高考数学三轮冲刺专题16圆锥曲线中的综合问题专项讲解与训练

1、1 专题 16. 圆锥曲线中的综合问题“参数法”解决定点问题 核心提炼 证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点已知椭圆c：x2a2y2b2 1(ab0) ，四点p1(1，1) ，p2(0， 1) ，p3( 1，32) ，p4(1 ，32) 中恰有三点在椭圆c上(1) 求c的方 程；(2) 设直线l不经过p2点且与c相交于a，b两点若直线p2a与直线p2b的斜率的和为1，证明：l过定点(2) 直线l不过原点o且不平行于坐标轴，l与c有两个交点a，b，线段ab的中点为m. 证明：直线om的斜率与直线

2、l的斜率的乘积为定值【解析】(1) 由题意有a2b2a22，4a22b21，解得a28，b24. 所以c的方程为x28y241. 定值问题涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到【对点训练】已知点f是椭圆x21a2y21(a0) 的右焦点，m(m，0)、n(0 ，n)分别是x轴、y轴上的动点，且满足mnnf2 0. 若点p满足om2onpo. (1) 求点p的轨迹方程；(2) 设过点f作任一直线与点p的轨迹交于a、b两点，直线oa、ob与直线xa分别交于点s、t(o为坐标原点 ) ，证明fsft为定值所以fs2a，4a2y1，ft2a，4

3、a2y2，则fsft4a216a4y1y2. 由xtya，y24ax得y24aty4a20，所以y1y2 4a2，则fsft4a216a44a2 4a24a20. 因此，fsft是定值，且定值为0. “函数 ( 不等式 ) 法”解决取值 ( 范围 )问题 核心提炼 解析几何中的取值( 范围 )问题最基本的解法是函数法与不等式法有时需要使用双参数表达直线方程，解决方法：一是根据直线满足的条件，建立双参数之间的关系，把问题化为单参数问题；二是直接使用双参数表达问题，结合求解目标确定解题方案(2017高考浙江卷) 如图， 已知抛物线x2y， 点a12，14，b32，94， 抛物线上的点p(x，y)1

4、2x32.过点b作直线ap的垂线，垂足为q. (1) 求直线ap斜率的取值范围；(2) 求|pa| |pq| 的最大值【解析】(1) 设直线ap的斜率为k，kx214x12x12，因为12x0)，则其准线方程为xp2. 曲线e的方程可化为 (x3)2(y2)2 16，则有 3p24，解得p2，所以抛物线m的方程为y24x，f(1 ，0)设a(y204，y0) ，则oa(y204，y0) ，af(1y204，y0) ，所以oaafy204(1 y204) y20 4，解得y0 2，所以x01，所以点a的坐标为 (1，2) 或(1， 2) 5设o为坐标原点，动点m在圆c：x2y22 上，过m作x轴

5、的垂线，垂足为n，点p满足np22nm. 5 (1) 求点p的轨迹方程；(2) 过点d(1 ，0) 的直线l与圆c交于a、b两点ab的中垂线交直线x 3于点q.oaaq是否为定值，给予说明【解析】：(1) 设p(x，y) ，m(x1，y1) ，由mnx轴，由np22nm得(xx1，y) 22(0 ，y1) ，所以xx1，y12y.又x21y212. 所以x22y22，即x22y21. (2) 设a(m，n) ，q(3，t) 因为oqab，即aboq0，所以adoq0，所以 (m1，n) (3，t) 0. 即tn3m3. 又a在圆c：x2y22 上，所以m2n22. 所以oaaq(m，n) (3

6、m，tn) 3mm2tnn2(3mtn) (m2n2) 321. 所以oaaq1. 即oaaq为定值 1. 6已知抛物线c：y22x的焦点为f，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交c于a，b两点，交c的准线于p，q两点(1) 若f在线段ab上，r是pq的中点，证明arfq；(2) 若pqf的面积是abf的面积的两倍，求ab中点的轨迹方程【解析】： 由题知f12， 0 .设l1：ya，l2：yb， 则ab0， 且aa22，a，bb22，b，p12，a，q12，b，r12，ab2 . 6 记过a，b两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. (1) 证明：由于f在线段ab上，故 1ab0.

7、 设ar的斜率为k1，fq的斜率为k2，则k1ab1a2aba2ab1aaba bk2. 所以arfq. (2) 设l与x轴的交点为d(x1，0) ，则s abf12|ba|fd| 12|ba|x112| ，s pqf|ab|2. 由题设可得212|ba|x112| |ab|2，所以x10(舍去 ) ，x11. 设满足条件的ab的中点为e(x，y) 当ab与x轴不垂直时，由kabkde可得2abyx 1(x1)而ab2y，所以y2x1(x1)当ab与x轴垂直时，e与d重合此时e点坐标为 (1 ，0) ，满足方程y2x 1. 所以所求轨迹方程为y2x1. 7. 已知抛物线c的顶点为o(0 ，0)

8、 ，焦点为f(0，1) (1)求抛物线c的方程； (2)过点f作直线交抛物线c于a、b两点，若直线ao，bo分别交直线l：yx2 于m，n两点，求mn的最小值 . 【解析】：(1) 由题意可设抛物线c的方程为x22py(p0)，则p21，所以抛物线c的方程为x2 4y. (2) 易知直线ab的斜率存在设a(x1，y1)，b(x2，y2) ，直线ab的方程为ykx1. 由ykx1，x24y，消去y，整理得x24kx 40，所以x1x24k，x1x2 4. 7 从而 |x1x2| 4k21. 由yy1x1x，yx 2，解得点m的横坐标xm2x1x1y12x1x1x21484x1. 同理，点n的横坐

9、标xn84x2. 所以 |mn| 2|xmxn| 2|84x184x2| 82|x1x2x1x24（x1x2） 16| 82k21|4k3|. 令 4k3t，t0，则kt34. 当t0 时， |mn| 22 25t26t122. 当tb0)的离心率为22，点p(1 ，22) 在椭圆e上，直线l过椭圆的右焦点f且与椭圆相交于a，b两点(1) 求椭圆e的方程；(2) 在x轴上是否存在定点m，使得mamb为定值？若存在，求出定点m的坐标；若不存在，请说明理由【解析】：(1) 由题意，知ca22，1a212b21，又a2b2c2，解得a2，b1，故椭圆e的方程为x22y21. (2) 由直线ab过椭圆

10、的右焦点f(1 ，0) ，当直线ab不与x轴重合时，可设直线ab：xmy1，代入椭圆方程，并整理得(2m2)y22my10，设a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则y1y22m2m2，y1y212m2. 设m(t，0) ，若mamb(x1t)(x2t)y1y2(my11t)(my21t) y1y2(1 m2)y1y2m(1 t) (y18 y2) (1t)21m22m22m2（1t）2m2(1t)2（2t2 4t1）（t22）m22m2为定值，则 2t24t 12(t22) ，解得t54. 故存在定点m(54，0)，使得mamb为定值716，经检验，当直线ab与x轴重合时也成立，所以在x轴

11、上存在一个定点m(54，0) ，使得mamb为定值 能力提升 1(2019 郑州质量预测( 二) 已知动圆m恒过点 (0 ，1)，且与直线y 1 相切(1) 求圆心m的轨迹方程；(2) 动直线l过点p(0 ， 2) ，且与点m的轨迹交于a，b两点，点c与点b关于y轴对称，求证：直线ac恒过定点【解析】：(1) 由题意得，点m与点 (0 ，1)的距离始终等于点m到直线y 1 的距离，由抛物线的定义知圆心m的轨迹是以点(0，1) 为焦点，直线y 1 为准线的抛物线，则p21，p 2. 所以圆心m的轨迹方程为x24y. (2) 证明：设直线l：ykx2，a(x1，y1) ，b(x2，y2) ，则c(

12、 x2，y2) 联立得x24yykx2?x24kx8 0，所以x1x24kx1x28. kacy1y2x1x2x214x224x1x2x1x24，直线ac的方程为yy1x1x24(xx1) 即yy1x1x24(xx1) x1x24xx1（x1x2）4x214x1x24xx1x24，因为x1x28，9 所以yx1x24xx1x24x1x24x2，即直线ac恒过点 (0，2) 2(2018 东北四市联考) 已知椭圆c：x2a2y21(a1)，b1，b2分别是其上、下顶点，椭圆c的左焦点f1在以b1b2为直径的圆上(1) 求椭圆c的方程；(2) 过点f1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆c于a，b两点，线段ab的垂直平分线与x轴交于点n，点n的横坐标的取值范围是( 14，0) ，求线段ab的取值 范围【解析】：(1) 由题知bc1，所以ab2c22，所以椭圆的方程为x22y2 1. 设ab的中点为q，则q( 2k22k