高数在经济学中应用

1、高等数学知识在经济学中的应用举例由于现代化生产发展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。一、复利与贴现问题1、复利公式货币所有者（债权人）因贷出货币而从借款人（债务人）手中所得之报酬称为利息。利息以“期”，即

2、单位时间（一般以一年或一月为期）进行结算。在这一期内利息总额与贷款额（又称本金）之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。 在结算利息时， 如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利”。下面推出按福利计息方法的复利公式。现有本金a0，年利率r=p%，若以复利计息，t 年末 a0将增值到at，试计算at。若以年为一期计算利息：一年末的本利和为a1=a0（1+r）二年末的本利和为a2=a0（1+r）+a0（1+r）r= a0

3、（1+r）2类推， t 年末的本利和为at= a0（1+r）t（ 1）若把一年均分成m 期计算利息，这时，每期利率可以认为是rm，容易推得0(1)mttraam（2）公式（ 1）和（ 2）是按离散情况计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限推得的计算at的复利公式。若计息的“期”的时间间隔无限缩短，从而计息次数m，这时，由于000lim(1)lim(1) mmtrtrtrmmrraaa emm所以，若以连续复利计算利息，其复利公式是0rttaa e例 1a0100 元， r=8%，t 1，则一年计息1 期1100(10.08)108()a元一年计息2 期210.08100 (1)108.

4、16()2a元一年计息4 期410.08100 (1)108.243()4a元一年计息12 期1210.08100 (1)108.300()12a元一年计息100 期10010.08100 (1)108.325()100a元连续复利计息0.081100108.329()ae元2、实利率与虚利率由例1 知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为 8，一年计息1 期，确实按8计算利息；一年计息2 期，实际上所得利息是按8.16计算的结果；一年计息4 期，实际上所得利息是按8.243计算；一年计息12 期，实际上是按 8.3计算；一年计息100 次，实际所得利息是按8.3

5、25 计算利息。这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8.16为一年复利2 期的实利率， 8.3为一年复利12 期的实利率，8.329为一年连续复利的实利率。记 r 为名义年利率， rm为一年计息m 期的实利率， 本金 a0，按名义利率一年计息m 期，一年末将增值到a0（1+rm）m，按实利率计息，一年末将增值到a0（1+rm） 。于是，有1+rm（ 1+rm）m，即(1)1mmrrm是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。若记 rm为连续复利的实利率，由于lim(1)mrmrem所以，实利率与虚利率之间的关系为1rmre。3、数 e 的

6、经济解释设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为)()11 (lim元emmm这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e 元。这可作为数 e 的经济解释。由于71828.2e，所以，这是的实利率大约为172。4、贴现问题我们已经知道，初时本金a0，年利率r，t 年末的本利和at，以年为期的复利公式是ttraa)1 (0，一年均分为m 期的复利公式是mttmraa)1(0，连续复利公式是rtteaa0。若称 a0为现在之， at为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，若已知未来值 at求现在值a0，则称贴现问题，这时利率r 称为贴现率。由复利公

7、式，容易推得：离散的贴现公式为ttraa)1 (0mttmraa)1 (0连续的贴现公式为rtteaa0例 2 设年利率为6.5，按连续复利计算，现投资多少元，16 年之末可得1200 元。这里，贴现率r=6.5，未来值at=1200，t=16。所以，现在值（元）15.4248292.212001200120004. 116065.00eeeaartt增长率设变量 y 是时间 t 的函数 y = f (t) ，则比值)()()(tftfttf为函数 f (t) 在时间区间,ttt上的相对改变量；如果f (t)可微，则定义极限)()()()()(lim0tftftfttfttft为函数 f (t

8、) 在时间点t 的瞬时增长率。对指数函数rteay0而言，由于reareaydtdyrtrt00，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r 增长。这样，关系式rtteaa0（ *）就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、 劳动力等这些变量都是时间t 的函数，若这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用（ *）式来描述。因此，指数函数rtea0中的“ r”在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t 的增长率。如果当函数rtea0中的 r 取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r 为衰减率。贴现问题就是负增长。例 3 某国现有劳动力两千

9、万，预计在今后的50 年内劳动力每年增长2%，问按预计在2056 年将有多少劳动力。由于未来值a0=2000，r=0.02，t=50，所以， 50 年后将有劳动力（万）56.543671828.2200020005002.050ea例 4 某机械设备折旧率为每年5，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。若原价值为a0，经t 年后，价值为021a，这里r=-0.05。由teaa05.00021，若取6931. 02ln，易算出 t=13.86（年） ，即大约经过13.86 年，机械设备的价值是原价值的一半。二、级数应用举例1、银行通过存款和放款“创造”货币问题商业银行吸收存款后，必须按照法定的

10、比率保留规定数额的法定准备金，其余部分才能用作放款。 得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保留法定准备金，其余部分作为放款。如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造”货币。设 r 表示最初存款，d 表示存款总额（即最初存款“创造”的货币总额），r 表示法定准备金占存款的比例，ru，每单位时间内净增加存货为p-u，到时刻t1终了库存出现一个顶点，这时，库存量为t1(p-u)。由于经历时间t1到货总量为q，因此1qtp，从而最大库存量为()(1)qupuqpp这种库存模型的库存水平变动情况如图3 所示。错误 !未指定书签。这样，在一个计划期内，平均库存量应为最大库

11、存量之半，因而库存费为1(1)2c qup。本问题中，因为生产准备费或订购费与“成批到货，不许短缺”库存模型一样，因此，存货总费用e 与每批数量q 的函数关系，即目标函数是12()(1),(0,(5)2c quc dee qxdpq为决策变量q，由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量*2121(6)1dcqcup这时，库存总费用的最小值*1211(7)uedc cp最优批量q*的表达式（ 6）也可由下式得到：12(1)2c quc dpq例 2 同例 1，但产品陆续存入仓库，每月到货200 台，试确定经济批量和最佳费用。解 已知条件是：1210001605000/dccpu1000台，

12、台，元；200台/ 月,台 月12由（ 5） （6） （7）可得经济批量为327.3 台，这时最佳费用为30550 元。（三） 成批到货，允许短缺的模型前面讨论的两个库存模型是不允许缺货。允许缺货是指，缺货时未能满足的需求，在下一批货物到货时要予以满足，而且缺货时的需求直接输出而不经过库存。其它情况同模型一。如果缺货带来的损失很小，且不会因暂时缺货而失去销售机会，缺货现象是允许存在的。允许缺货情况，库存水平变动情况见图4。图中的 t 是一个存贮循环延续时间，从前一批到货至库存量减少为0 的时间为t1，从库存是0 至下一批货物到达的时间为t2。错误 !未指定书签。这里尚需补充假设b：库存得到补充

13、之前的允许缺货量；c3：在一个计划期内，缺一件产品的损失费。需要注意的是每批投产或每次订购的数量q 包括了最大的允许缺货量b。本库存模型中，生产准备费与订购费与前面模型相同：2c dq库存费：因有货时间t1占一个存贮循环时间的比率为1tt，所以，在一个机会期内，有货时间所占比率也为1tt。有货时，最大库存量为q-b，从而平均库存量为2qb，由图4中 相似三角形易知1tqbtq因此，在一个计划期内，库存费为2111()()22tc qbcqbtq缺货费：在缺货时间t2占一个存贮循环时间的比率为2tt，在一个计划期内，缺货总时间所占比例也为2tt。最大缺货量为b，因此，平均缺货量为2b，由图 4

14、的相似三角形得知2tbtq。因此，在一个计划期内，缺货量为232322c btc btq. 综上，在一个计划期内，库存总费用22213(),(8)22c dcqbc beqqq或写作221131(),(8 )22c dc qccbec bqq这是该问题的目标函数。现在的问题是决策两个变量q 和 b，以使目标函数取极小值。根据（ 8 ）式，由二元函数极值存在的必要条件，有2211322113()022()0ec dcccbqqqebcccbq解该方程组，可得*213132(9)dcccqcc*121133132(10)cdccbqccccc可以验证极值存在的充分条件满足：2(*,*)20qbeq

15、，2222(*,*)22()0qbeeeq bqb因此，将*,*qqbb代入（ 8）式，可得存货总费用的最小值：*312132(11)cedc ccc比较（ 9）式和（ 3）式，如果缺一件产品的损失费c3为无穷大，因3133lim1cccc，则（ 9）式就是（ 3）式，这表明：不允许缺货可视为缺货损失为无穷大的情况。此式，又因3113lim0cccc，由（ 10）式知，恰有缺货量b*=0。例 3 某厂，一年劳动日为300 天，生产率（单位时间内的产量）固定，一年可组装机床 1500 台；若组装一台机床的零部件价值14400 元，而一年的保管费为其价值的22，因缺零部件而停工，少装一台机床的损失

16、费为零部件价值的50；又每次订购零部件的手续费为 7500 元，为使一年存货总费用最小，试就下列各种情况决策最优批量和允许缺货量（如果允许缺货的话）并计算最佳费用：（1） 不管每次订购数量为多少，都可立即到货，不允许停工待料；（2） 若订货后，每天可到货30 台机床的零部件，不允许停工待料；（3） 不管每次订货多少，都可立即到货，允许停工待料，但缺料时未完成的任务，当到货后，可不占劳动日就能完成。解 由题设知12315001440022%316875001440050%7200/dcccpu台，元，元元150030台/ 天,5台 天300（1）这是成批到货，不许缺货的情况。目标函数为：316815007500()2ee qqq，由（ 2）式得最优批量84.27，可取 q*=84 台；由目标函数可得最佳费用e*266985 元。（2）这是陆续到货，不许短缺的情况。目标函数为3168515007500()(1),230qee qq由（ 6）式得最优批量92.3，取 q*=92 台；最佳费用e*243723 元。下面，比较成批到货和陆续到货两种情况：成批到货陆续到货最优批量最大库存水平一年订购次数一年总费用q