初中数学竞赛专题选讲未知数比方程个数多的方程组解法

1、学习必备欢迎下载中学数学竞赛专题选讲初三 .11未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要在一般情形下， 解方程或方程组， 未知数的个数总是与方程的个数相同的， 但也有一些方程或方程组， 所含的未知数的个数多于方程的个数， 包括在列方程解应用题时， 引入的帮助未知数 .解这类方程或方程组，一般有两种情形：一是依题意只求其特别解，如整数解， 或几个未知数的和积 等，无需求出全部的解；二是在实数范畴内，可运用其性质， 增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范畴，非负数的性质等.二、例题例 1.在实数范畴内，解以下方程或方程组：x 211x2x12y0 ； x 2+xy+y 2 3x 3y+3=0

2、 ；xyz22xyz24解：依据在实数范畴内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零.得不等式组x2101x20x10解 得 x2x1=1 而 x 1,y2 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，就判别式 0. x 2+y 3x+y 2 3y+3=0. x 是实数， 0.即 y 3 2 4y 2 3y+3 0 . 解得y 12 0 .而 y 1 2 0. y=1.学习必备欢迎下载x 1是原方程的解.y 1消去一元后，利用实数平方是非负数性质.由得 z=2x y .代入得2xy 2 x y2 4=0.整理配方，得x 22+y 22=0.相加得0 的两个数，只有是互为相反数.而 x, y是实

3、数，x 22 0， y 22 0.满意等式的条件只能是：x 20.y 20x2方程组的解是y2z 2此题在消去z 后，也可以仿，写成关于x 的二次方程，用判别式求解.例 2. 一个自然数除以4 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 4，求适合条件的最小自然数.分析：此题有多种解法：交集法，设三元，消去一元，用二元一次方程求整数解，设二元，求二元一次方程的整数解.解法一：除以4 余 1 的自然数集合：1 ， 5，9， 13， 17， 21，37 ；除以 5 余 2 的自然数集合：2 ， 7，12， 17，37 ；除以 11 余 4 的自然数集合：4 ， 15， 26， 37，.三个集合的公共

4、元素中最小的自然数是37.解法二：设所求的自然数为 4a+1 或 5b+2 或 11c+4 a,b,c 都 是 自 然 数 .得方程组4a14a15b 11c2142由1得a= 5b1bb1.44b1设kk 为正整数 ，那么b=4k 1，a=5k 1.4由2得c= 4a31145k131120k7k119k7.11学习必备欢迎下载9k7要使11为整数， k 取最小正整数2.这时 c=3 也可求得b=7,a=9,所求自然数是 37.解法三：设所求的自然数为x, 就 x1 ， x2 ，x4 都是自然数 .4511 x1 > x2 > x4.4511 x1 + x4 x2也是自然数 .4

5、115设 y= x1 + x4 x2.4115去分母，得200y=31x 47.200y47x=7 y13 y16.313yy 取最小正整数5，能使3116为整数 .31x=37,即最小的自然数是37.例 3. 有甲，乙，丙三种货物.如购买甲3 件，乙 7 件，丙 1 件共需 3.15 元；如购买甲4 件，乙 10 件，丙 1 件共需 4.20 元.问购买甲、乙、丙各 1 件共需几元？解：设甲，乙，丙每件分别为x,y,z 元.依据题意，得3x7 y4x10 yz3.151z4.202 依题意只要求出x+y+z 的 值 1× 32 × 2： x+y+z=1.05 （元） .答

6、：买甲、乙、丙各 1 件共需1.05 元.例 4. 甲、乙两车分别从a 、b 两站同时动身，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距 a 站 24 公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距b 站 15 公里 .求 a 、b 两站的距离 .解：设a、 b 两站的距离为x 公里，并引入帮助未知数v 甲， v 乙 分别表示甲、乙两车的速度 .依据题意，得x2x24 1v甲v乙x 这方程组可同时消去两个帮助未知数.x15v甲22v乙学习必备欢迎下载x方程 2左、右不等于零 1÷ 2 得2x15x24.x2解得，x=40；或x=12不合题意舍去 .答： a、b 两站的距离为40 公里 .三、练习1

7、. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需7.5 小时，甲，丙戊合作需5 小时，甲，丙，丁合作需6 小时，乙，丁，戊合作需4 小时 .问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付42.9 元，售货员收款时发觉甲、乙两种布 单价对调了，退给厂方1.6 元，厂方把这1.6 元又买了甲、乙两种布各1 尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700 米，连续前进到达对岸后立刻返回，其次次相遇时，距河的另一岸400 米，求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，连续前游20 分钟才发觉，于是返回追

8、寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000 米，求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，如排成3 列纵队，就最终一行只有1 人；如排成5 列纵队，就最终一行只有 7. 人；排成7 列纵队，就最终一行只有6 人.问这队士兵最少是几人？7. 求以下方程的实数解：12 x2x113y0 5x2+6xy+2y 2 14x8y+10=0 x 2+1y 2+4=8xy2xy13x2y508. 一件工程，假如甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；假如乙单独完成所需的时间是甲，丙合做， 完成这件工程所

9、需时间的b 倍.其中 b>a>1,那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行 120 公里遇丙车，再行20 公里遇丁车；乙车在离西站126 公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.学习必备欢迎下载10. 三辆车 a ，b ，c 从甲到乙 .b 比 c 迟开 5 分钟，动身后20 分钟追上c；a 比 b 迟 开10 分钟，动身后50 分钟追上c.求 a 动身后追上b 的时间 .11. 同学如干人住宿，假如每间4 人，有 20 人没房住；假如每间8 人，就有一间不满也不空 .求同学人数 .12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5 小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7 小时