初二数学《分式》教案

1、教学目标：学习必备欢迎下载第 16 章 分式§ 16.1.1分式的概念1、经受实际问题的解决过程，从中熟悉分式，并能概括分式2、使同学能正确地判定一个代数式是否是分式3、能通过回忆分数的意义，类比地探究分式的意义及分式的值如某一特定情形的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想；教学重点：探究分式的意义及分式的值为某一特定情形的条件；教学难点：能通过回忆分数的意义，探究分式的意义；教学过程：一、做一做（1）面积为 2 平方米的长方形一边长3 米，就它的另一边长为 米；（2）面积为 s 平方米的长方形一边长a 米，就它的另一边长为 米；（3）一箱苹果售价 p 元，总重m千克，箱重n 千克

2、，就每千克苹果的售价是 元； 二、概括：形如 a a、b 是整式，且 b 中含有字母， b0 的式子，叫做 分式. 其中a 叫做b分式的 分子, b 叫做分式的 分母 .整式和分式统称 有理式 ,即有理式三、例题：整式， 分 式 .例1以下各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？（1） 1 ；（2） x ；（3） 2 xy；（4） 3xy .x2xy3解：属于整式的有： （ 2）、（4）；属于分式的有：（1）、（ 3） .留意：在分式中，分母的值不能是零. 假如分母的值是零，就分式没有意义. 例如，在分式s 中， a 0；在分式a9中， m n.m n例2当 x 取什么值时 ，以下分式有意义？（1

3、）1 x1；（2） x2 .2 x3分析 要使分式有意义，必需且只须分母不等于零.解（1）分母 x1 0，即 x 1.所以，当 x 1 时，分式1x1有意义 .（2）分母 2 x3 0，即 x - 3 .2所以，当 x - 3 时，分式x学习必备欢迎下载2有意义.2四、练习：2 x3填空：（1）当 x时，分式有意义；（2）当 x时，分式有意义；（3）当 b 时，分式有意义；（4）当 x、y 满意关系时，分式有意义；解：（1）当分母 3x 0 时， x 0 时，分式有意义；（2）当分母 x-1 0 时， x 1 时，分式有意义；（3 当分母 5-3b 0 时， b 时，分式有意义；4 当分母 x

4、-y 0 时， x y时，分式有意义；五、小结：什么是分式？什么是有理式？§ 16.1.2分式的基本性质教学目标：1、把握分式的基本性质，把握分式约分方法，娴熟进行约分，并明白最简分式的意义；2、使同学懂得分式通分的意义，把握分式通分的方法及步骤；教学重点：让同学知道约分、通分的依据和作用，学会分式约分与通分的方法；教学难点：1、分子、分母是多项式的分式约分；2、几个分式最简公分母的确定；教学过程：1、分式的基本性质引言：我们学校学习了分数的基本性质，今日我们学习分式的基本性质；新课：依据分数的基本性质，分式可仿照分数的性质；=（ c 0）；请同学们依据上面的式子和以前学过的分数的基

5、本性质，总结出分式的基本性质是什么？同学回答出来，老师及同学补充完整；分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变；=（c0）学习必备欢迎下载留意：分式的基本性质的条件是乘（除以）一个不等于0 的整式；指出分式的性质与分数的性质的不同，乘以（除以）一个不等于0 的整式；分数是乘以（除以）一个不等于0 的数；例 1 填空：（1）=；=；2=；=；分析：引导同学依据分式的基本性质，来对分式进行化简；（1）是乘以一个整式 ab,留意是分子和分母都乘以这个整式； （2）是分子和分母都乘以b, 分式的值不变；（3）2是分子 x +xy=xx+y,对比分子，可以看出分子和分母都除以x,

6、 分式的值不变， 所以2x；（4）把分母分解因式 x -2x=xx-2,对比分母，可以看出分子、分母都除以x，分式的值不变，所以填1；2、与分数类似，依据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.例 3约分16x2 y3（ 1）20xy4；（2）x 24x24 x4分析分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去. 为此，第一要找出分子与分母的公因式 .16x2 y34xy 34 x4 xx 24 x2 x2x2解（ 1）20xy44xy35 y5 y.（ 2）2x4 x4.x22x2约分后，分子与分母不再有公因式.分子与分母没有公因式称为最简分式.练习：（1）;2232分析：（1）-25a b

7、c与 15ab c 的公因式为 5abc，与因式分解的公因式的确定一样；（2）分子 x2-9=x+3x-3;分母 x2+6x+9=x+32, 这样分子与分母的公因式就确定了，可以进行约分了；由例题知约分最关键的是把公因式约去，所以公因式的确定是主要的，多项式就先分解因式，然后约分；解：略；4、例 4通分（ 1）1，a 2b1ab 2；（2）1，xy1；（3）xyx21，1y 2x 2xy解（1）1与a 2 b1ab 2的最简公分母为a2b2，所以学习必备欢迎下载11 bb，11 aa.a2ba 2b ba 2b2ab2ab2aa 2b2（2）1与xy1的最简公分母为（ x- y） x+y ，即

8、 x2y2，所以xy11（ xy）xy，11 xyxy.xy xy xyx2y2xy xy xyx2y 2请同学们依据这两小题的解法，完成第（3）小题；5、练习分析：（1）与；（ 2）与；引导同学归纳出分式通分的过程和依据；222 2（1）先确定分母 2a b 与 ab c的最简公分母是 2a b c；然后乘以一个适当的整式；（ 2）最简分母是（ x+5x-5.3解题时分子与分母同乘以或除以同一个整式；约分的关键是最简公分母的确定，对单项式来说，系数是最小公倍数，相同字母取指 数最高次幂；对多项式来说，先分解因式，然后取相同项的最高次幂；6、小结 ：（1）请你分别用数学语言和文字表述分式的基本

9、性质；（2）分式的约分运算，用到了哪些学问？让同学发表，相互补充，归结为：因式分解；分式基本性质；分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“”；（3）把几个异分母的分式，分别化成与原先分式相等的同分母的分式，叫 做分式的通分；分式通分，是让原先分式的分子、分母同乘以一个适当的整式， 依据分式基本性质， 通分前后分式的值没有转变； 通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母；确定公分母的方法， 通常是取各分母全部因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母；§16.2分式的运算教学目标：§

10、16.2.1分式的乘除法1、让同学通过实践总结分式的乘除法，并能较娴熟地进行式的乘除法运算；2、使同学懂得分式乘方的原理，把握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算3、引导同学通过分析、归纳，培育同学用类比的方法探究新学问的才能教学重点：分式的乘除法、乘方运算教学难点：学习必备欢迎下载分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定；教学过程：一、复习与情境导入1、1：什么叫做分式的约分？约分的依据是什么？2 ：以下各式是否正确？为什么？2、尝摸索究：运算：59532（1） a2b 2；（2） aa .回忆：如何运算6、？10643b3a32b2b从中可以得到什么启示；

11、概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为积的分母 . 假如得到的不是最简分式，应当通过约分进行化简 .分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 . （用式子表示如右图所示）二、例题：例 1 运算：a 2 xay2a 2 xya 2 yz（ 1）2byb2 x；（ 2）b 2 z2b 2 x2 .a 2 xay 2a2 xay2a 3a 2 xya2 yza 2 xyb2 x2x3解（1）by 2b 2 x = by2=32b xb.（ 2）b 2 z2b2 x2=22b za2 yz = z3 .例 2 运算： xx2x29.3x24解原式 xx三、练习：1 运

12、算：2 x3 x3 x2 x3 x3 .2x2（1）2÷分析：这两题就是分式乘除法的运用；由同学依据法就来进行运算，老师与同学把解题过程补充完整；解：略2 运算：学习必备欢迎下载（1）2÷分析：这两题是分子与分母是多项式的情形，第一要因式分解，然后运用法就；解：（1）原式=（2）原式 =÷=-3 运算：2x3x（1）解：5x-3÷25x2-9·5x+32x5x+35x-3x原式 5x-3·2x23·5x+3=3分式的乘除法混合运算就是分子、分母先分解因式，然后把公因式约去；留意运算次序；四、摸索怎样进行分式的乘方呢？试运算：

13、（ 1）（n ）3（ 2）（mn ）k （ k 是正整数）m（ 1）（n ）3 =n mmnn nnn mmmmm ；（ 2）（n ）k =nnmmmk个nnnmmmn .m认真观看所得的结果，试总结出分式乘方的法就.运算：-2a2b2a2b32ac2（1） 3c; 2-cd3 ÷ d3 · 2a 分析： 1 题是分式乘方的运用，可直接运用公式； （ 2）运算次序是先乘方，然后是乘除；要留意运算时的符号；解：（1）原式 =4a4b2 9c2a6b3d3c2（2）原式 =-c3d9·2a ·4a2学习必备欢迎下载a3b3=-8cd6留意在解题时正确地利用幂

14、的乘方及符号；五、小结：1、怎样进行分式的乘除法？2、怎样进行分式的乘方？§ 16.2.2分式的加减法教学目标：1、使同学把握同分母、异分母分式的加减，能娴熟地进行同分母，异分母分式的加减运算；2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法就以及分式通分，培育同学分式运算的才能；3、渗透类比、化归数学思想方法，培育同学的才能；教学重点：让同学娴熟地把握同分母、异分母分式的加减法；教学难点：分式的分子是多项式的分式减法的符号法就，去括号法就应用；教学过程：一、实践与探究1、回忆：同分母的分数的加减法法就：同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减；2、试一试：

15、运算：（ 1）b2 ；（2） 23回忆：如何运算 152 、 11 ，546aaa 2ab从中可以得到什么启示？3、总结一下怎样进行分式的加减法？概括同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.二、例题1、例 3 运算： xy 2xyxy2xy2、例 4运算：3x424.x216分析这里两个加项的分母不同，要先通分. 为此，先找出它们的最简公分母.留意到 x 2解16 = x34 x244 , 所以最简公分母是x4 x4x4x2163243 x4243 x424x4 x4 x4x4 x4 x4 x4x4 x4学习必备欢迎下载3x123x

16、43 x三、练习：1 运算：5x+3y4 x4 x2x4 x4x411（1）x2-y2x2-y222p+3q +2p-3q分析：这两题就是分式加减法的运用； （1）是同分母分式的加减法，直接用法就就可以了；（ 2）是异分母分式的加减法，过程是先通分，通分的依据是分式的基本性质，化为同分母分式，然后再加减；师生共同来解两个题；老师写出解题过程；解：（1）原式5x+3y-2x x2-y2=3x+3y x2-y2 =3x+y x+yx-y=3x+y2 原式12p-3q2p+3q2p-3q+12p+3q 2p+3q2p-3q=2p-3q+2p+3q 2p+3q2p-3q4p=2p+3q2p-3q4p=

17、4p2-9q2；老师在解题时强调分式运算的结果必需化为最简分式；可以向同学简洁介绍最简分式的有关学问，可与最简分数相类比；四、小结：1、同分母分式的加减法：类似于同分母的分数的加减法；2、异分母分式的加减法步骤： .正确地找出各分式的最简公分母；求最简公分母概括为： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡显现的字母为底的幂的因式都要取； （3）相同字母的幂的因式取指数最大的；取这些因式的积就是最简公分母； .精确地得出各分式的分子、分母应乘的因式； .用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算； .公分母保持积的形式，将各分子绽开； .将得到的结果化成最简分式（整式） ；§ 16.

18、3整数指数幂（ 1）一、教学目标 1、经受探究负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，进展代数推理才能和有条理的表达才能； 2、明白负整数指数的概念，明白幂运算的法就可以推广到整指数幂；3、会进行简洁的整数范畴内的幂运算；学习必备欢迎下载二、教学重点负整数指数幂的概念三、教学难点熟悉负整数指数幂的产生过程及幂运算法就的扩展过程；四、教学过程温故知新43 34你仍记得下面这些算式的算式的算法吗？比一比，看一看谁做得又快又好：35（1） 33（2） aa 0 （ 3） x （ 4） mn （5） a5a3 （6） x7x7 （7）37382、你仍记得探究新知a 01a0 是怎么

19、得到的吗？依据除法的意义填空，看看运算结果有什么规律？37（1）3813（ 2）1051071a310（ 3）a51amn假如我们要使运算性质aa怎样的规定呢？a m n 在这里（即mn时 ）也可以适用，你认为该作老师可以勉励同学先运用自己的语言进行描述，然后自学课本第p23 页；要指出有了这一新规定后， a ma n应用新知再探新知a m n 的适用范畴就扩大到全部整数指数；现在我们考虑：在引入负整数指数和零指数后，a ma na m n （m、n 是正整数）这条性质能否扩大到m、n 是整数的情形？请完成以下填空：a 3a 5a311aa35即 aaaa 3a5111aa aaa3即 aa

20、5aa0a 51aa a05即 aaa从中你想到了什么？举例：再换其他整数指数验证这个规律；归纳： ama na m n 这条性质对 m、n 是任意整数的情形都适用；aan连续举例探究：适用；例 题 运算： am namn , ab nanbn ,nbbn在整数指数幂范畴内是否3学习必备欢迎下载0（1） 202122（2） 3.6103（3） 43422213（4） 33（5） aa 3a 6（6）2b 2 3六、小结 ：你这节学会了什么？§ 16.3整数指数幂（ 2）教学目标：1、使同学把握不等于零的零次幂的意义；2、使同学把握 a n1 （a0，n 是正整数）并会运用它进行运算；

21、a n3、通过探究，让同学体会到从特别到一般的方法是争论数学的一个重要方法；教学重点、难点：不等于零的数的零次幂的意义以及懂得和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点；教学过程：一、复习并问题导入问题 1在§ 13.1 中介绍同底数幂的除法公式a mana m n时，有一个附加条件： mn，即被除数的指数大于除数的指数. 当被除数的指数不大于除数的指数，即 m = n 或 m n 时，情形怎样呢？二、探究 1： 不等于零的零次幂的意义先考察被除数的指数等于除数的指数的情形. 例如考察以下算式：52÷52，103÷103，a5÷ a5 a0.一方面，

22、假如仿照同底数幂的除法公式来运算，得52÷ 5252-2 50 ，103÷103 103-3 100， a5÷a5 a5-5 a0 a 0.另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于 1. 概括:000由此启示，我们规定：5 =1，10 =1， a =1（a0）.这就是说： 任何不等于零的数的零次幂都等于1.三、探究 2：负指数幂零的零次幂没有意义！我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情形，例如考察以下算式：52÷ 55，103÷ 107，学习必备欢迎下载一方面，假如仿照同底数幂的除法公式来运算，得252-5

23、-3373-7-45 ÷5 55 ，10÷10 10 10 .另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为252 ÷55 55211033710÷ 10 1031 概括 ：555 25353107103104104-3由此启示，我们规定：51 ，10-4 531.10 4一般地，我们规定：a n1 a0，n 是正整数 a n这就是说， 任何不等于零的数的n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数 .四、例题：0-211、例 1 运算：（ 1）3 ；（2） 11032、例 2用小数表示以下各数：（1）10-4 ；（ 2） 2.1 ×

24、;10-5 .解（ 1）10-4 1 0.0001.10 4（2）2.1 ×10-5 2.1 ×12.1 × 0.00001 0.000021.31050五、练习： 运算：（1） 20212 23（2） 3.610（3） 443222133623（4） 33（5） aaa（6） 2b六、探索现在，我们已经引进了零指数幂和负整指数幂，指数的范畴已经扩大到了全体 整数. 那么，在§ 13.1 “幂的运算”中所学的幂的性质是否仍成立呢？与同学们争论并沟通一下，判定以下式子是否成立.（ 1） a 2a 3a 2 学习必备欢迎下载3 ；（ 2） a·b

25、-3 =a-3 b-3 ；（ 3） a-3 2=a-3 × 24a 2a 3七、小结：a 2 31、引进了零指数幂和负整数幂，指数的范畴扩大到了全体整数，幂的性质仍旧成立；同底数幂的除法公式am÷ an=am-n a0, m>n当 m = n 时， am÷an =当 m<n 时， am÷an = 2、任何数的零次幂都等于1 吗？ 留意：零的零次幂无意义；3、规定 an1其中 a、n 有没有限制，如何限制；a n教学目标：§ 16.4可化为一元一次方程的分式方程11、使同学懂得分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程

26、.2、使同学懂得增根的概念，明白增根产生的缘由，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 .3、使同学领悟“转化”的思想方法，熟悉到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解 .4、培育同学自主探究的意识，提高同学观看才能和分析才能；教学重点：使同学懂得分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程 .教学难点：使同学懂得增根的概念，明白增根产生的缘由，知道解分式方程须验根并把握验根的方法 .教学过程：一、问题情境导入轮船在顺水中航行80 千米所需的时间和逆水航行60 千米所需的时间相同 . 已知水流的速度是 3 千米/ 时，求轮船在静水中的速度.分析设轮船在静水中的速度为x 千米/

27、时，依据题意，得8060.（1）x3x3概括方程1 中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程 .思考怎样解分式方程呢？有没有方法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢？试动手解一解方程（1）.方程（ 1）可以解答如下：方程两边同乘以（ x+3） x-3 ，约去分母，得80（x-3 ）=60 x+3.解这个整式方程，得学习必备欢迎下载x=21.所以轮船在静水中的速度为21 千米/ 时.概括上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母， 把分式方程转化为整式方程来解. 所乘的整式通常取方程中显现的各分式的最简公分母.二、例题：1、例 1解方程：1x12

28、.x21解方程两边同乘以（ x2-1 ）, 约去分母，得x+1=2.解这个整式方程，得x=1.解到这儿，我们能不能说x=1 就是原分式方程的解（或根）呢？细心的同学可 能会发觉，当x=1 时，原分式方程左边和右边的分母（x1）与（ x21）都是 0，方程中显现的两个分式都没有意义，因此，x=1 不是原分式方程的解，应当舍去. 所以原分式方程无解 .我们看到，在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式， 并约去了分母， 有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为 增根 .因此，在解分式方程时必需进行检验.2、例 2解方程：100x30.x7解方程两边同乘以x x-7 ，约去分母，得100（x-7 ）=30x.解这个整式方程，得检验：把 x=10 代入 x x-7 ，得x=10.所以， x=10 是原方程的解 .三、练习：10×（ 10-7 ） 0231解方程x3x解：方程两边同乘x（x3），得 2x3x 9解得x9x检验： x9 时 x （x3） 0， 9 是原分式方程的解；2解方程x 11 x31 x2解：方程两边同乘（ x1）（