高考数学三轮冲刺大题提分立体几何：动点与设未知量理

1、1 大题精做 8 立体几何：动点与设未知量如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 是边长为2 的菱形，60abc，pab为正三角形， 且侧面pab底面 abcd ，e为线段ab的中点，m在线段pd上（1）当m是线段pd的中点时，求证：pb 平面 acm ；（2）是否存在点m，使二面角 mecd 的大小为 60 ，若存在， 求出pmpd的值； 若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）存在13pmpd【解析】（1）证明：连接bd交 ac 于h点，连接mh，四边形abcd 是菱形，点h为bd的中点，又m为pd的中点，mhbp，又 bp平面 acm ，mh平面 acm ，pb平面 ac

2、m （2） abcd 是菱形，60abc，e是ab的中点， ceab ，又pe平面 abcd ，以e为原点，分别以eb， ec ，ep为x，y， z 轴，建立空间直角坐标系exyz，则0,0,0e，1,0,0b，0,0,3p，0, 3,0c，2,3,0d假设棱pd上存在点m，设点m坐标为, ,x y z ，01pmpd，则, ,32,3,3x y z，2 , 3 ,3 1m，2 2 ,3 ,3 1em，0,3,0ec，设平面 cem 的法向量为, ,x y zn，则233 1030emxyzecynn，解得023 1yxz令2z，则3 1x，得3 1,0,2npe平面 abcd ，平面abcd

3、 的法向量0,0,1m，22222cos,76343 1n mn mnm，二面角 mecd 的大小为 60 ，2212763，即23210 ，解得13，或1（舍去）在棱pd上存在点m，当13pmpd时，二面角mecd 的大小为 60 1如图所示，正四棱椎pabcd 中 ，底面 abcd 的边长为2，侧棱长为2 2 （1）若点e为pd上的点，且pb平面 eac ，试确定e点的位置；（2）在（ 1）的条件下，点f为线段pa上的一点且pfpa，若平面aec 和平面bdf所成的锐二面角的余弦值为114，求实数的值3 2如图，在四棱锥pabcd 中， abpc ， adbc， adcd ，且2222pc

4、bcadcd，2pa（1）证明：pa平面 abcd ；（2）在线段pd上，是否存在一点m，使得二面角macd 的大小为 60 ？如果存在，求pmpd的值；如果不存在，请说明理由4 3如图，在四棱锥pabcd 中，底面abcd 是平行四边形，135bcd，侧面pab底面 abcd ，90bap，2abacpa，e，f分别为 bc ，ad的中点，点m在线段pd上（1）求证：ef平面 pac ；（2）若m为pd的中点，求证：me平面pab；（3）如果直线me与平面 pbc 所成的角和直线me与平面 abcd 所在的角相等，求pmpd的值5 1 【答案】（1）e为pd中点； （2）15【解析】（1）设

5、bd交 ac 于点 o ，连结 oe ，pb 平面 aec ，平面aec平面 bdpoe ， pboe，又 o 为bd的中点，在bdp中，e为pd中点6 （2）连结 op ，由题意得po平面 abcd ，且 acbd ，以 o 为原点， oc 、 od 、 op 所成直线为x，y， z轴，建立空间直角坐标系，226oppdod，2,0,0a，0,2,0b，2,0,0c，0,2,0d，0,0,6p，则260,22e，2,0,0oc，262,22ce，0,2,0od，设平面 aec 的法向量, ,x y zm，则20262022ocxcexyzmm，令1z，得平面aec 的一个法向量0,3,1m，

6、设平面bdf的法向量, ,x y zn，由 pfpa，得2 ,0,66f，2 ,2,66df，2266020dfxyzodynn，令1z，得3 1,0,1n，平面 aec 和平面bdf所成的锐二面角的余弦值为114，211cos,1412131m nnmm n，解得152 【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】（1）在底面abcd 中， adbc， adcd ，且222 2bcadcd，2abac，22bc，abac，又 abpc ，acpcc， ac平面 pac ， pc平面 pac ，ab平面 pac ，又pa平 面 pac ，abpa，7 2paac，2 2pc， paac ，又pa

7、ab，abaca，ab平面 abcd ， ac平面 abcd ，pa平面 abcd （2）方法一：在线段ad上取点 n ，使2annd ，则 mnpa，又由（ 1）得pa平面abcd，mn平面abcd，又 ac平面 abcd ， mnac ，作 noac 于 o ，又mnnon， mn平面 mno ， no平面 mno ， ac平面 mno ，又 mo平面 mno ， acmo ，又 acno ，mon 是二面角 macd 的一个平面角，设pmxpd，则122mnx apx ，2222onanxadx ，这样，二面角macd 的大小为 60 ，即22tantan603mnxmononx，即42

8、 3pmxpd，满足要求的点m存在，且42 3pmpd方法二：取bc 的中点e，则ae、ad、ap三条直线两两垂直可以分别以直线ae、ad、ap为x、y、 z 轴建立空间直角坐标系，且由（ 1）知0,0,2ap是平面 acd 的一个法向量，设0,1pmxpd，则122mnx apx ，2anxadx ，0, 2 ,22amxx ，2,2,0ac，8 设, ,aqa b c 是平面 acm 的一个法向量，则2220220aq amxbx caq acab，222abxcbx，令22bx，则22,22,2aqxxx ，它背向二面角，又平面acd 的法向量0,0, 2ap，它指向二面角，这样，二面角

9、macd 的大小为 60 ，即222221coscos602222222,ap aqxap aqapaqxxx，即42 3x，满足要求的点m存在，且42 3pmpd3 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）332【解析】（1）证明：在平行四边形abcd中， abac ，135bcd，45abc， abac ，e，f分别为 bc ，ad的中点，efab， efac ，侧面pab底面 abcd ，且90bap，pa底面 abcd ，paef，又paaca，pa平面 pac ， ac平面 pac ，ef平面 pac （2）证明：m为pd的中点，f为ad的中点，mfpa，又 mf平面pab，pa平面pab，mf平面pab，同理，得ef平面pab，又mfeff，mf平面mef，ef平面mef，平面mef平面pab，又me平面mef，me平面pab（3）解：pa底面 abcd ， abac ，ap，ab， ac 两两垂直，故以ab， ac ，ap分别为x轴，y轴和 z轴建立如图空间直角坐标系，则0,0,0a，2,0,0b，0,2,0c，0,0,2p，2,2,0d，1,1,0e，2,0,2pb，2,2,2pd，2,2,0bc，9 设0,1pmpd，则2 ,2, 2pm，2 ,2,22m，12 ,12 ,22me，易得平面abcd 的法向量