初中数学竞赛精品标准教程及练习20：代数恒等式的证明

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（20） 代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特殊留意运用乘法公式和等式的运算法就、性质；详细证法一般有如下几种1从左边证到右边或从右边证到左边，其原就是化繁为简；变形的过程中要不断留意结论的形式；2把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式；3证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零；即由左边右边0 可得左边右边；4，由己知等式动身，经过恒等变形达到求证的结论；仍可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题n+2n 2

2、n+2nnn+1nn-1nn例 1 求证： 322×5 3 2 10（5+3 2）证明：左边 2× 5× 5n+1（ 3n+2）（ 2n+2 2 ）+310× 5n+1 3 n 3 2+1 2 n-1 2 3 210（5 n+1 +3n 2 n-1 ） =右边又证：左边 2× 5n+2 3 n （ 32 1） 2 n 2 2+12×5 n+2 10×3 n 5×2 n右边 10×5 n+1 +10×3 n 10× 2n-1n+2nn2×510×3 5×2左

3、边右边333例 2 己 知:a+b+c=0求证： a +b +c =3abc333222证明： a +b +c 3abc（ a+b+c）（ a +b +c:a+b+c=0abac bc） 见 19 例 1a3+b3+c3 3abc 0即 a3 +b3+c3=3abc又证： :a+b+c=0a=（ b+c）两边立方a3=（ b3 +3b2c+3bc2 +c3）移项a3 b3 +c3 3bcb+c 3abc再证：由己知a=bc代入左边 , 得（ bc）3+ b 3 +c3（ b3+3b2c+3bc2+c 3 ）+b3+c3 3bcb+c= 3bc a 3abc例3己知 a+ 1bb1c1 ,a b

4、c求证： a b c =12 2 2ca证明：由己知a-b= 11bccbbc bc= bcabb-c=11caacca ca= cabc同 理 ab= abcaabbcca ab bcaac cab bc1即 a2b2c2=12例4己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c是常数）求证： b2 4ac=02证明：设 :ax+bx+c（ mx+n）， m,n 是常数22 22那么:ax+bx+cmx +2mnx+na依据恒等式的性质得bc三、练习 20m 22 mnn 2: b 2 4ac（ 2mn）2 4m2n2 =01求证：a+b+c 2+a+b-c 2 a-b-c2a-b-c

5、2 8ab44422 2333（ x+y） +x +y =2x +xy+y x-2yxy-2xy=x+yx-yn+2n+2nnnn-15nn3 n2 n2 nn3+535=245+3a +a+1=aa+1a+a +1222. 己知： a +b =2ab求证： a=b3. 己知： a+b+c=0求证： a3+a2c+b2c+b3 =abca4+b4 +c4=2a2 b2+2b2c2+2c2a24. 己知： a2=a+1求证： a5 =5a+35. 己知： x y z=0求证： x 3+8y3 =z3 6xyz6. 己知： a2+b2+c2 =ab+ac+bc求证： a=b=c7. 己知： a b

6、=bc求证：（a+b+c）2+a2+b2+c2=2a+b+ca+c8. 己知： abc0，ab+bc=2ac求证： 1111abbc9己知：x abyzbcca求证： x+y+z=010. 求证：（2x 3）（2x+1）x 21 1 是一个完全平方式11 己知： ax3 +bx2+cx+d 能被 x2 +p 整除求证： ad=bc练习 20 参考答案：1.左边 5 n 52-1+3 n 13 3-3= 245n +3n-1 留意右边有3 n-12.左边右边（ a-b ）23.左边右边（ a2+b2-c 2） 2-4a 2b2=4.a5=a2a2 a, 用 a2=a+1 代入5. 用 z=x+2y 代入右边6.