D551广义积分课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分第五节积分限(区间)有限被积函数有界推广一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分 第五五章 广义积分 、-函数 目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件21xy A1xyO一、无穷限的广义积分一、无穷限的广义积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件定义定义1. 设, ),)(aCxf,ab 取若xx

2、fbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限广义积分广义积分, 记作xxfad)(这时称广义积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称广义积分xxfad)(发散 .类似地 , 若, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(xxfbad)(blim目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件, ),()(Cxf若则定义xxfd)(,d)(limxxfcaaxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无穷限的广义积分也称为第一类广义积分第一类广义积分. ,并非不定型 ,说明说明:

3、上述定义中若出现 它表明该广义积分发散 .xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛顿 莱布尼兹公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF说明说明: 上述公式中， 则表明广义积分发散 .)(F若不存在，或)(F目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件例例1. 计算广义积分.1d2 xx解解:)2(2xy211xyO21dxxccxxxx2

4、21d1dacaxarctanlimcbbxarctanlimxarctanbcbcaaxxxx221dlim1dlim目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散原积分发散 !注意注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则可能会出现错误 .?01dlim2对吗NNNxxx目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件例例2. 证明广义积分,dapxx证证:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap当 p

5、 1 时收敛 ; p1时发散 .,因此, 当 p 1 时, 广义积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 广义积分发散 . a0,目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件例例3. 计算广义积分. )0(de0ptttp解解:tppte00de1tptptppe12021p原式bptbtdep0lim1bptbptbdteetp00lim10e1tpdtpbptbdtte0lim原式bptbep02lim121p目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件二、无界函数的广义积分二、无界函数的广义积分引例引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲

6、边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy1A1xyO目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfbad)(这时称广义积分xxfbad)(收敛 ; 如果上述极限不存在,就称广义积分xxfbad)(发散 .类似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的广义积分, 则定义则称此极限为函 记作定义定义2. 设0limxxfbad)(目录 上

7、页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220则定义只要有一个发散 , xxfbad)(发散 .xxfcad)(xxfbcd)(和说明说明:则目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 无界函数的广义积分称作瑕积分(第二类广义积分第二类广义积分),无界点常称为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是广义积分. 则

8、本质上是常义积分, 目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件.1arctan11xd解解:111arctanxd例例 计算011arctanxd101arctanxd1arctan)1arctan(lim101201arctanlim1arctan224422110101arctanlimxd100221arctanlimxd目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件注意注意: 若瑕点,)()(的原函数是设xfxF公式的计算表达式 : xxfbad)(xxfbad)(xxfbad)(则也有类似牛顿 莱布尼兹若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都

9、为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()(lim)(xFbFcx)()(limaFxFcxxxfcad)(xxfbcd)()()(lim)(aFxFxFbxba)(lim)()(xFbFxFaxba)(lim)(lim)(xFxFxFaxbxba目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件例例4. 计算广义积分. )0(d022axaxa解解: 显然瑕点为 a , 所以原式aax0arcsin1arcsin2aaxax0arcsinarcsinlim目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件112dxx211111x下述解法是否正确: , 积分收敛例例5. 讨

10、论广义积分112dxx的收敛性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以广义积分112dxx发散 .11lim0 xxxx1lim) 1(0=0 x是瑕点 .目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件例例6. 证明广义积分,)(dbaqaxx当 q = 1 时,当 q a ,q1时发散 . )0,d(0bxxbq特别地，)ln(lim)ln(axabaxqaxqabqaxq1)(lim1)(11ax 是瑕点 .证证:目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件内容小结内容小结 1. 广义积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重

11、要的广义积分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap)(ab 目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件说明说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122xxxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件. )0(0pdxxdxp解解:例例 计算1100dxxdxdxxdxdxxdxppp 它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛，

12、 通过例题可知，这两个反常积分不能同时收敛，故此反常积分对任何实数 p 都是发散的 .(2). 若在同一积分式中出现两类广义积分, 可通过分项使每一项只含一种类型的广义积分, 只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件习题课 .1ln02dxxx解解:021lndxxx例例 计算1021lndxxx121lndxxx121lndxxxtx10121111lntdtt0122211lndttttt0121lndttt1021lndttt01ln02dxxx目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件习题五 P211 18 (7)(9)(10)第五节 作业作业目录 上页 下页 返回 结束 D551广义积分PPT课件练习