc=90 °， qhd= qhc+dhc=90 °，20即 dh hq 点评：本 题考查了相像三角形的判定与性质及正方形的性质，难度适中，关键是把握相像三角形的判定方法15已知 m 是 rtabc 中斜边 bc 的中点， p、q 分别在 ab 、ac 上，且 pm qm 求证： pq2=pb2+qc 2考点 ：直 角三角形斜边上的中线；勾股定理专题 ：证 明题分析：以 m 点为中心， mcq 顺时针旋转180°至 mbn ，依据旋转的旋转可得 mcq 与

25、mbn 全等，依据全等三角形对应边相等可得bn=qc ，mn=mq ，全等三角形对应 角相等可得，mbn= c，再连接pn，可以证明pm 垂直平分nq ，所以 pn=pq ，然后证明 pbn 为直角三角形，依据勾股定理即可证明解答：证 明：如图，以m 点为中心， mcq 顺时针旋转180°至 mbn ， mcq mbn ， bn=qc ， mn=mq ， mbn= c，连接 pn， pm qm ， pm 垂直平分 nq ， pn=pq， abc 是直角三角形，bc 是斜边， abc+ c=90°， abc+ mbn=90 °，即 pbn 是直角三角形，依据勾股定理

26、可得，pn2 pq2=pb2+qc 2=pb22，+bn点评：本 题考查了直角三角形的旋转，旋转变换的旋转，勾股定理的应用，利用旋转变换把构造出以pq、pb、 qc 转化为同一个直角三角形的三边是证明的关键16如下列图 在 abc 中，acb=90 °，cd ab 于 d，ae 平分 cab ，cf 平分 bcd 求证： ef bc 21考点 ：相 似三角形的判定与性质；平行线的判定专题 ：证 明题分析：由 题中条件可得ac=af ，即 acf 是等腰三角形，所以ec=ef，进而得出 ecf=efc ，结论得证 解答：证 明： acb=90 °， cd ab ， cad=

27、bcd ，又 ae 平分 cab ， cf 平分 bcd ， bcf= cae ， b= acd ， b+ ecf= b+ bcf ，即 acf= afc ， 又 ae 平分 cab ， ac=af ， ce=ef ，即 ecf= efc， efc= bcf ，即 ef bc点评：本 题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的判定问题，应娴熟把握17如下列图在abc 内有一点p，满意 apb= bpc= cpa如 2b= a+ c，求证： pb2=pa.pc（提示：设法证明pab pbc）考点 ：相 似三角形的判定与性质专题 ：证 明题分析：用 apb= apc=120 °，cbp=

28、bap 两个对应角相等证明 pab pbc，依据相像比可证到结论解答：证 明： apb=120 °， abp+ bap=60 °，又 abc=60 °， abp+ cbp=60 °， cbp= bap ，又 apb= apc=120 °， abp bcp，=，2bp =pa.pc点评：本 题考查相像三角形的判定和性质定理，先用判定定理证明相像，然后依据相像对应边成比例证明结论18已知： 如图， abc 为等腰直角三角形，d 是直角边bc 的中点， e 在 ab 上， 且 ae ： eb=2 ： 1求证： ce ad 22考点 ：相 似三角形的判

29、定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ：证 明题分析：过 b 作 bc 的垂线交ce 的延长线于点f，从而可推出ac bf，依据平行线的性质可得到两组对应角相等从而可判定ace bfe ，依据相像三角形的对应边对应成 比例可得到ac=2bf ，进而得到cd=bf ，再利用 hl 判定 acd cbf，由全等三角形的性质得其对应角相等，再依据等角的性质不难证得结论解答：证 明：过 b 作 bc 的垂线交ce 的延长线于点f，（ 1 分） fbc= acb=90 ° ac bf ace bfe（ 3 分） ac=2bf （ 4 分） ac=bc ， cd=bf （ 5 分 ） 在 acd 和 cbf 中， acd cbf （ 6 分） 1=2 2+3= 1+3=90° 4=90&