高考数学三轮冲刺专题13空间点、线、面的位置关系专项讲解与训练

1、1 专题 13 空间点、线、面的位置关系空间线面位置关系的判断 核心提炼 空间线面位置关系判断的常用方法(1) 根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2) 必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 (1) 如图，在下列四个正方体中，a，b为正方体的两个顶点，m，n，q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线ab与平面mnq不平行的是 ( ) (2)(2017 高考全国卷) 在正方体abcd-a1b1c1d1中，e为棱cd的中点，则 ( ) aa1edc1ba1ebdca1ebc1da1eac【答案】(1)a

2、(2)c 【解析】(1) 对于选项b，如图所示，连接cd，因为abcd，m，q分别是所在棱的中点，所以mqcd，所以abmq，又ab?平面mnq，mq? 平面mnq，所以ab平面mnq. 同理可证选项c，d中均有ab平面mnq. 故选 a. (2) 由正方体的性质，得a1b1bc1，b1cbc1，且b1ca1b1b1，所以bc1平面a1b1cd，又a1e? 平面a1b1cd，所以a1ebc1，故选 c. 判断空间线面位置关系应注意的问题2 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以

3、利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中【对点训练】1(2019 湖北七市 ( 州) 联考 ) 设直线m与平面 相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) a在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直b过直线m有且只有一个平面与平面 垂直c与直线m垂直的直线不可能与平面 平行d与直线m平行的平面不可能与平面 垂直【答案】 b 2(2019 成都第一次诊断性检测) 在直三棱柱abc-a1b1c1中，平面 与棱ab，ac，a1c1，a1b1分别交于点e，f，g，h，且直线aa1平面 .有下列三个命题：四边形efgh是平行四 边形；平面平面bcc1b1

4、；平面 平面bcfe. 其中正确的命题有( ) abcd【答案】 c. 【解析】aa1平面，平面平面aa1b1beh，所以aa1eh. 同理aa1gf，所以ehgf，又abc-a1b1c1是直三棱柱， 易知ehgfaa1，所以四边形efgh是平行四边形， 故正确； 若平面 平面bb1c1c，由平面 平面a1b1c1gh，平面bcc1b1平面a1b1c1b1c1，知ghb1c1，而ghb1c1不一定成立，故错误；由aa1平面bcfe，结合aa1eh知eh平面bcfe，又eh? 平面 ，所以平面平面bcfe. 综上可知，选c. 空间平行、垂直关系的证明 核心提炼 1直线、平面平行的判定及其性质3

5、(1) 线面平行的判定定理：a?，b? ，ab?a. (2) 线面平行的性质定理：a，a? ， b?ab. (3) 面面平行的判定定理：a? ，b? ，abp，a ，b ? . (4) 面面平行的性质定理：， a， b?ab. 2直线、平面垂直的判定及其性质(1) 线面垂直的判定定理：m? ，n? ，mnp，lm，ln?l . (2) 线面垂直的性质定理：a，b?ab. (3) 面面垂直的判定定理：a? ，a? . (4) 面面垂直的性质定理：， l，a? ，al?a. (2017高考北京卷) 如图，在三棱锥p-abc中，paab，pabc，abbc，paabbc 2，d为线段ac的中点，e为

6、线段pc上一点(1) 求证：pabd；5(2019 成都第二次诊断性检测) 已知m，n是空间中两条不同的直线， 是两个不同的平面，且m? ，n? . 有下列命题：若 ，则mn；若 ，则m；若 l，且ml，nl，则 ；若 l，且ml，mn，则 . 其中真命题的个数是( ) a0 b1 c2 d3 【答案】 b. 【解析】对于，直线m，n可能异面；易知正确；对于，直线m，n同时垂直于公共棱，不能推出两个平面垂直，错误；对于，当直线nl时，不能推出两个平面垂直故真命题的个数为1. 故选 b. 6. 如图所示， 直线pa垂直于o所在的平面， abc内接于o， 且ab为o的直径，点m为线段pb的中点现有

7、结论：bcpc；om平面apc；点b到平面pac的距离等于线段bc的长其中正确的是_【答案】：【解析】：对于，因为pa平面abc，所以pabc. 因为ab为o的直径，所以bcac，所以bc平面pac，又pc? 平面pac，所以bcpc；对于，因为点m为线段pb的中点，所以ompa，因为pa? 平面4 pac， 所以om平面pac；对于，由知bc平面pac，所以线段bc的长即是点b到平面pac的距离，故都正确7已知 ， 是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面， ；存在一条直线a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b. 其中，所有能成为“”的充要条件的序号是_答案：8(2019 武昌调研

8、) 在矩形abcd中，abbc，现将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直；存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直；存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直其中正确结论的序号是_ ( 写出所有正确结论的序号) 答案：解析：假设ac与bd垂直，过点a作aebd于e，连接ce.则aebdbdac?bd平面aec?bdce，而在平面bcd中，ec与bd不垂直，故假设不成立，错假设abcd，因为abad，所以ab平面acd，所以abac，由abbc可知，存在这样的等腰直角三角形，使abcd，故假设成立，正确假设adbc，因为

9、dcbc，所以bc平面adc，所以bcac，即abc为直角三角形，且ab为斜边，而abbc，故矛盾，假设不成立，错综上，填.9(2019 石家庄质量检测( 一) 5 如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，底面abcd为梯形，adbc，cdbc，ad2，abbc 3，pa4，m为ad的中点，n为pc上一点，且pc3pn. (1) 求证：mn平面pab；(2) 求点m到平面pan的距离【解析】：(1) 证明：在平面pbc内作nhbc交pb于点h，连接ah，在pbc中，nhbc，且nh13bc1，am12ad1. 又adbc，所以nham且nham，所以四边形amnh为平行四边形，所以mna

10、h，又ah? 平面pab，mn?平面pab，所以mn平面pab. (2) 连接ac，mc，pm，平面pan即为平面pac，设点m到平面pac的距离为h. 由题意可得cd22，ac23，所以spac12paac43，所以samc12amcd2，由vm -pacvp- amc，得13spach13samcpa，即 43h24，所以h63，所以点m到平面pan的距离为63. 10(2017高考全国卷 ) 如图，四面体abcd中，abc是正三角形，adcd. (1) 证明：acbd；(2) 已知acd是直角三角形，abbd. 若e为棱bd上与d不重合的点，且aeec，求四面体abce与四面体acde的

11、体积比【解析】：6 (1) 证明：取ac的中点o，连接do，bo. 因为adcd，所以acdo. 又由于abc是正三角形，所以acbo. 从而ac平面dob，故acbd. (2) 连接eo. 由(1) 及题设知adc90，所以doao. 在 rtaob中，bo2ao2ab2. 又abbd，所以bo2do2bo2ao2ab2bd2，故dob90. 由题设知aec为直角三角形，所以eo12ac. 又abc是正三角形，且abbd，所以eo12bd. 故e为bd的中点， 从而e到平面abc的距离为d到平面abc的距离的12，四面体abce的体积为四面体abcd的体积的12，即四面体abce与四面体ac

12、de的体积之比为11. 能力提升 1(2016高考全国卷 ) 平面 过正方体abcd-a1b1c1d1的顶点a，平面cb1d1， 平面abcdm，平面abb1a1n，则m，n所成角的正弦值为( ) a.32b22c.33d.13【答案】 a. 【解析】因为过点a的平面 与平面cb1d1平行，平面abcd平面a1b1c1d1，所以mb1d1bd，又a1b平面cb1d1，所以na1b，则bd与a1b所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为32，选 a. 2如图所示，正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a，点p是棱ad上一点，且apa3，过b1、d1、p的平面交底面abcd于pq，q在直线c

13、d上，则pq_7 答案：223a解析：因为平面a1b1c1d1平面abcd，而平面b1d1p平面abcdpq，平面b1d1p平面a1b1c1d1b1d1，所以b1d1pq. 连接bd，因为b1d1bd，所以bdpq，设pqabm，因为abcd，所以apmdpq. 所以pqpmpdap2，即pq2pm. 又知apmadb，所以pmbdapad13，所以pm13bd，又bd2a，所以pq223a. 3(2019. 洛阳第一次统考) 如图，正方形adef与梯形abcd所在的平面互相垂直，abcd，abbc，dcbc12ab1，点m在线段ec上(1 ) 证明：平面bdm平面adef；(2) 若ae平面

14、mdb，求三棱锥e-bdm的体积【解析】：(1) 证明：因为dcbc1，dcbc，所以bd2. 在梯形abcd中，ad2，ab2，所以ad2bd2ab2，所以adb90. 所以adbd. 8 又平面adef平面abcd，edad，平面adef平面abcdad，ed? 平面adef，所以ed平面abcd，因为bd? 平面abcd，所以bded. 又added，所以bd平面adef. 又bd? 平面bdm，所以平面bdm平面adef. (2) 如图，连接ac，acbdo，连接mo，因为平面eac平面mbdmo，ae平面mdb，ae? 平面eac. 所以aeom. 又abcd，所以emmcaoocabcd 2，s edm23sedc23121223. 因为ed平面abcd，bc? 平面abcd，所以debc. 因为abcd，abbc，所以bccd. 又eddcd，所以bc平面edc. 所以ve-bdmvb-edm13sedmbc1323129. 4如图 1，在直角梯形abcd中，adc90，cdab，adcd12ab 2，点e为ac中点将adc沿ac折起，使平面adc平面abc，得到几何体dabc