ch064泰勒公式课件

1、2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件1二、泰勒公式应用举例二、泰勒公式应用举例第第6.36.3节节 泰勒公式的应用泰勒公式的应用一、复习一、复习2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件2复复习习 多项式逼近、多项式逼近、泰勒公式泰勒公式 （二）函数近似（二）函数近似 用用多项式多项式逼近函数逼近函数. 逼近有两种看法：逼近有两种看法： （1）在一点附近近似这个函数好；）在一点附近近似这个函数好； 泰勒公式泰勒公式 （2）在区间上整体逼近得好。）在区间上整体逼近得好。 傅立叶级数、正交多项式傅立叶级数、正交多项式)()()(00 xxfxfxf )()()()(0000 xx

2、oxxxfxfxf （一）（一） 比较比较2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件3)()()(xRxPxfnn nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 )()()(00 xxxxxRnn 之之间间与与介介于于xxxxnfxRnnn010)1()()!1()()( 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件4 关于皮亚诺余项泰勒公式的证明关于皮亚诺余项泰勒公式的证明)(!)()(! 2)()()()()(00)(200000nnnxxnxfxxxfxxxfxfxfxR nnxxxxxR)()(lim00 10)()(lim

3、0 nnxxxxnxR20)(1()(lim0 nnxxxxnnxR)( !)(lim0)1(0 xxnxRnnxx )()()()(lim!10)(00)1()1(0 xfxxxfxfnnnnxx 0)()(!10)(0)( xfxfnnn 应用应用 罗比达法则罗比达法则能否再用能否再用罗比达法则？罗比达法则？ 应用导数定义应用导数定义不能再用不能再用罗比达法则罗比达法则 ！2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件5)0()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2之之间间与与在在xxnfxnfxfxffxfnnnn 注意注意 .)(,00幂幂展展开开的的就就用用点

4、点的的泰泰勒勒公公式式xxx )()()!1()()(!)()(! 2)()()()(010)1(00)(200000之间之间与与在在xxxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxfnnnn 00 x2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件6 五个常用函数的五个常用函数的泰勒泰勒公式公式12)!1(!1!211 nnxxnexnxxe 12212153! ) 12() 12(sin! ) 12() 1(!5!3sin kkkxkkkxxxxx )(!1!2112nnxxoxnxxe )(! ) 12() 1(!5!3sin212153kkkxokxxxxx 2021-11-20ch064

5、泰勒公式PPT课件722242! )22() 1(sin! )2() 1(!4!21cos kkkxkkkxxxx )(! )2() 1(!4!21cos12242 kkkxokxxxxnxxxxxnn 132) 1(32)1ln( 11)1)(1()1( nnnnx )() 1(32)1ln(132nnnxonxxxxx 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件8112)1 (! ) 1()() 1(!) 1() 1(!2) 1(1)1 ( nnnxnnxnnxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件9)()1

6、(11132nnnxoxxxxx 1 )(! ! )2(! ! )32()1(211121nnkkkxoxkkxx 21 )(! ! )2(! ! )12()1(211112nnkkkxoxkkxx 21 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件10 求未定型极限求未定型极限 确定无穷小量的阶确定无穷小量的阶二、泰勒公式应用举例二、泰勒公式应用举例 近似计算：近似值、近似公式近似计算：近似值、近似公式 利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的性质 局部应用局部应用 区间应用区间应用皮亚诺型余项皮亚诺型余项拉格朗日型余项拉格朗日型余项2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件112

7、00000)(!2)()()()(xxxfxxxfxfxf nnxxnxf)(!)(00)( 有有时时当当,00 xnnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 两两个个公公式式的的误误差差分分别别为为时时当当,)()1(Mxfn 110! ) 1()(! ) 1()( nnnnxnMxRxxnMxR和和（一）近似公式（一）近似公式 弃去余项，得近似公式弃去余项，得近似公式2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件120)()1(0 xexfxnxxnxxe!1!2112 例如：例如：1)!1()( nnxnexR 误差误差!1!2111ne )!1(3)( nxR

8、n误差误差2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件13! ) 12() 1(!5!3sin12153 kxxxxxkk0sin)()2(0 xxxf2) 12(sin! ) 12()(122 kkxxRkk误差误差! ) 12()(122 kxxRkk例如：例如：xx sin 要使误差小于要使误差小于0.001，问公式的适用范围？，问公式的适用范围？101817. 0001. 063 xx2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件14.10,14 使使误误差差不不超超过过的的值值近近似似计计算算数数例例e! ) 1(!1!21111 nenex 令令.10?4 nRn才才可可以以

9、使使误误差差问问：取取解解nxxnxxe!1!2112 410! )1(3 nRn7, n只只需需取取经经试试算算!71!2111 e7182. 2718254. 2000198. 0001389. 0008333. 0041667. 0166667. 05 . 2 多取两位！多取两位！2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件15似似上上用用一一个个三三次次多多项项式式近近在在区区间间例例41, 0231)1 ()( xxf令令)(34!21311)1(22231xRxxx .,13并并估估计计误误差差xx )10()1(3 !3741)(310332 xxxR其其中中得得取取的的展展

10、开开式式利利用用,31,)1( x解解2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件16所所以以32392311xxxxx 41, 0 x误误差差为为310432)1(3!374)(xxxxR 3431000068. 0413!374 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件17利利用用四四阶阶近近似似公公式式例例 36sin3xxx ?,0001. 0,sin问问公公式式的的使使用用范范围围若若要要求求精精确确到到时时近近似似计计算算x仍仍然然从从误误差差估估计计入入手手0001. 01201!51! 5)cos(5554 xxxxR 解解4129.0 x解解得得利利用用四四阶阶近

11、近似似公公式式即即,6sin3xxx .0001. 05 .234129. 0,sin误误差差可可小小于于限限制制角角度度时时计计算算 xx2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件18)sin()(cos11lim4222022xexxxxx 求求极极限限例例)(42121114422xoxxx 解解（二）求未定型极限（二）求未定型极限)(241211cos442xoxxx )(2114422xoxxex 利用皮亚诺型余项泰勒公式利用皮亚诺型余项泰勒公式 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件19)sin()(cos11lim222022xexxxxx 25424112235

12、4810)()(limxxoxxxoxx )()(lim542354810 xoxxoxx 2522524258220)(1 )(1)(1 1lim442422xxoxxoxoxxxxxxx 121 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件20)1ln()13()1(11lim5320 xexxxxx 求求极极限限例例)(31113232xoxx 解解)(1xoxex 利用皮亚诺型余项泰勒公式利用皮亚诺型余项泰勒公式 2320320)3(ln) 1(11lim)1ln() 13() 1(11limxexxxexxxxxxx 232310)()(lim3ln1xxoxxxoxx 3ln3

13、2)(lim3ln1222320 xxoxx2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件21)1ln()13()1(11lim:31320 xexxxxx 将将题题目目改改为为思思考考23132031320)3(ln) 1(11lim)1ln() 13() 1(11limxexxxexxxxxxx 23132310)()(lim3ln1xxoxxxoxx 0)(lim3ln1220 xxox2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件22331320)1(11lim:xexxxx 将将题题目目改改为为思思考考331320) 1(11limxexxxx 32033132310)(lim)

14、()(limxxoxxoxxxoxxx 做不出来了！做不出来了！322213132310)()(limxxoxxxxoxx 61)(lim333610 xxoxx2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件23.311)(,0,6阶阶无无穷穷小小是是对对于于时时使使当当确确定定常常数数例例xbxaxexfxbax 即即要要求求根根据据题题意意 ,0)(lim30 Axxfx解解时时当当0 x1)1)(1()( bxaxexfx)(1)(1 ()(!31!21133322332xxbxbbxaxxxxx 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件2422)21()1()(xbabxba

15、xf 021012 babba)0121)(lim(21,2130 xxfbax.)(,0,21,21的的三三阶阶无无穷穷小小量量为为时时当当则则所所以以取取xxfxba )()61(3332xxbab 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件25例例7 惠更斯弧长近似公式惠更斯弧长近似公式sBAC (dBC ABBACxr要求尽可能准确地用近似公式要求尽可能准确地用近似公式 bads 表示弧长表示弧长 s，确定系数，确定系数 a 和和 b解解.2,xr 圆圆心心角角为为设设半半径径为为)12061(2sin2513xxxrxrd )384048121(22sin2523xxxrxr

16、)1,0(21 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件26)3840120()48161()21(25213xbaxbxbarbad 由此得由此得又知又知rxs2 048161121 bba3831 ba32238dds 近似公式近似公式误差误差1805xr 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件2712,30: x即即圆圆心心角角例例如如误差误差000007. 0 r 应用惠更斯弧长近似公式计算得应用惠更斯弧长近似公式计算得523593. 0 rs实际上实际上523599. 0 rs2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件28例例8 证明不等式证明不等式 :2,

17、0sin2 xxxx证证2, 0sin2 xxx先先证证xxxf 2sin)( 研研究究函函数数余项泰勒公式余项泰勒公式展开成三阶带拉格朗日展开成三阶带拉格朗日在在20 x0)2( f 2)2( f1)2( f0)2( fxxfsin)()4( 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件2942)2(sin241)2(21)2(22sin)( xxxxxxf42)2(sin241)2(21)2(2xxx 2)2(21)2(2xx 0)2)(2(21 xx 2, 0sin2 xxx即即2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件302, 0sin xxx证证2, 0sin)( xxxx

18、g设设0)0( g0)0( g0cos)( g06cossin)(3 xxxxg 问问: 此证法对不对？此证法对不对？0)0( g2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件31)()()(4)(,),(, 0)()(,)(92afbfabfbabfafbaxf 使使得得一一点点内内至至少少存存在在则则在在且且上上二二阶阶可可导导在在设设例例得得勒勒公公式式拉拉格格朗朗日日余余项项的的一一阶阶泰泰处处展展开开成成带带和和分分别别在在将将,)(bxaxxf 证证) 1 ()(!2)()()()(21axfaxafafxf )2()(!2)()()()(22bxfbxbfbfxf 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件32得得两两式式、代代入入取取,)2()1(,2bax 21)2(!2)()2)()()2(abfabafafbaf )2,(1baa 22)2(!2)()2)()()2(bafbabfbfbaf ),2(2bba 2021-11-20ch064泰勒公式PPT课件33于于是是得得由由于于, 0)()( bfaf21)2(! 2)()()2(abfafbaf 22)2(! 2)()()2(abfbfbaf 4)