高考数学二轮复习第一部分第二层级重点增分专题四三角函数的图象与性质讲义理(普通生,含解析

1、. .专心 . 重点增分专题四三角函数的图象与性质 全国卷 3 年考情分析 年份全国卷全国卷全国卷2018三 角 函 数 的 最 值 及 导数t16三 角 函 数 单 调 性 的 应用t10三角函数的零点问题t152017三角函数的图象变换t9三角函数的最值t14余 弦 函 数 的 图 象 与 性质t62016三角函数的图象变换与对称性t7三角函数的图象变换t14(1) 高考命题的热点主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题(2) 高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第

2、 6 12 或 1416 题位置上考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系保分考点练后讲评 大稳定 常规角度考双基 1. 三角函数的定义及应用在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角，的终边分别与单位圆交于点1213，513和 35，45，则 sin() ( ) a3665b.4865c313 d.3365解析：选 d 因为角，的终边分别与单位圆交于点1213，513和 35，45，所以 sin 513， cos 1213， sin 45， cos 35， 所以 sin() sin cos cos sin 513 351213453365. 2. 同角三角函数的关系式及应用 若 ta

3、n 12，则 sin4cos4的值为 ( ) . .专心 . a15 b 35c.15 d.35解析：选 b tan 12，sin4cos4(sin2cos2)(sin2cos2) sin2cos2sin2cos2sin2cos2tan21tan2135. 3. 诱导公式及应用 设函数f(x)(xr)满足f(x) f(x) sin x当 0 x0，当 26n49 时，an0；当 76n99 时，an0. 2. 与算法交汇 某一算法程序框图如图所示，则输出的s的值为 ( ) a.32 b 32c.3 d 0 解析： 选 a 由已知程序框图可知， 该程序的功能是计算ssin 3 sin 23sin

4、 33 sin2 0173的值因为 sin 332，sin 23 sin3sin 332，sin 33sin 0，sin 43sin3 sin 332，sin 53sin23 sin 332，sin 63sin 2 0，而 sin 73sin23sin 3，. .专心 . sin 83sin223sin 23，sin 93sin(2 ) sin ，所以函数值呈周期性变化，周期为6，且 sin 3sin 23sin 33sin 43sin 53sin 630. 而 2 017 6336 1，所以输出的s3360 sin 332. 故选 a. 3. 借助数学文化考查九章算术 是我国古代数学成就的杰

5、出代表作，其中方田章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12( 弦矢矢2) ，弧田 ( 如图 ) 由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差现有圆心角为23，半径等于4 m 的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( ) a6 m2 b 9 m2c12 m2 d 15 m2解析：选 b 如图，由题意可得aob23，oa 4，在 rtaod中，可得aod3，dao6，od12ao124 2，于是矢 422. 由adaosin 3432 23，可得弦长ab2ad223 43. 所以弧田面积12( 弦矢矢2) 12(432 22) 4329(m

6、2) 故选 b. 考点二三角函数的图象与解析式增分考点广度拓展题型一由“图”定“式” 例1(1) 已 知 函 数f(x) asin(x)(a0 ，0,00，0,0) 的图象与x轴的一个交点12，0 到其相邻的一条对称轴的距离为4，若f1232，则函数f(x) 在 0，2上的最小值为 ( ) a.12b3 c32 d 12 解析 (1) 由题图可知， 函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点2，2 ，最低点32， 2 ，所以函数的最大值为2，即a2. 由图象可得，x2，x32为相邻的两条对称轴，所以函数的周期t232 24，故24，解得12. 所以f(x) 2sin12x. 把点 2，2 代入可得

7、2sin12 2 2，即 sin41，所以42k2(kz)，解得2k34(kz)又 0，所以34. 所以f(x) 2sin12x34，故选 b. . .专心 . (2) 由题意得，函数f(x) 的最小正周期t442，解得2. 因为点12，0 在函数f(x) 的图象上，所以asin2120，解得k6，kz，由 00，0) 中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图(1) 最值定a，b：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为m，最小值为m，则mab，mab，解得bmm2，amm2. (2)t定：由周期的求解公式t2，可得2t. (3) 点坐标定：一般运用

8、代入法求解值，注意在确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”题型二三角函数的图象变换 例 2 (1)(2019届高三湘东五校联考) 将函数f(x) sinx6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，所得图象的一条对称轴的方程可能是( ) ax12 b x12. .专心 . cx3 d x23(2)(2018 郑州第一次质量测试) 若将函数f(x) 3sin(2x)(0) 图象上的每一个点都向左平移3个单位长度，得到g(x) 的图象，若函数g(x) 是奇函数，则函数g(x) 的单调递增区间为( ) a.k4，k34(kz) b.k4，k4

9、(kz) c.k23，k6(kz) d.k12，k512(kz) 解析 (1) 依题意知，将函数f(x) sinx6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得函数g(x) sin12x6的图象令12x62k，kz，得x2k23，kz，当k0 时，所得函数图象的一条对称轴的方程为x23，故选 d. (2) 由题意知g(x) 3sin2x33sin2x23，因为g(x) 是奇函数，所以23k(kz)，即23k(k z)，又 00，左移；0，上移；k0，下移伸缩变换由yf(x) 变为yf(x) 时， 点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|倍由yf(x) 变为yaf(x)时，点的横坐标不变，

10、纵坐标变为原来的|a| 倍考点三三角函数的性质增分考点讲练冲关 典例 (1)(2018 全国卷) 已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则 ( ) af(x) 的最小正周期为，最大值为3 bf(x) 的最小正周期为，最大值为4 cf(x) 的最小正周期为2，最大值为3 df(x) 的最小正周期为2，最大值为4 (2) 设函数f(x) cos(3x)( 0，所以 00) 的单调区间时，令xz，得yasin z( 或yacos z) ，然后由复合函数的单调性求得(2) 图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间2判断对称中心与对称轴的方法利用函数yasin(x) 的对称轴一定经过图象的最

11、高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0) 的值进行判断3求三角函数周期的常用结论(1)yasin(x) 和yacos(x) 的最小正周期为2|，ytan(x) 的最小正周期为|. (2) 正弦曲线、 余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期， 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期 多练强化 1若函数f(x) 3sin(2x) cos(2x)(0) 的图象关于2，0 中心对称，则函数f(x) 在 4，6上的最小值是( ) a 1 b 3 c12 d 32解析：选 b f(x) 2sin2x6，又图象

12、关于2，0 中心对称，所以 226k(kz)，. .专心 . 所以k76(kz)，又 00，|2的最小正周期为，且f3xf(x)，则 ( ) af(x) 在0，2上单调递减bf(x) 在6，23上单调递增cf(x) 在 0，2上单调递增df(x) 在6，23上单调递减解析： 选 d 因为f(x) sin(x) 3cos(x) 2sinx3的最小正周期为，所以2，所以2. 因为f3xf(x) ，所以直线x6是f(x) 图象的一条对称轴，所以2632k，kz，所以6k，kz，因为|0) 的最小正周期为.(1) 求函数f(x)的单调递增区间；(2) 将函数f(x) 的图象向左平移6个单位长度，再向上

13、平移1 个单位长度，得到函数yg(x) 的图象，若yg(x) 在0 ，b(b0) 上至少含有10 个零点，求b的最小值 解 (1)f(x)2sin xcos x3(2sin2x 1) sin 2x3cos 2x2sin2x3. 由最小正周期为，得1，所以f(x) 2sin2x3，. .专心 . 由 2k22x32k2，kz，得k12xk512，kz，所以函数f(x) 的单调递增区间是k12，k512，k z. (2) 将函数f(x) 的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到y2sin 2x1的图象，所以g(x) 2sin 2x1. 令g(x) 0，得xk712或xk1112(k z)，

14、所以在 0 ， 上恰好有两个零点，若yg(x) 在0 ，b 上有 10 个零点，则b不小于第10 个零点的横坐标即可所以b的最小值为411125912. 解题方略 解决三角函数图象与性质综合问题的思路(1) 先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yasin(x) b( 一角一函数 ) 的形式；(2) 把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yasin(x) b的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题 多练强化 (2017山东高考) 设函数f(x) sinx6 sinx2，其中03. 已知f60. (1) 求；(2) 将函数yf(x) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2 倍( 纵坐标不变

15、 ) ，再将得到的图象向左平移4个单位，得到函数yg(x) 的图象，求g(x) 在 4，34上的最小值解： (1) 因为f(x) sinx6sinx2，. .专心 . 所以f(x) 32sin x12cos xcos x32sin x32cos x312sin x32cos x3sinx3. 因为f60，所以63k，kz. 故6k 2，kz. 又 00，|2的图象如图所示，为了得到g(x) cosx3的图象，则只需将f(x)的图象 ( ) a向左平移4个单位长度b向右平移4个单位长度c向左平移12个单位长度. .专心 . d向右平移12个单位长度 解析 根据函数f(x) sin(x) 的部分图

16、象知，t471234，t，即2，解得2. 根据“五点作图法”并结合|0，22的部分图象如图所示，则的值为 ( ) a3 b.3c6 d.6. .专心 . 解析：选 b 由题意，得t2362，所以t，由t2，得2，由图可知a1，所以f(x) sin(2x) 又f3 sin230，22，所以3. 3(2019 届高三西安八校联考) 已知函数f(x) cos(x)(0) 在x3时取得最小值，则f(x) 在0 ， 上的单调递增区间是( ) a.3， b.3，23c. 0，23 d.23，解析：选 a 因为 0，所以330)在区间4，23上单调递增，则的取值范围为 ( ) a. 0，83 b.0，12c

17、.12，83 d.38，2解析：选 b 法一：因为x 4，23，所以x6 46，236，因为函数f(x) sinx6(0)在区间4，23上单调递增，所以462k2，kz，2362k2，k z，. .专心 . 即 8k83，kz，3k12，kz.又0，所以 012，选 b. 法二：取 1，f4sin46 sin 120，f3sin36sin 21，f23 sin236sin 5612，不满足题意，排除a、c、d，选 b. 二、填空题7 (2018 惠 州 调 研 ) 已 知tan 12， 且，32， 则cos2_. 解析：法一：cos2sin ，由 ，32知为第三象限角，联立tan sin co

18、s 12，sin2cos21，得 5sin21，故 sin 55. 法二： cos2sin ，由 ，32知为第三象限角，由tan 12，可知点 ( 2， 1) 为终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin 55. 答案：558已知函数f(x) sin(x) |0 的图象在y轴右侧的第一个最高点为p6，1 ，在原点右侧与x轴的第一个交点为q512，0 ，则f2的值为 _解析：由题意得t451264，所以t，所以2，将点p6， 1 代入f(x) sin(2x) ，得 sin261，所以62k(k z). .专心 . 又|6，若f(x) 的值域是1，32，则m的最大值是 _解析：由x6，m，可知5

19、63x33m3，f6 cos 5632，且f29cos 1，要使f(x) 的值域是1，32，需要 3m376，即29m518，即m的最大值是518. 答案：518三、解答题10(2018石家庄模拟) 函数f(x) asinx61(a0，0)的最小值为1，其图象相邻两个最高点之间的距离为.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 设 0，2，f22，求的值解： (1) 函数f(x) 的最小值为1，a 1 1，即a2. 函数f(x) 的图象的相邻两个最高点之间的距离为，函数f(x) 的最小正周期t，2，故函数f(x) 的解析式为. .专心 . f(x) 2sin2x61. (2) f22sin612，sin612. 02，660)，函数f(x) mn3，直线xx1，xx2是函数yf(x) 的图象的任意两条对称轴，且|x1x2|的最小值为2. (1) 求的值；(2) 求函数f(x)的单调递增区间解： (1) 因为向量m(2sin x，sin x) ，n(cos x， 23sin x)(0)，所以函数f(x) mn32sin xcos xsin x( 23sin x) 3sin 2x23sin2x3 sin 2x3cos 2x2sin2x3. 因为直线xx1，xx2是函数yf(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1x2| 的最小值为2，所以函数f(x) 的最小正周