初中数学竞赛精品标准教程及练习30：概念的分类

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初中数学竞赛精品标准教程及练习30概念的分类 一、内容提要1. 概念的分类是揭示概念的外延的重要方法；当一个概念的外延有很多事物时，根据某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范畴，且能明确各类概念之间的区分与联系；2. 概念分类必需用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念；例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类；分别表示如下：正整数偶数能被 3整除能被4整除除以4余1整数零整数奇数负整数整数除以 3余1除以 3余2整数除

2、以4余2除以4余33. 一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复；即每一个被分的对象必需落到一个类，并且只能落到一个类；所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总和相等；例如正整数按以下分类是正确的质数正整数合数1正整数正奇数正偶数假如只分为质数和合数，就外延总和比正整数的外延小；假如分为奇数和偶数就外延总和比正整数外延大，因此都不对；又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；所以三角形按边的大小分类应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，而不能是三类：（不等边，等腰，等边）假如这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系；4

3、. 二分法是常用的分类法；即把一种概念分为具有和不具有某种属性；例如三角形不等边三角形等腰三角形平面内两条直线位置相 交 不相交实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等；5. 从属关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延；种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系；例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式；其关系可图示如下：代数式三角形等腰三角形等边三角形有理式整式单 项6. 并列关系的概念是两个概念的外延相互排斥，互不相容；由同一种概念分

4、成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念） ；例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念；可图示如下:直角三角形偶数有理式奇数无理式钝角锐角三角三角形形7. 交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重叠；一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系可能就有交叉关系的概念；例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形；图示如下:二、例题 30例 1. 把一元一次不等式ax>ba,b是实数， x 是未知数 的解的集合分类；

5、解：把实数 a,b 按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：aax>b 的解集a0时，b不 论何值xba0时，b不 论何值xbaba0且 b0时，解集是空集0时，解集是全体 实数例 2. 一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长；解：设底边长为 xcm,就腰长是15 -2x cm当腰比底大时是15 -2x x=3 x=315 -2x 6当腰比底小时是x 15 -2x =3 x=715 -2x =4答（略）例 3. 化简（ x12x1 2 21xy解：要使x1 有意义，必需且只需x+10，即 x 1（ x1 2x1 2 2 x1 x+1 2 x1 x1当

6、 1x<1 时，原式（ x1） +x10当 x1 时，原式 x1 x 1 2x2化去分母根式时，要乘以xy ，当 x=y时，不能进行；故当 x=y时11xxy2x2 x当 xy 时1xy xyxy例 4. 设 a,b,c是三个互不相等的正整数333333求证： a b ab ,b cbc ,ca ca三个数中，至少有一个能被10 整除分析： 102×5，只要证明三个数中，至少有一个含2 和 5 质因数即可，含 2，可把 a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，就要按除以 5 的余数分类；解：a3b ab3=aba+ba-b , b3c bc3=bcb+cb-c,ca3 ca3=ca

7、c+ac-a 不论 a,b,c三个数中有 1 个是偶数，或 3 个都是奇数（奇±奇偶） ，三个代数式所表示的数都是偶数，即含有质因数2； a,b,c除以 5 的余数只有 0，1，2，3，4 五种；如有 1 个余数是 0，就三个代数式所表示的数中必有1 个含质数 5；如有 2 个余数相同，就它们的差的个位数字是0，也含有质因数5；如既没有同余数又没有余数0，那么在 4 个余数 1，2，3，4 中任取 3 个，必有 2 个的和是 5，即 a+b,b+c,c+a中有 1 个含质因数 5；综上所述a3 b ab3,b 3cbc3,ca 3ca3 三个数中，至少有一个能被10 整除；三、练习

8、301. 把以下概念分类（一种或几种） 实数有理式小于平角的角平面内点与直线位置2. 把一元一次方程ax=ba,b是实数 的解分类；3. 用二分法把以下概念分类（任举一例） 整数方程角直角三角形四边形4. 指出以下概念分类的错误平行正数平面内两直线的位置关系相交垂直有理数负数0一元方程一元一次一元二次一元三次5. 解方程和不等式 xx2 4 x2 12x6. 化简： x12x11a17. 已知等腰三角形的一个外角等于150，求各内角的度数；8. 已知方程1x2a0无解，求 a 的值；x29. 第一组 5 人，其次组 m人，从第一组调几人到其次组，使其次组人数等于第一组人数的2 倍？10. x

9、取什么值时， x2 3x 的值是正数？11. 有 n 个整数其积为 n, 其和是 0；即a1 a2 a3anna1a2a3an0求证： n 是 4 的倍数12. 对任意两个整数a 和 b. ，试证明： a+b,a-b,ab三个数中至少有 1 个能被 3 整除13. 关于 x 的方程 x ax+2 有根且只有负根，就a 的取值范畴是 14试证每个大于 6 的自然数 n 都可以表示为两个大于1 且互质的自然数的和提示：按奇数和偶数分类练习 30 参考答案：a2. ax=b 解的分类a0, x0且b ab0,无解b0,有很多多个解3. 方程整式方程非整式方程四边形平行四边形 非平行四边形4. 有理数

10、正有理数零负有理数垂直是相交的一种5. 1，3当 x2 时， x-2>1-2x当 x<2 时（ x-2 ） >1-2x6.x3xx11 a12xx21x0a1 a1a17.30，30， 120；75， 75，30；8.1，09. 当 m=1时，调 3 人； m=2, 调 2 人； m=3,调 1 人10.x<0 或 x>3,11. 把 n 按奇数、偶数分类争论，证明a1a2a3an 中至少有 2 个偶数12. a,b 中如有一个是 3 的倍数，就 ab 能被 3 整除；如除 3 有同余数就 a-b 能被 3 整除；如除 3余数分别为 1 和 2，就 a+b 能被 3 整除.13.a1（见练习 29 第 7 题）14.按奇数、偶数分类争论当 n 为奇数时，设 n=2k+1,k>2 的整数， n=k+k+1, k和 k+1 互质；当 n 为偶数时，设 n=4k 或 4