吉林省长春市汽车经济技术开发区2027届数学九上期末学业质量监测试题含解析

吉林省长春市汽车经济技术开发区2027届数学九上期末学业质量监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．抛物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为（）A． B．C． D．2．在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），对称轴是直线x=-1．则下列结论正确的是（）A．ac＞0 B．b2－4ac＝0 C．a－b＋c＜0 D．当-3＜x＜1时，y＞03．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由520元降为312元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A． B．C． D．4．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65cm2，扇形的弧长为10cm，则圆锥母线长是()A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm5．如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（）.A．； B．； C．； D．.6．如图，AB是⊙O的直径，OC是⊙O的半径，点D是半圆AB上一动点（不与A、B重合）,连结DC交直径AB与点E,若∠AOC=60°，则∠AED的范围为（）A．0°<∠AED<180° B．30°<∠AED<120°C．60°<∠AED<120° D．60°<∠AED<150°7．若2a＝3b，则下列比列式正确的是（）A． B． C． D．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，与x轴交于A、B（-1,0），与y轴交于C．下列结论错误的是（）A．二次函数的最大值为a+b+c B．4a-2b+c﹤0C．当y＞0时，-1﹤x﹤3 D．方程ax2+bx+c=-2解的情况可能是无实数解，或一个解，或二个解.9．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（）A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)10．方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根二、填空题(每小题3分,共24分)11．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为（﹣3，4），则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是_____．12．使二次根式有意义的x的取值范围是_____．13．观察下列各数：，，，，，……按此规律写出的第个数是______，第个数是______．14．若代数式4x2－2x－5与2x2＋1的值互为相反数，则x的值是____．15．若锐角满足，则__________．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_____．17．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图(1)位置，第二次旋转至图(2)位置…，则正方形铁片连续旋转2018次后，点P的纵坐标为_________．18．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=1，CD=2，过A，B，D三点的⊙O分别交BC，CD于点E，M，下列结论：①DM=CM；②弧AB=弧EM；③⊙O的直径为2；④AE=AD．其中正确的结论有______（填序号）．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在△ABC中，点P、D分别在边BC、AC上，PA⊥AB，垂足为点A，DP⊥BC，垂足为点P，．（1）求证：∠APD＝∠C；（2）如果AB＝3，DC＝2，求AP的长．20．（6分）数学概念若点在的内部，且、和中有两个角相等，则称是的“等角点”，特别地，若这三个角都相等，则称是的“强等角点”.理解概念（1）若点是的等角点，且，则的度数是.（2）已知点在的外部，且与点在的异侧，并满足，作的外接圆，连接，交圆于点.当的边满足下面的条件时，求证：是的等角点.（要求：只选择其中一道题进行证明！）①如图①，②如图②，深入思考（3）如图③，在中，、、均小于，用直尺和圆规作它的强等角点.（不写作法，保留作图痕迹）（4）下列关于“等角点”、“强等角点”的说法：①直角三角形的内心是它的等角点；②等腰三角形的内心和外心都是它的等角点；③正三角形的中心是它的强等角点；④若一个三角形存在强等角点，则该点到三角形三个顶点的距离相等；⑤若一个三角形存在强等角点，则该点是三角形内部到三个顶点距离之和最小的点，其中正确的有.（填序号）21．（6分）如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．22．（8分）计算：（1）tan60°-+(3.14-π)0;（2）解方程：．23．（8分）先化简：，再求代数式的值，其中是方程的一个根．24．（8分）一元二次方程的一个根为，求的值及方程另一根．25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．26．（10分）如图3，小明用一张边长为的正方形硬纸板设计一个无盖的长方体纸盒，从四个角各剪去一个边长为的正方形，再折成如图3所示的无盖纸盒，记它的容积为．（3）关于的函数表达式是__________，自变量的取值范围是___________．（3）为探究随的变化规律，小明类比二次函数进行了如下探究：①列表：请你补充表格中的数据：33．533．533．53333．533．53．53②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；③连线：用光滑的曲线顺次连结各点．（3）利用函数图象解决：若该纸盒的容积超过，估计正方形边长的取值范围．（保留一位小数）

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】设出抛物线顶点式，然后将点代入求解即可.【详解】解：设抛物线解析式为，将点代入得：，解得：a=1，故该抛物线的解析式为：，故选：A.本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2、D【分析】根据二次函数图象和性质逐项判断即可．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象开口向下，与y轴交于点B（0，3），∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，故A选项错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故B选项错误；∵对称轴是直线x=-1，∴当x=-1时，y＞0，即a－b＋c＞0，故C选项错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c对称轴是直线x=-1，与x轴交于A（1，0），∴另一个交点为（-3，0），∴当-3＜x＜1时，y＞0，故D选项正确．故选：D．本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．3、A【分析】根据题意可得到等量关系：原零售价（1-百分率）（1-百分率）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．【详解】解：由题意得：，故答案选A．本题考查一元二次方程与实际问题，解题的关键是找出题目中的等量关系，列出方程．4、D【解析】∴选D5、D【解析】连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.【详解】解：连接.，∵.分别与相切于.两点，∴，，∴，∴，∴．故选：D．本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.6、D【分析】连接BD，根据圆周角定理得出∠ADC=30°,∠ADB=90°，再根据三角形的外角性质可得到结论.【详解】如图，连接BD，由∵∠AOC=60°,∴∠ADC=30°,∴∠DEB>30°∴∠AED<150°,∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴∠EDB=90°-30°=60°,∴∠AED>60°∴60°<∠AED<150°,故选D本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质.正确应用圆周角定理找出∠ADC=30°,∠ADB=90°是解题的关键.7、C【分析】根据比例的性质即可得到结论．【详解】解：∵2a＝3b，∴故选：C．此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知其变形.8、D【分析】A.根据对称轴为时，求得顶点对应的y的值即可判断；B.根据当时，函数值小于0即可判断；C.根据抛物线与轴的交点坐标即可判断．D.根据抛物线与直线的交点情况即可判断.【详解】A.∵当时，，根据图象可知，，正确．不符合题意；B.∵当时，，根据图象可知，，正确．不符合题意；C.∵抛物线是轴对称图形，对称轴是直线，点，所以与轴的另一个交点的坐标为，根据图象可知：当时，，正确．不符合题意；D.根据图象可知：抛物线与直线有两个交点，∴关于的方程有两个不相等的实数根，本选项错误，符合题意．故选：D．本题考查了二次函数与系数的关系、根的判别式、抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．9、A【分析】根据位似变换的性质可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根据已知数据可以求出点C的坐标．【详解】由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，∴，又OB=6，AB=3，∴OD=2，CD=1，∴点C的坐标为：（2，1），故选A．本题考查的是位似变换，掌握位似变换与相似的关系是解题的关键，注意位似比与相似比的关系的应用．10、C【分析】把a=1，b=-1，c=3代入△=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．【详解】∵a=1，b=-1，c=3，∴△=b2-4ac=（-1）2-4×1×3=-11＜0，所以方程没有实数根．故选C．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．二、填空题(每小题3分,共24分)11、点O在⊙P上【分析】由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【详解】解：由勾股定理，得OP＝＝5，d＝r＝5，故点O在⊙P上．故答案为点O在⊙P上.此题考查点与圆的位置关系的判断．解题关键在于要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．12、x≤1【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：∵二次根式有意义，∴1﹣x≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．13、【分析】由题意可知已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减，进而进行分析即可求解.【详解】解：给出的数：，，，，，……序列号：，，，，，……容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减.因此，第个数是，第个数是.故第个数是，第个数是.故答案为：，.本题考查探索规律的问题，解决此类问题要从数字中间找出一般规律（符号或数），进一步去运用规律进行解答．14、1或－【解析】由题意得：4x2－2x－5+2x2＋1=0，解得：x=1或x=-，故答案为：1或-.15、【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由∠A为锐角，且，∠A=60°，

故答案为：60°．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．16、【解析】先根据勾股定理得到AB＝，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD.【详解】解：如图，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，∴AB＝＝，∴S扇形ABD＝＝，又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分＝S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC＝S扇形ABD＝．故答案是：．本题考查了扇形的面积公式：S＝，也考查了勾股定理以及旋转的性质．17、1【分析】由旋转方式和正方形性质可知点P的位置4次一个循环，首先根据旋转的性质求出P1～P5的坐标，探究规律后，再利用规律解决问题．【详解】解：∵顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2），∴第一次旋转90°后，对应的P1（5，2），

第二次P2（8，1），

第三次P3（10，1），

第四次P4（13，2），

第五次P5（17，2），

…

发现点P的位置4次一个循环，

∵2018÷4=504余2，

P2018的纵坐标与P2相同为1，故答案为：1．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．18、①②④【分析】连接BD，BM，AM，EM，DE，根据圆周角定理的推论可判定四边形ADMB是矩形，进一步可判断①；在①的基础上可判定四边形AMCB是平行四边形，进而得BE∥AM，即可判断②；易证∠AEM=∠ADM=90º，DM=EM，再利用角的关系可得∠ADE=∠AED，继而可判断④；由题设条件求不出⊙O的直径，故可判断③.【详解】解：连接BD，BM，AM，EM，DE，∵∠BAD=90°，∴BD为圆的直径，∴∠BMD=90°，∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，∴四边形ADMB是矩形，∴AB=DM=1，又∵CD=2，∴CM=1，∴DM=CM，故①正确；∵AB∥MC，AB=MC，∴四边形AMCB是平行四边形，∴BE∥AM，∴，故②正确；∵，∴AB=EM=1，∴DM=EM，∴∠DEM=∠EDM，∵∠ADM=90º，∴AM是直径，∴∠AEM=∠ADM=90º，∴∠ADE=∠AED，∴AD=AE，故④正确；由题设条件求不出⊙O的直径，所以③错误；故答案为：①②④.本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理及其推论、圆心角、弦及弧之间的关系、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握有关性质及定理是解本题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）见解析；（2）【分析】（1）通过证明Rt△ABP∽Rt△PCD，可得∠B=∠C，∠APB=∠CDP，由外角性质可得结论；（2）通过证明△APC∽△ADP，可得，即可求解．【详解】证明：（1）∵PA⊥AB，DP⊥BC，∴∠BAP＝∠DPC＝90°，∵∴，∴Rt△ABP∽Rt△PCD，∴∠B＝∠C，∠APB＝∠CDP，∵∠DPB＝∠C+∠CDP＝∠APB+∠APD，∴∠APD＝∠C；（2）∵∠B＝∠C，∴AB＝AC＝3，且CD＝2，∴AD＝1，∵∠APD＝∠C，∠CAP＝∠PAD，∴△APC∽△ADP，∴,∴AP2＝1×3＝3∴AP＝．本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌握和应用是解题的关键.20、（1）100、130或1；（2）选择①或②，理由见解析；（3）见解析；（4）③⑤【分析】（1）根据“等角点”的定义，分类讨论即可；（2）①根据在同圆中，弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等即可证明；②弧和弦的关系和圆的内接四边形的性质即可得出结论；（3）根据垂直平分线的性质、等边三角形的性质、弧和弦的关系和同弧所对的圆周角相等作图即可；（4）根据“等角点”和“强等角点”的定义，逐一分析判断即可．【详解】（1）（i）若=时，∴==100°（ii）若时，∴（360°－）=130°；（iii）若=时，360°－－=1°，综上所述：=100°、130°或1°故答案为：100、130或1．（2）选择①：连接∵∴∴∵，∴∴是的等角点．选择②连接∵∴∴∵四边形是圆的内接四边形，∴∵∴∴是的等角点（3）作BC的中垂线MN，以C为圆心，BC的长为半径作弧交MN与点D，连接BD，根据垂直平分线的性质和作图方法可得：BD=CD=BC∴△BCD为等边三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分线交MN于点O以O为圆心OB为半径作圆，交AD于点Q，圆O即为△BCD的外接圆∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如图③，点即为所求．（4）③⑤．①如下图所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心假设∠BAC=60°，∠ACB=30°∵点O是△ABC的内心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°显然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①错误；②对于钝角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角点的定义，故②错误；③正三角形的每个中心角都为：360°÷3=120°，满足强等角点的定义，所以正三角形的中心是它的强等角点，故③正确；④由（3）可知，点Q为△ABC的强等角，但Q不在BC的中垂线上，故QB≠QC，故④错误；⑤由（3）可知，当的三个内角都小于时，必存在强等角点．如图④，在三个内角都小于的内任取一点，连接、、，将绕点逆时针旋转到，连接，∵由旋转得，，∴是等边三角形．∴∴∵、是定点，∴当、、、四点共线时，最小，即最小．而当为的强等角点时，，此时便能保证、、、四点共线，进而使最小．故答案为：③⑤．此题考查的是新定义类问题、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形综合大题，掌握“等角点”和“强等角点”的定义、圆的基本性质、圆周角定理、圆的内接多边形中心角公式和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．21、（1）；（2）1．【分析】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．【详解】（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD===（米）；（2）在Rt△BCE中，CE=AD=米，BE=CE•tanβ=×=10（米），则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=1（米）答：乙建筑物的高度DC为1m．22、（1）2；（2)x1=2，x2=1．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的意义和零指数幂的运算法则计算即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：原式＝－+1+1＝2；（2），，或，∴x1=2，x2=1．本题主要考查实数的混合运算及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值，绝对值的意义，零指数幂的运算法则和因式分解法是解题的关键．23、；1．【分析】首先对括号内的分式进行通分，然后把除法转化为乘法即可化简，最后整体代值计算．【详解】解：，，，，；∵是方程的一个根，∴，∴，∴，∴原式=本题考查了分式的化简求值和一元二次方程的根，熟知整体代入是