ch21数列极限课件

1、Ch2 极限与连续极限与连续 本章是微积分的基础，主要讨论函数的本章是微积分的基础，主要讨论函数的极限与函数的连续性。极限与函数的连续性。 2.1 数列的极限数列的极限 2.2 函数的极限函数的极限 2.3 无穷小量无穷小量 2.4 极限的性质与运算法则极限的性质与运算法则 2.5 极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限 2.6 函数的连续性函数的连续性1、数列极限描述性定义、数列极限描述性定义2.1 数列的极限数列的极限3、数列极限的性质、数列极限的性质4、数列极限的判定准则、数列极限的判定准则2、数列极限的运算、数列极限的运算一、常用的区间记号一、常用的区间记号 邻域邻域

2、001.,xx 开开区区间间（）0(, )U x 为半径的邻域；以为中心称作以,0 xx0 x0 x0 x 0()U x00002.,)(,xxxx开开区区间间（）0(, )ox 0 x 的的 邻邻域域；0 x 的的 空空心心邻邻域域；x 0 x0 x0 x0000,)(,)xxxx 0 x 的的左左邻邻域域3.0(, )Ux 00(, )x 0 x 的的右右邻邻域域0(, )Ux 00(, )x 0000(,(,)xxxx 2.1 数列极限数列极限二、无穷的概念；数列二、无穷的概念；数列1. Zenos paradoxT:A0t1t2t3t4t0a1a2a3a4aA:1234,aaaa T1

3、234,tttt (Plato, Socrates)2. 数列：数列：无穷无穷多数多数按一定顺序按一定顺序排列称为数列。排列称为数列。1234,nuuuuunu （数列可看作整标函数（数列可看作整标函数( ).)nuf n nu n 为下标，为下标， 为通项为通项数列举例：数列举例：1 1 11),2 4 81,2n1 2 32),2 3 40181412,1nn 01212334,n 102n,n 11nn 3)1,4,9,2,n 149,n 2n 4)1,1, 1,1,( 1) ,n 011,n 不趋于一确定值不趋于一确定值三、数列极限描述性定义：三、数列极限描述性定义： 如果下标正整数如

4、果下标正整数 n 无限增大时，无限增大时， 无限趋近常无限趋近常数数 A A，则称，则称A A为数列为数列 的极限，或数列的极限，或数列 收敛收敛于于 A,A,记为：记为： nunununulim()nnnuAuA n 或者否则，称数列否则，称数列 发散，或发散，或 不存在。不存在。nulimnnu个确切的数值。个确切的数值。数列收敛时，极限是一数列收敛时，极限是一注：注： . 1在。在。数列发散时，极限不存数列发散时，极限不存. 2例：例：11)2limnn 13)lnlimnn 04)(1)limnnn (1)(1)(1)limnnnnnnn11limnnn0（分子有理化）（分子有理化）2

5、)1limnnn 01四、数列极限的运算四、数列极限的运算那那么么都都为为常常数数值值其其中中，设设),(limlimbabbaannnn ;,lim)(lim)1(无无关关的的常常数数是是与与其其中中nCCaaCCannnn ;limlim)(lim)2(bababannnnnnn ;limlim)(lim)3(abbabannnnnnn .limlimlim, 0lim)4(babababbnnnnnnnnn 则则若若。时时，适适当当进进行行变变形形计计算算当当极极限限运运算算条条件件不不满满足足，四四则则运运算算的的前前提提是是：注注：. 2;limlim. 1bbaannnn 例例:1

6、11()limnnnn01n个个例例求下列数列极限：求下列数列极限：23221321123( ) lim;( ) lim;nnnnnnnn解解. 2 232123lim)2(nnnnn 312lim)1( nnnnnn3112lim . 0 nnnnn11123lim32 )31(lim)12(limnnnn )11(lim)123(lim32nnnnnn 101100101130)(,)limmmmmkknkka na nanamka bb nbnbnb，（m, k 为正的常数）为正的常数）01110111111()111()limmmmmmknkkkknaaaannnnbbbbnnn 00

7、,0, amkbmkmk ，5427323614)342limnnnnnn 013424325)31limnnnnn 2133234316)52limnnnn 45143(7)lim2 43nnnnn nnn 4324331limnnnn 43lim243lim3121 110limaaann结论：结论：(8).21(lim222nnnnn 求求是无限多个无穷小之和是无限多个无穷小之和时时, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn .21 五、数列极限的性质五、数列极限的性质1.1.如果数列如果数列 收敛，则其极限必唯一。收敛，则其极限必唯一。nu2.2

8、.如果数列如果数列 收敛，则数列一定有界。收敛，则数列一定有界。nu3.3.如果数列如果数列 收敛，则其任意子列均收敛。收敛，则其任意子列均收敛。nu子列：子列： 的的子子数数列列（或或子子列列）的的一一个个数数列列称称为为原原数数列列到到中中的的先先后后次次序序，这这样样得得这这些些项项在在原原数数列列保保持持中中任任意意抽抽取取无无限限多多项项并并定定义义：在在数数列列nnnxxx,21nixxxx135,xxx ；246,xxx 1. (两边夹定理，夹逼定理）两边夹定理，夹逼定理）axxazyzxyzyxNnNnnnnnnnnnnnnn lim,limlim,00且且收收敛敛那那么么数数

9、列列如如果果满满足足不不等等式式数数列列时时使使得得假假设设存存在在正正整整数数六、数列极限的判定准则：六、数列极限的判定准则：22212()12limnnnnnn例例：nI 解解：21(12)1nn 222(1)nnn nI 21(12)nnn 2212()2nnnn 221;2(1)2limnnnn 且且：122.2.单调有界数列必收敛单调有界数列必收敛. .单调递增有上界数列必收敛单调递增有上界数列必收敛. .单调递减有下界数列必收敛单调递减有下界数列必收敛. .x1u2u3unuAM1(1)limnnn1;3nnnaaa 分分析析：且且例例：e21(1)limnnn）222(1)limnnn 2e 5(1)limnnn2 ）2 ）( 5)55(1)limnnn 5e 1; 1; 互互 为为 倒倒 数数练习：421)(1)(34)limnnnnn 42(1)(34)1limnn