高考数学(理)(人教)大一轮复习文档讲义：第十二章古典概型

1、1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件a 包括的结果有m 个，那么事件a 的概率 p(a)mn.4古典概型的概率公式p(a)a包含的基本事件的个数基本事件的总数.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽

2、”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽” ()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件 ()(3)从市场上出售的标准为500 5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型 ()(4)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为13.()(5)从 1,2,3,4,5 中任取出两个不同的数，其和为5 的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如果事件a 中基本事件构成集合a，且集合 a 中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合i，且集合i 中元素个数为m，则事

3、件a 的概率为nm.()1从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的2 个数之差的绝对值为2 的概率是 ()a.12b.13c.14d.16答案b解析基本事件的总数为6，构成 “取出的 2 个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率p2613，故选 b.2(2016 北京 )从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为()a.15b.25c.825d.925答案b解析从甲、 乙等 5 名学生中随机选2 人共有 10 种情况， 甲被选中有4 种情况， 则甲被选中的概率为41025.3 (2015 课标全国 )如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边

4、的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这3 个数构成一组勾股数的概率为()a.310b.15c.110d.120答案c解析从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有c3510(个)不同的结果，其中勾股数只有一组，故所求概率为p110.4从正方形四个顶点及其中心这5 个点中， 任取 2 个点， 则这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为_答案35解析取两个点的所有情况为10 种，所有距离不小于正方形边长的情况有6 种，概率为61035.5(教材改编 )同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_答案56解析掷两个骰子一次，向上的点数共6 6

5、36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6 个，所以点数不同的概率p166656.题型一基本事件与古典概型的判断例 1(1)有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x 表示第 1 颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2 颗正四面体玩具出现的点数试写出：试验的基本事件；事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；事件“出现点数相等”包含的基本事件(2)袋中有大小相同的5 个白球， 3 个黑球和3 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型

6、，该模型是不是古典概型？若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件 “ 出现点数之和大于3”包含的基本事件为(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)事件 “ 出现点数相等”包含的基本事件为(1,1)，(2

7、,2)，(3,3)，(4,4)(2) 由于共有 11 个球，且每个球有不同的编号，故共有11 种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型由于 11 个球共有3 种颜色， 因此共有3 个基本事件， 分别记为a：“摸到白球 ”，b：“摸到黑球 ” ，c：“摸到红球 ” ，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5 个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是

8、否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点 有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型下列试验中，古典概型的个数为()向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形abcd 内，任意抛掷一点p，点 p 恰与点 c 重合；从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2 的概率；在线段 0,5上任取一点，求此点小于2的概率a0 b 1 c2 d3答案b解析 中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型； 的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型题型二古典概型的求法例 2(1)(2015 广东 )袋中共有15 个除

9、了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中任取2 个球，则所取的2 个球中恰有1 个白球， 1 个红球的概率为()a.521b.1021c.1121d1(2)(2015江苏 )袋中有形状、大小都相同的4 只球，其中1 只白球， 1 只红球， 2 只黄球，从中一次随机摸出2 只球，则这2 只球颜色不同的概率为_(3)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件a 表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件a 发生的概率为_答案(1)b(2)56(3)112解析(1)从袋中任取

10、2 个球共有c215105(种)取法， 其中恰好1 个白球 1 个红球共有c110c1550(种)取法，所以所取的球恰好1 个白球 1 个红球的概率为501051021.(2)基本事件共有c246(种)，设取出两只球颜色不同为事件a，a 包含的基本事件有c12c12c11c115(种)故 p(a)56.(3)五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为a55 120，满足事件a“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑：从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如：金，第二个位置(除去金本身 )只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有

11、c15c1210(种 )可能，所以事件a 出现的概率为10120112.引申探究1本例 (2)中，若将 4 个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4 的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为6.设标号和为奇数为事件a，则 a 包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共 4 种，所以 p(a)4623.2本例 (2)中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解基本事件数为c14c1416，颜色相同的事件数为c12c11c12c12 6，所求概率为61638.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件a包含的基

12、本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择(1)(2016 全国乙卷 )为美化环境， 从红、 黄、白、紫 4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余下的2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()a.13b.12c.23d.56答案c解析从 4 种颜色的花中任选2 种种在一个花坛中，余下2 种种在另一个花坛，有(红黄 )，(白紫 )， (白紫 )，(红黄 )，(红白 )，(黄紫 )，(黄紫 )， (红白 )，(红紫 )，(黄白 )，(黄白 )，(红紫 )，共 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛

13、的种法有(红黄 )，(白紫 )，(白紫 )，(红黄)，(红白 )，(黄紫 )，(黄紫 )，(红白 )，共 4 种，故所求概率为p4623，故选 c. (2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3， 这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3 次，每次抽取1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为a， b，c.求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；求“抽取的卡片上的数字a，b，c 不完全相同”的概率解由题意知， (a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)， (1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)

14、，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)， (2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)， (3,3,2)，(3,3,3)，共 27 种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件 a，则事件 a 包括 (1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共 3 种所以 p(a)32719.因此， “ 抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为19.设“抽取的卡片上的数字a，b， c 不完全相同 ”为事件 b，则事件b 包括 (1,1,1

15、)，(2,2,2)，(3,3,3)，共 3 种所以 p(b)1p( b )132789.因此， “ 抽取的卡片上的数字a，b，c 不完全相同 ”的概率为89.题型三古典概型与统计的综合应用例 3(2015 安徽 )某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问 50 名职工根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示 )， 其中样本数据分组区间为：40,50)，50,60)， ，80,90)，90,100(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80 的概率；(3)从评分在 40,60)的受访职工中，随机抽取2 人，求此2 人的评分都

16、在40,50)的概率解(1)因为 (0.004a0.018 0.02220.028)101，所以 a0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80 的频率为 (0.022 0.018) 100.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80 的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在50,60)的有 500.006103(人)，记为 a1，a2，a3；受访职工中评分在40,50) 的有 500.004102(人 )，记为 b1，b2，从这 5名受访职工中随机抽取2 人，所有可能的结果共有10 种，它们是 a1，a2，a1，a3，a1，b1， a1，b2，a2，a3，a2，

17、 b1， a2，b2 ， a3，b1， a3，b2 ，b1，b2 又因为所抽取2 人的评分都在 40,50)的结果有1 种，即 b1，b2 ，故所求的概率为p110.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决海关对同时从a，b，c 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件 )如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测.地区abc数量50150100(1)

18、求这 6 件样品中来自a，b，c 各地区商品的数量；(2)若在这 6 件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来自相同地区的概率解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650150100150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50150 1,1501503,1001502.所以 a，b，c 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设 6 件来自 a，b，c 三个地区的样品分别为a；b1，b2，b3； c1，c2.则从 6件样品中抽取的这2 件商品构成的所有基本事件为a，b1 ，a，b2，a，b3 ， a，c1，a，c2， b1，b2，b1，b3 ，b1

19、，c1，b1，c2 ，b2，b3，b2，c1，b2，c2，b3，c1， b3，c2，c1，c2 ，共 15 个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件 d： “ 抽取的这 2 件商品来自相同地区”，则事件 d 包含的基本事件有b1，b2 ，b1，b3，b2，b3，c1，c2，共 4个所以 p(d)415，即这 2件商品来自相同地区的概率为415.六审细节更完善典例(12 分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从

20、袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 nm 2 的概率(1)基本事件为取两个球(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示)把取两个球的所有结果列举出来1,2 ，1,3 ，1,4 ，2,3 ，2,4 ，3,4两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4 或等于 4)1,2 ，1,3利用古典概型概率公式求解p2613(2)两球分两次取，且有放回(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示)基本事件的总数可用列举法表示(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(4,1)，(4,2)，(4,3)，(

21、4,4)(注意细节， m 是第一个球的编号，n 是第 2 个球的编号 )nm2 的情况较多，计算复杂(将复杂问题转化为简单问题)计算 nm2 的概率nm2 的所有情况为 (1,3)，(1,4)，(2,4)p1316 注意细节， p1f(3,16)是 nm2 的概率，需转化为其,对立事件的概率nm2 的概率为1p11316.规范解答解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 2,3 ，2,4 ，3,4 ，共 6 个从袋中取出的球的编号之和不大于4 的事件有 1,2 ，1,3 ，共 2 个因此所求事件的概率p2613.4 分(2)先从袋中随机取一

22、个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 个 6 分又满足条件nm2 的事件为 (1,3)， (1,4)，(2,4)，共 3 个，所以满足条件nm2 的事件的概率为p1316.10 分故满足条件n0，所以 f(x)在 r 上递增，若f(x)在 1,2上有零点，则需f 1 1 ab0，f 2 8 2ab 0，经验证有 (1,2)，(1,4)， (1,8)，(

23、2,4)，(2,8)， (2,12)， (3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共 11 对满足条件，而总的情况有16 种，故所求概率为1116.5有编号分别为1,2,3,4,5 的 5 个红球和5 个黑球， 从中随机取出4 个，则取出球的编号互不相同的概率为()a.521b.27c.13d.821答案d解析从编号分别为1,2,3,4,5 的 5 个红球和5 个黑球中随机取出4 个，有 c410210(种)不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的设事件a 为“取出球的编号互不相同”，则事件a 包含了c15c12c12c12c1280(个)基本事件，

24、所以p(a)80210821.故选 d.6如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()a11a12a13a21a22a23a31a32a33a.37b.47c.114d.1314答案d解析从九个数中任取三个数的不同取法共有c39 84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有c13c12c116(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为16841314.7 从正六边形的6 个顶点中随机选择4 个顶点， 则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()a.110b.18c.16d.15答案d解析如图所示，

25、从正六边形abcdef 的 6 个顶点中随机选4 个顶点， 可以看作随机选2 个顶点， 剩下的 4 个顶点构成四边形，有a、b，a、c，a、d，a、e，a、f，b、c，b、d，b、e， b、f，c、d，c、e，c、f，d、 e，d、f，e、f，共 15 种若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有 a、d，b、e，c、f，共 3 种，故其概率为31515.8若 a、b 为互斥事件，p(a)0.4，p(ab)0.7，则 p(b)_.答案0.3解析因为 a、b 为互斥事件，所以 p(a b)p(a)p(b)，故 p(b)p(ab)p(a)0.70.40.3.9(2017 成都月考 )如图的茎叶图是甲、乙

26、两人在 4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为_答案0.3解析依题意，记题中的被污损数字为x，若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则有(8921)(53x 5)0，x7，即此时x 的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率p3100.3.10 10件产品中有7 件正品，3 件次品，从中任取 4 件， 则恰好取到1 件次品的概率是_答案12解析从 10 件产品中取4 件，共有 c410种取法， 取到 1 件次品的取法为c13c37种，由古典概型概率计算公式得pc13c37c41033521012.11设连续掷两次骰子得到的点数分别

27、为m，n，令平面向量a(m，n)，b (1， 3)(1)求事件“ ab”发生的概率；(2)求事件“ |a|b|”发生的概率解(1)由题意知， m1,2,3,4,5,6 ， n1,2,3,4,5,6 ，故 (m，n)所有可能的取法共36 种因为 ab，所以 m3n0，即 m3n，有 (3,1)，(6,2)，共 2 种，所以事件a b发生的概率为236118.(2)由 |a|b|，得 m2n210，有(1,1)， (1,2)，(1,3)，(2,1)， (2,2)，(3,1)，共 6 种，其概率为63616.12袋中装有黑球和白球共7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为17，现有甲、 乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等