飞机追击问题数学建模

1、飞机追击问题摘要本文讨论的是关于我方飞机追及不明敌机的问题。其大概的思路是建立平面直角坐标系，建立微分方程模型，得到一个二阶方程, 通过降阶法化为一阶方程，使用微分思想，推导出所求的方程表达式， 因而得到我方飞机追击敌机的轨迹方程。通过分析假设敌我双方飞机形成固定夹角下在不同时刻下双方的位置，进而推导出求解公式。关键词 ：追击、平面直角坐标系、微分方程、降阶法1 / 8 1. 问题重述：我军飞机在基地巡航飞行时，发现正北方向120 km 处有一敌机以 90 km/h的速度向正东方向行驶 . 我方飞机立即追击敌机 , 我方飞机速度为 450 km/h，自动导航系统使飞机在任一时刻都能对准敌机。求

2、出我飞机在何时何处能拦截敌机以及当敌机以 135km/h 的速度与我飞机成固定夹角的方向逃逸时，我方飞机在何时何处能拦截敌机。2. 模型假设1. 假设我方飞机以及敌机的运动为质点运动。2. 假设双方飞机为匀速率运动。3. 假设飞机的运动速度跟风速和空气阻力没有关系，但是实际飞机运动过程中阻力影响和飞行速度有关系。在运动的过程中也忽略了重力的影响。3. 符号说明：ve：敌机飞行速度。vw ：我方飞机飞行速度。o ：我方飞机初始位置。a：敌机初始位置。b：我方飞机机追击到敌机的位置。s：两机初始位置之间的距离。4. 问题的分析：我方飞机在追击的过程中始终指向敌机，即我方飞机的飞行方向随着时间的改变

3、而改变，建立起平面直角坐标系有(图 1) o y x s=120 a b m p 2 / 8 5模型的建立5.1. 问题 1：当 t = 0时, 我方飞机位于点o , 敌机位于 (0 ，a)点。设我方飞机在t 时刻的位置为 p(x,y) 。飞机速度恒定，则有xtvysdxdye由于我方飞机飞行轨迹的切线方向必须指向敌机, 即直线pm的方向就是飞行轨迹上点p的切线方向，故有ntydxdnn),(5.2问题 2：如果敌机以 135km/h 速度与我巡航飞机方向成固定夹角方向逃逸，设逃逸方向与我方飞机速度方向夹角为，如图 2 建立坐标y （0，s）o x 图 2 6. 模型的求解：6.1. 问题 1

4、 求解过程：建立微分方程模型， 通过降阶法化把推导出的二阶方程转为一阶方程，然后用分离变量法求解。3 / 8 第一步：建坐标系，取我方飞机起飞处为原点o (0,0), 轴指向正东方 , 轴指向正北方。设当 t = 0 时, 我方飞机位于点 o , 敌机位于 (0, a) 点，其中 h = 120 (km) 。我方飞机在 t 时刻的位置为 p( x(t ) ,y ( t ) ，如( 图 1)。第二步：由题意可知222wvdtdydtdx(1) 其中hkmvw/450；而在时刻 , 敌机的位置为),(stvme, 其中hkmve/90。由于我方飞机轨迹的切线方向必须指向敌机, 即直线的方向就是我方

5、飞机轨迹上点的切线方向，故有xtvysdxdye或写为xtvysdxdye)( (2)第三步：将(2) 式两边对 t 求导得到txvtyyxystyyxedd)dd(dd)(dddd22既有evystyyx)(dddd22(3)4 / 8 因为tyyxtxdddddd，(1) 式可化为12dydxvdtdyw (4) 第四步：将(4)式代入 (3)式得到一个二阶微分方程wevvyxysyx1)dd()(dd222（ 5）而方程的初始条件为0|0yx,0|0ydydx即可对方程进行降阶法求解。第五步：令yxpdd,wevv，则(5) 式可化为一阶可分离变量方程yspyp1dd2即1)(2pdpy

6、sysd积分解得)1()(2ppcys由初始条件得00yp，导出hc，从而5 / 8 ysspp12(6) 第六步：(6) 式可改写为)(12syspp于是由上两式得到sysyssp21这样又得到一个可分离变量方程sysyssdydx21(7)第七步：积分得1111)() 1()(21cysssysx利用00yx, 知211hc, 于是我方飞机轨迹方程为21111)() 1()(21sysssysx(8) 第八步：设我方飞机拦截中敌机于),(slb, 以sy代入(8)式, 得2221ewewvvvsvsl(9) 而我方飞机拦截中敌机的时刻6 / 8 22ewwevvsvvlt(10)将数据12

7、0s(km)，90ev(km/h)，450wv(km/h)代入(9)，(10)式得)(25kml，)(2778.0ht。即我方飞机经过约0.2778 小时在距基地水平位移为25 千米处拦截中敌机。6.2. 问题 2 求解过程设我方飞机的坐标为)(,kkydxd，敌机的坐标为)(,kkyjxj，敌机逃逸时和我方飞机所成的角度为。当t时，wvydxd11, 0，svyjvxjeecos,sin11当2t时，11112arctanxdxjydyj，212212sin,coswwvydydvxdxd，)sin(),cos(212212eevyjyjvxjxj .以此类推可以得到下面的规律：wvydxd

8、11,0svyjvxjwecos,sin11kkkkkxdxjydyjarctan11111cos,coskwkkkwkkvydydvxdxd),cos(11kekkvxjxj7 / 8 )sin(11kekkvyjyj。当式子1)()(22nnnnyjydxjxd时，理想状态下双方飞机距离小于一米时，可认为我方飞机追上敌机，此时追击点位置为),(nnydxd，时间为nt。下面是几个角度所得出的结果，列表如下：角度0 30 60 (x，y) (0，171.429) (9.0212，92.8219） ( 8.973，92.5868) t(h) 0.381 0.207 0.209 7. 模型的分析评价：模型虽然通过对二阶微分方程降阶为一阶微分方程，最后求解出解析方程。可是由于很多假设条件在现实中并不是每次都能够同时出现，比如空气阻力气