初等数论试卷和答案(推荐文档)

1、初等数论考试试卷1一、单项选择题 (每题 3 分，共 18 分)、如果 b a ， a b ，则 ().1A a bB abC a bD a b、如果 3 n ， 5 n ，则 15（） n.2A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果 a b(mod m) , c 是任意整数 ,则Aac bc(mod m)Ba bCacbc(mod m) Da b、如果(),则不定方程 axby c 有解 .5A(a, b) cBc (a, b)Ca cD(a, b) a6、整数 5874192 能被 ()整除 .A3B3与9C9D3或9二、填

2、空题 (每题 3 分，共 18 分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.、同余式 ax b0(mod m) 有解的充分必要条件是 ( ).23、如果 a, b 是两个正整数 ,则不大于 a 而为 b 的倍数的正整数的个数为().、如果 p 是素数 , a 是任意一个整数,则 a 被 p 整除或者 ().45、 a, b 的公倍数是它们最小公倍数的().、如果 a, b 是两个正整数 ,则存在 ()整数 q, r 使 abq r0 r b.6,三、计算题 (每题 8 分，共 32 分)1、求 136,221,391=?2、求解不定方程 9 x 21y 144 .3、解同余式 12x150(mo

3、d 45) .4294、求563, 其中 563 是素数 .（8 分）四、证明题 (第 1 小题 10 分，第 2 小题 11 分，第 3 小题 11 分，共 32分)nn2n 31、证明对于任意整数n ,数 326 是整数 .2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5 整除 .3、证明形如 4n 1 的整数不能写成两个平方数的和.试卷 1答案一、单项选择题 (每题 3 分，共 18 分)1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A6、B二、填空题 (每题 3 分，共 18 分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的） .、同余式 ax b 0(mod m) 有解的充分必要条件是 ( a, m) b

4、).2、如果 a, b 是两个正整数 ,则不大于 a 而为 b 的倍数的正整数的个数为3a( b ).、如果 p 是素数 , a 是任意一个整数,则 a 被 p 整除或者 ( 与 p 互素).4、 a, b的公倍数是它们最小公倍数的 ( 倍数 ).5、如果a, b是两个正整数 ,则存在 (唯一 )整数q, r使a bq r0 rb6,.,三、计算题 (每题 8 分，共 32 分)1、求136,221,391=?（8 分）解 136,221,391=136,221,391136221,391=17=1768,391-(4分)1768391=17=104 391=40664.-（4 分）2、求解不

5、定方程 9 x 21y144 .（8 分）解：因为（9，）=3，3144 ，所以有解；-21（2 分）化简得 3x7 y48 ；-（1 分）考虑 3x 7 y1 ，有 x2, y 1 ，- （2分）所以原方程的特解为x96, y48 ，-（1 分）因此，所求的解是 x967t , y48 3t , t Z 。- （2分）3、解同余式 12x 15 0(mod 45) .（8 分）解 因为 (12,45)=3|5,所以同余式有解, 而且解的个数为 3.-（1 分）又 同 余式 等 价 于 4x 5 0(mod15) ,即 4x 5 15y .-（1 分）我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(

6、10,3),-（2分）即定理 4.1中的 x010 .-（1 分）因此同余式的 3 个解为x10(mod 45) ,-（1 分）x1045 (mod 45) 25(mod 45)（1 分）3, -x10245 (mod 45)40(mod 45)（1 分）3.-4294、求563, 其中 563 是素数 .（8 分）429解把563看成 Jacobi 符号 , 我们有429429 1.563 15631) 2(2429563563134267(1)42921674294294298429 -（ 3分）429671)67 1.429 1429429(2267674292727 1.67 1676

7、7(1)22-（ 2672727分）13271 131271.( 1)22131（2 分）2713,-即 429 是 563 的平方剩余 .-（1分）四、证明题 (第 1 小题 10 分，第 2 小题 11 分，第 3 小题 11 分，共 32 分)、证明对于任意整数nn2n 3n 数 326 是整数 . (10 分)1,证明 因为分）nn2n3n (2 3n n 2 )1 n(n 1)( n 2), -（3326= 6= 6而且两个连续整数的乘积是2 的倍数 ,3 个连续整数的乘积是3 的倍数, - （2 分）并且(2,3)=1,- （1 分）所以从2 n(n1)(n 2) 和 3 n(n

8、1)(n2) 有 6 n(n 1)( n2) ,-（3 分）nn2n3即 326是整数 .-（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5 整除. （11分）证明因为( n 1) 3n33n23n 1,-（3 分）所以只需证明 3n23n1 (mod 5) .而我们知道模5 的完全剩余系由 -2,-1,0,1,2构成,所以这只需将 n=0, ±1, ±2 代入 3n23n 1 分别得值 1，7，1，19，7.对于模 5,3n 23n1的值 1，7，1，19，7只与 1，2，4 等同余 ,所以3n23n1(mod 5)-（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。-（1

9、分）3、证明形如 4n 1 的整数不能写成两个平方数的和. （11 分）证 明设n 是 正 数 ,并 且 n1( m 4) o , d-（3 分）如果n x2y 2,-（1 分）则因为对于模 4, x, y 只与 0,1,2,-1等同余 ,所以 x2 , y 2只能与 0,1同余 ,所以x2y 20,1,2(mod 4) ,-（4分）而这与n1(4m)od假设不符,的-（2 分）即定理的结论成立.-（1 分）初等数论考试试卷二一、单项选择题1、 (0, b) （）.AbBbCbD02、如果 (a, b)1，则 ( ab, ab) =（）.AaBbC1D a b3、小于 30 的素数的个数（）.

10、A10B9C8D74、如果 a b(mod m) , c 是任意整数 ,则Aacbc(mod m)BabCacbc(mod m)Dab5、不定方程 525x 231y210 （）.A有解B无解C有正数解D 有负数解6、整数 5874192 能被 ()整除 .A3B3 与9C9D3 或97、如果b a，a b，则 ().AabBabCabDab8、公因数是最大公因数的（）.A因数B倍数C相等D不确定9、大于20 且小于 40 的素数有（ ）.A 4 个B5个 C2 个 D3 个10、模 7 的最小非负完全剩余系是 ().A -3， -2,-1,0,1,2， 3B -6， -5,-4,-3,-2,

11、-1 C1,2,3,4,5，6 D0,1,2,3,4，5，611、因为 (),所以不定方程12x15y 7没有解 .A12，15不整除 7B（12，15）不整除 7C7 不整除（ 12，15）D7 不整除 12，1512、同余式 x2438(mod 593) （）.A有解B无解C无法确定D 有无限个解二、填空题、有理数 a ， 0a b, (a, b)1 ，能写成循环小数的条件是（）.1b2、同余式 12x150(mod 45) 有解，而且解的个数为 ().3、不大于 545 而为 13 的倍数的正整数的个数为 ().4、设 n 是一正整数， Euler 函数 (n) 表示所有 () n ，而

12、且与 n （）的正整数的个数 .5、设 a,b 整数，则 (a, b) （）= ab .6、一个整数能被3 整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3 整除.7、 x x（）.8、同余式111x75(mod 321) 有解 ,而且解的个数 ().9、在 176 与 545 之间有 ()是 17 的倍数 .10、如果 ab 0 ,则 a,b( a, b) =().11、 a, b 的最小公倍数是它们公倍数的().12、如果 (a, b) 1 ,那么 (ab, a b) =().三、计算题1、求 24871 与 3468 的最小公倍数 ?2、求解不定方程 107x 37y25.（8 分）3、求429, 其中 563 是素数 .（8 分）5634、解同余式 111x75(mod 321) .（8 分）5、求 525,231=?6、求解不定方程 6x 11y18.7、判断同余式 x 2365(mod 1847) 是否有解？8、求 11 的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个 n 位数 an an 1a2 a1 与其按逆字码排列得到的数a1 a2an 1an的差必是