高考圆锥曲线中的定点定值专题(附答案)

1、高考圆锥曲线中的定点定值问题定点问题是常见的考题形式，解决这类问题的关键就是引进变参数表示直线方程、数量积、 比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和 b 的一次函数关系式，代入直线方程即可类型一： “手电筒”模型例题、 已知椭圆c：13422yx若直线mkxyl：与椭圆 c 相交于 a，b 两点（ a，b 不是左右顶点），且以 ab 为直径的圆过椭圆c 的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。解： 设1122(,),(,)a xyb xy，由223412ykxmxy得222(34)84(3)0

2、kxmkxm，22226416(34)(3)0m kkm，22340km212122284(3),3434mkmxxxxkk22221212121223(4)() ()()34mkyykxmkxmk x xmk xxmkq以 ab 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),d且1adbdkk，1212122yyxx，1212122()40y yx xxx，2222223(4)4(3)1640343434mkmmkkkk，整理得：2271640mmkk，解得：1222 ,7kmk m，且满足22340km当2mk时，:(2)lyk x，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27km时，2:()7lyk

3、x，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l过定点，定点坐标为2(,0).7方法总结： 本题为 “弦对定点张直角”的一个例子 ：圆锥曲线如椭圆上任意一点p 做相互垂直的直线交圆锥曲线于ab ，则 ab 必过定点)(,)(2222022220babaybabax。模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定ap 与 bp 条件（如?bpapkk定值，bpapkk定值） ，直线 ab 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。此模型解题步骤：step1：设 ab 直线mkxy，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；step2：由 ap 与 bp 关系（如1?bpap

4、kk） ，得一次函数)()(kfmmfk或者；step3：将)()(kfmmfk或者代入mkxy，得定定yxxky)(。类型题训练练习 1：过抛物线m:pxy22上一点 p（1,2）作倾斜角互补的直线pa 与 pb，交 m 于 a、b 两点，求证：直线ab 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习 2：过抛物线m:xy42的顶点任意作两条互相垂直的弦oa 、ob，求证：直线ab 过定点。练习 3：过1222yx上的点作动弦ab 、ac 且3?acabkk，证明 bc 恒过定点。练习 :4：设 a、b 是轨迹c：22(0)ypx p上异于原点o的两个不同点，直线oa和ob的倾斜角分别为

5、和，当,变化且4时，证明直线ab恒过定点，并求出该定点的坐标。【答案】设1122,a x yb xy，由题意得12,0 x x，又直线oa,ob 的倾斜角,满足4，故0,4，所以直线ab的斜率存在，否则，oa,ob直线的倾斜角之和为从而设ab方程为ykxb，显然221212,22yyxxpp，将ykxb与22(0)ypx p联立消去x，得2220kypypb由韦达定理知121222,ppbyyyykk由4，得 1tantan()4=tantan1tantan=122122 ()4p yyy yp将式代入上式整理化简可得：212pbpk，所以22bppk，此时，直线ab的方程可表示为ykx22p

6、pk即(2 )20k xpyp所以直线ab恒过定点2 ,2pp.练习 5：已知动圆过定点a(4,0), 且在y轴上截得的弦mn的长为 8. ( ) 求动圆圆心的轨迹c的方程 ; ( ) 已知点b(-1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹c交于不同的两点p, q, 若x轴是的角平分线 , 证明直线过定点 . lpbql【答案】解:( ) a(4,0),设圆心 c ( ) 点b(-1,0), . 直线 pq方程为 :所以 , 直线 pq过定点 (1,0) 练习 6：已知点1,0 ,1,0 ,bcp是平面上一动点，且满足| |pcbcpb cbuu u ru uu ruuu ru uu r（1）求点

7、p的轨迹c对应的方程；（2）已知点(,2)a m在曲线c上，过点a作曲线c的两条弦ad和ae，且adae，判断：直线de是否过定点？试证明你的结论.【解】 （1）设.4,1) 1(|),(222xyxyxcbpbbcpcyxp化简得得代入（5 分）).2, 1(, 14)2,()2(2的坐标为点得代入将amxyma,044,422tmtyxytmyxde得代入的方程为设直线）（，则设*016)44,4),(),(221212211tmtyymyyyxeyxd4)(21)()2)(2() 1)(1(212121212121yyyyxxxxyyxxaead5)(2)44(4421212221222

8、1yyyyyyyy5)(242)(16)(212121221221yyyyyyyyyymmttmttmt845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222化简得) 1(23) 1(43484962222mtmtmmtt）即（即0*, 1252）式检验均满足代入（或mtmt1)2(5)2(ymxymxde或的方程为直线）不满足题意，定点（过定点直线21).2,5(de）2222,2),(ecmecmcamnmeemnyx，由几何图像知线段的中点为xyxyx84) 422222（222121212122118,8,00),(),(xyxyyyyyyxqyxp，由题知设080)()(888

9、11211221212222112211yyyyyyyyyyyyxyxy)8(1)(21121112121yxyyyyxxxxyyyy1,088)(8)()(122112112xyxyyyyxyyyyyy练习 7：已知点 a（ 1，0） ，b（1， 1）和抛物线 .xyc4:2，o 为坐标原点，过点a 的动直线l 交抛物线c 于 m、p，直线 mb 交抛物线c 于另一点q，如图 .（i）证明 : omopu uu u r u uu r为定值 ;（ii）若 pom 的面积为25，求向量om与op的夹角；（）证明直线pq 恒过一个定点.解： （i） 设点pyypyym),4(),4(222121、

10、 m、 a 三点共线，,4414,222121211yyyyyykkdmam即4,142121211yyyyyy即.544212221yyyyopom(ii) 设 pom=，则.5cos|opom.5sin|,25opomsrom由此可得 tan=1. 又.45,45), 0(的夹角为与故向量opom()设点myyq),4(323、b、q 三点共线，,qmbqkk3133222233131323133131311,41444(1)()4,40.11yyyyyyyyyyyyyyy yyyl l l l即即即分,0444,4,432322121yyyyyyyy即即.(*)04)(43232yyyy

11、,44432232232yyyyyykpq)4(422322yxyyyypq的方程是直线即.4)(,4)(323222322xyyyyyyxyyyy即由（ *）式，,4)(43232yyyy代入上式，得).1(4)(4(32xyyy由此可知直线pq 过定点 e（ 1， 4）. 类型二：切点弦恒过定点例题： 有如下结论： “ 圆222ryx上一点),(00yxp处的切线方程为200ryyyx” ，类比也有结论： “ 椭圆),()0(1002222yxpbabyax上一点处的切线方程为12020byyaxx” ，过椭圆c：1422yx的右准线l 上任意一点m 引椭圆 c 的两条切线，切点为a、 b

12、.（1）求证：直线ab 恒过一定点；（2）当点 m 在的纵坐标为1 时，求 abm 的面积。【解】（1）设 m14),(),(),)(,334(11221, 1yyxxmayxbyxartt的方程为则点 m 在 ma 上13311tyx同理可得13322tyx由知ab 的方程为)1(3, 133tyxtyx即易知右焦点f（0 ,3）满足式，故ab 恒过椭圆c 的右焦点f（0,3）（2）把 ab 的方程0167, 14)1(322yyyxyx化简得代入7167283631| ab又 m 到 ab 的距离33231|334|d abm 的面积21316|21dabs方法点评： 切点弦的性质虽然可以

13、当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？练习 1：已知抛物线的顶点为原点, 其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点 , 过点作抛物线的两条切线, 其中为切点 . ( ) 求抛物线的方程 ; ( ) 当点为直线上的定点时 , 求直线的方程 ; ( ) 当点在直线上移动时 , 求的最小值 . 【答案】( ) 依题意 , 设抛物线的方程为, 由结合, 解得. 所以抛物线的方程为. ( ) 抛物线的方程为, 即, 求导得设,( 其中), 则切线的斜率分别为, 所以切线：, 即, 即同理可得切线的方程为因为切线均

14、过点, 所以,所以为方程的两组解 . 所以直线的方程为. ( ) 由抛物线定义可知, c0,0fccl20 xy3 22plpc,pa pb,a bc00,p xylabplafbfc24xcy023 222c0c1cc24xyc24xy214yx12yx11,a x y22,b xy221212,44xxyy,pa pb112x212xpa1112xyyxx211122xxyxy11220 x xyypb22220 x xyy,pa pb00,p xy1001220 x xyy2002220 x xyy1122,xyxy00220 x xyyab00220 x xyy11afy21bfy所以

15、联立方程, 消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得,所以又点在直线上, 所以, 所以所以当时, 取得最小值 , 且最小值为.练习 2：如图 , 抛物线,点在抛物线上, 过作的切线 , 切点为(为原点时,重合于), 切线的斜率为. (i) 求的值 ;(ii)当在上运动时 , 求线段中点的轨迹方 .121212111afbfyyy yyy0022204x xyyxyx22200020yyxyy212002yyxy2120y yy221212000121afbfy yyyyxy00,p xyl002xy22220000001921225222yxyyyy012yafbf922212:4 ,:20

16、cxy cxpy p00,mxy2cm1c,a bmo,a bo012x.ma12-pm2cabn,.a boo重合于时 中点为类型三：相交弦过定点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。参考尼尔森数学第一季_3 下，优酷视频。 但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。例题 、已知椭圆c：2214xy，若直线:(2)lxt t与 x 轴交于点t,点 p 为直线l上异于点t 的任一点，直线pa1,pa2分别与椭圆交于m、n 点，试问直线mn 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解： 设11(,)mx y，22(,

17、)n xy，直线1a m的斜率为1k,则直线1a m的方程为1(2)yk x，由122(2)44yk xxy消 y 整理得222121(14)161640kxk xk12xq和是方程的两个根，21121164214kxk则211212814kxk，1121414kyk，即点 m 的坐标为2112211284(,)1414kkkk，同理，设直线a2n 的斜率为 k2，则得点 n 的坐标为2222222824(,)1414kkkk12(2),(2)ppyk tyktq12122kkkkt，q直线 mn 的方程为：121121yyyyxxxx，令 y=0，得211212x yx yxyy，将点 m、

18、n 的坐标代入，化简后得：4xt又2tq，402tq椭圆的焦点为( 3,0)43t，即4 33t故当4 33t时， mn 过椭圆的焦点。练习： 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点 过椭圆的右焦点f 任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点 q. （1）求椭圆的方程：（2）是否存在这样直线，使得点q恒在直线上移动？若存在, 求出直线方程 , 若不存在 , 请说明理由 . 解析： （1）设椭圆方程为将、代入椭圆e的方程，得解得. 椭圆的方程（也可设标准方程，知类似计分）（2）可知：将直线代入椭圆的方程并整理得设直线与椭圆的交点，由根系数的关系，得直线的方程为

19、：e( 2,0)a(2,0)b31,2clemnambnemmm221(0,0),mxmymn( 2,0)a(2,0)b3(1, )2c41,914mmn11,43mne22143xy2a:(1)lyk xe22143xy2222(34)84(3)0kxk xkle1122(,),(,)m xyn xy212122214(3),3434kxxx xkkam1111(1)(2),(2)22yk xyxyxxx即由直线的方程为：，即由直线与直线的方程消去，得直线与直线的交点在直线上故这样的直线存在类型四：动圆过定点问题动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。例

20、 1. 已知椭圆2222:1(0)xycabab2,2的离心率为yxb并且直线是抛物线xy42的一条切线。（i ）求椭圆的方程；（）过点)31,0(s的动直线l 交椭圆 c于 a、b两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点t，使得以 ab为直径的圆恒过点t？若存在，求出点t的坐标；若不存在，请说明理由。解： （ i ）由0)42(:4222bxbxyxybxy得消去am22(2)2yyxx22(1)(2)2k xyxxambny121212122121222(3)223()434()24x xxxx xxxxxxxxxx222222222222228(3)2446244343434484642

21、3434kkkxxkkkkkxxkkambn4x因直线xybxy42与抛物线相切04)42(22bb1b22222221,222cabeabcaaaq，故所求椭圆方程为.1222yx（ii ）当 l与 x轴平行时，以ab为直径的圆的方程：222)34()31(yx当 l 与 x 轴平行时，以ab为直径的圆的方程：122yx, 由101)34()31(22222yxyxyx解得即两圆相切于点（0， 1）因此，所求的点t 如果存在，只能是（0，1） . 事实上，点t（0，1）就是所求的点，证明如下。当直线 l 垂直于 x 轴时，以ab为直径的圆过点t（0，1）若直线 l 不垂直于x 轴，可设直线l

22、：31kxy由01612)918(:12312222kxxkyyxkxy得消去记点),(11yxa、9181691812),(22122122kxxkkxxyxb则1122(,1),(,1),tax ytbxyuu ruu r又因为1212121244(1)(1)()()33ta tbx xyyx xkxkxuu r uu r所以916)(34)1 (21212xxkxxk0916918123491816)1 (222kkkkktatb，即以 ab为直径的圆恒过点t（ 0，1）, 故在坐标平面上存在一个定点t（ 0，1）满足条件 . 例 2：如图，已知椭圆2222:1(0)xycabab的离心

23、率是22，12,aa分别是椭圆c的左、右两个顶点，点f是椭圆c的右焦点。点d是x轴上位于2a右侧的一点，且满足121122a da dfd。（1）求椭圆c的方程以及点d的坐标；（2）过点d作x轴的垂线n，再作直线:lykxm与椭圆c有且仅有一个公共点p，直线l交直线n于点q。求证：以线段pq为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。解： （ 1）12(,0),( ,0),( ,0)aaaaf c，设( ,0)d x，1a2aofdpqlnxy由12112ada d有112xaxa，又1fd，1,1xcxc，于是11211caca1(1)(1)cca ca，又222cacaq，1(12 )(12 )ccc cc20cc，又0c，1,2,1cab，椭圆22:12xcy，且(2,0)d。（ 2）(2,2)qkmq，设00(,)p xy，由2222()1212ykxmxkxmxy222()2xkxm222(21)4220kxkmxm，由于22222222164(21)(22)021021k mkmkmmk（*） ，而由韦达定理：*00222422222121kmkmkmkxxkkmm由（ ），20021kykxmmmm，21(,)kpmm，设以线段pq为直径的圆上任意一点( , )mx y，由0mp