D74全微分方程课件

1、D74全微分方程PPT课件全微分方程全微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节第五节D74全微分方程PPT课件定理定理4.1 P, Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),( 为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 凑微分法凑微分法;方法方法2 利用积分与路径无关的条件利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数求原函数 u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解为知通解为 u (x, y) = C .一、全微分方程一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称则称0d),(d

2、),(yyxQxyxP为为全微分方程全微分方程 ( 又叫做又叫做恰当方程恰当方程 ) .机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程PPT课件例例4.1 求解方程求解方程. 0323323dyyyxdxyxx解：解： ,323323yyxyxQyxxyxP,322yxxQyP因此原方程为全微分方程因此原方程为全微分方程. 取取x0=0,y0=0, 利用公式得利用公式得yxdyyyxdxxyxy032303,4131414334yyxxCyyxx4334413141其中其中C为任意常数为任意常数.D74全微分方程PPT课件例例4.2 求解初值问题求解初值问题 . 20, 0212ydyy

3、xxydx解：解： ,21,2yxyxQxyyxP. xxQyP因此原方程为全微分方程因此原方程为全微分方程. 取取x0=0,y0=2, 利用公式得利用公式得yxydyxydxyxy2021,4412122yyx其中其中C为任意常数为任意常数.Cyyx4412122将初值条件带入此通解，得将初值条件带入此通解，得C=0.故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为. 04412122yyxD74全微分方程PPT课件思考与练习思考与练习判别下列方程类型判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd) 1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxx

4、yxydd)2ln()5(提示提示:xxyyydd1 可分离可分离 变量方程变量方程xyxyxylndd齐次方程齐次方程221dd2xyxxy线性方程线性方程221dd2yxyyx线性方程线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利伯努利方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程PPT课件例例. 解初值问题解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: 分离变量得分离变量得xxxyyd1d2两边积分得两边积分得Cxyln11lnln2即即Cxy12由初始条件得由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数为任意常数 )故所求特解为故所求特解为 1)0(y机动 目录 上页 下页

5、 返回 结束 D74全微分方程PPT课件例例. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu则则yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程PPT课件例例:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量分离变量xeyexyddCeexy即即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1则故有故有ueu1积分积分Cxeuu1dCxeuu)1 (ln( C 为任意常数为任意常数 )所求通

6、解所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程PPT课件例例. 求方程求方程的通解的通解 .解解: 注意注意 x, y 同号同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得得ex yy2dey1yy2dCxlnd故方程可故方程可变形为变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为所求通解为 )0(CCeyyxyCyln这是以这是以x为因变量为因变量, y为为 自变量的一阶线性方程自变量的一阶线性方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 D

7、74全微分方程PPT课件例例. 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. 将方程改写为将方程改写为0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解为故原方程的通解为021d2xyx或或Cxyx221,xQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程PPT课件思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成就化成上上例例 的方程的方程 .但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘例2 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程

8、PPT课件备用题备用题 解方程解方程.0d)(dyxyxy解法解法1 积分因子法积分因子法. 原方程变形为原方程变形为0d)dd(yyyxxy取积分因子取积分因子21y0ddd2yyyyxxy故通解为故通解为Cyyxln此外此外, y = 0 也是方程的解也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程PPT课件解法解法2 化为齐次方程化为齐次方程. 原方程变形为原方程变形为xyyxyddxyxy1,xuy 令，则uxuyuuuxu1xxuuudd)1 (2积分得积分得Cxuulnln1将将xyu 代入代入 ,Cyyxln得通解得通解此外此外, y = 0 也是方程的解也是方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 D74全微分方程PPT课件解法解法3 化为线性方程化为线性方程. 原方程变形为原方程变形为11ddxyyx1,1QyPyyexd1 ) 1(yyed1Cy dyyyCd1yCyln其通解为其通解为