高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.8立体几何中的向量方法——求空间角和距离

1、. .专心 . 8.8立体几何中的向量方法(二)求空间角距离最新考纲考情考向分析1. 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2. 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 . 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解 .题型以解答题为主，要求有较强的数学运算素养，广泛应用函数与方程思想、转化与化归思想 . 1. 两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围0，20 ，求法cos|ab|a|b|cosab|a|b|2. 斜

2、线和平面所成的角(1) 斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角( 或斜线和平面的夹角). (2) 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 3. 二面角(1) 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2) 在二面角l的棱上任取一点o， 在两半平面内分别作射线oal，obl， 则aob叫做二面角l的平面角 . 4. 空间向量与空间角的关系(1) 设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2， 则l1与l2所成的角满足 cos|cosm1，m2|. . .专心 . (2) 设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与平

3、面所成角满足sin|cos m，n|. (3) 求二面角的大小1如图，ab、cd是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小ab，cd. 2如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足 coscosn1，n2或 cosn1，n2. 概念方法微思考1. 利用空间向量如何求线段长度？提示利用 |ab|2abab可以求空间中有向线段的长度. 2. 如何求空间点面之间的距离？提示点面距离的求法：已知ab为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点b到平面的距离为|bo| |ab|cos ab，n|. 题组一思考辨析1. 判断下列结论是否正确( 请在括号中打“”或“”)

4、(1) 两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( ) (2) 直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3) 两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( ) (4) 两异面直线夹角的范围是0，2，直线与平面所成角的范围是0，2，二面角的范围是 0 ，.( ) (5) 若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是 .( ) . .专心 . 题组二教材改编2. 已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) a.45b.135c.45或 135d.90答案c 解析cosm，nm n|m|n

5、|11222，即m，n45.两平面所成二面角为45或 18045135.3. 如图，正三棱柱( 底面是正三角形的直棱柱)abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为22，则ac1与侧面abb1a1所成的角为 _. 答案6解析如图，以a为原点，以ab，ae(aeab) ，aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴( 如图 ) 建立空间直角坐标系，设d为a1b1的中点，则a(0,0,0)，c1(1 ，3，22) ，d(1,0,22) ，ac1(1 ，3，22) ，ad(1,0,22). c1ad为ac1与平面abb1a1所成的角，cosc1adac1ad|ac1|ad|1，3，22 1， 0，221293

6、2，又c1ad 0，2，. .专心 . c1ad6. 题组三易错自纠4. 在直三棱柱abca1b1c1中，bca90，m，n分别是a1b1，a1c1的中点，bccacc1，则bm与an所成角的余弦值为( ) a.110b.25c.3010d.22答案c 解析以点c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设bccacc12，则可得a(2,0,0)，b(0,2,0)，m(1,1,2)，n(1 ，0,2) ，bm(1，1,2) ，an( 1,0,2). cosbm，anbman|bm|an|1 1 1 02212 1222 12022236530

7、10. 5. 已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n12，则l与所成的角为 _. 答案30解析设l与所成角为，cosm，n12，sin|cos m，n| 12，090，30.题型一求异面直线所成的角. .专心 . 例 1 如图，四边形abcd为菱形，abc120，e，f是平面abcd同一侧的两点，be平面abcd，df平面abcd，be 2df，aeec. (1) 证明：平面aec平面afc；(2) 求直线ae与直线cf所成角的余弦值. (1) 证明如图所示，连接bd，设bdacg，连接eg，fg，ef. 在菱形abcd中，不妨设gb1. 由abc120，可得agg

8、c3. 由be平面abcd，abbc2，可知aeec. 又aeec，所以eg3，且egac. 在 rtebg中，可得be2，故df22. 在 rtfdg中，可得fg62. 在直角梯形bdfe中，由bd2，be2，df22，可得ef322，从而eg2fg2ef2，所以egfg. 又acfgg，ac，fg? 平面afc，所以eg平面afc. 因为eg? 平面aec，所以平面aec平面afc. (2) 解如图，以g为坐标原点，分别以gb，gc所在直线为x轴、y轴， |gb| 为单位长度，建立空间直角坐标系gxyz，由(1) 可得a(0，3，0) ，. .专心 . e(1,0 ，2) ，f 1，0，2

9、2，c(0 ，3， 0) ，所以ae (1 ，3，2) ，cf 1，3，22. 故 cosae，cfaecf|ae|cf|33. 所以直线ae与直线cf所成角的余弦值为33. 思维升华用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1) 选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2) 确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3) 利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4) 两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值. 跟踪训练1 三棱柱abca1b1c1中，abc为等边三角形，aa1平面abc，aa1ab，n，m分别是a1b1，a1c1的中点，则am与bn所成角的余弦值为

10、( ) a.110b.35c.710d.45答案c 解析如图所示，取ac的中点d，以d为原点，bd，dc，dm所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设ac2，则a(0 ， 1,0) ，m(0,0,2)，b( 3，0,0) ，n32，12，2 ，所以am (0,1,2)，bn32，12，2 ，所以 cosam，bnambn|am| |bn|7255710，故选 c. 题型二求直线与平面所成的角例 2 (2018全国 ) 如图，四边形abcd为正方形，e，f分别为ad，bc的中点，以df为折. .专心 . 痕把dfc折起，使点c到达点p的位置，且pfbf. (1) 证明：平面pe

11、f平面abfd；(2) 求dp与平面abfd所成角的正弦值. (1) 证明由已知可得bfpf，bfef，pfeff，pf，ef? 平面pef，所以bf平面pef. 又bf? 平面abfd，所以平面pef平面abfd. (2) 解如图，作phef，垂足为h. 由(1) 得，ph平面abfd. 以h为坐标原点，hf的方向为y轴正方向， |bf| 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系hxyz. 由(1) 可得，depe. 又dp2，de1，所以pe3. 又pf1，ef2，所以pepf. 所以ph32，eh32. 则h(0,0,0)，p0，0，32，d1，32， 0 ，dp 1，32，32，hp 0

12、，0，32. 又hp为平面abfd的法向量，设dp与平面abfd所成的角为，则 sin|cos hp，dp| |hpdp|hp|dp|34334. . .专心 . 所以dp与平面abfd所成角的正弦值为34. 思维升华若直线l与平面的夹角为， 直线l的方向向量l与平面的法向量n的夹角为，则2或2，故有 sin|cos| |ln|l|n|. 跟踪训练2 (2018全国 ) 如图，在三棱锥pabc中，abbc 22，papbpcac4，o为ac的中点 . (1) 证明：po平面abc；(2) 若点m在棱bc上，且二面角mpac为 30，求pc与平面pam所成角的正弦值. (1) 证明因为papca

13、c4，o为ac的中点，所以opac，且op23. 如图，连接ob. 因为abbc22ac，所以abc为等腰直角三角形，所以obac，ob12ac2. 由op2ob2pb2知poob. 因为opob，opac，obaco，ob，ac? 平面abc，所以po平面abc. (2) 解由(1) 知op，ob，oc两两垂直，则以o为坐标原点，分别以ob，oc，op所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系oxyz，如图所示 . . .专心 . 由已知得o(0,0,0)，b(2,0,0)，a(0 ， 2,0) ，c(0,2,0)，p(0,0,23) ，ap (0,2,23). 由(1) 知平面pac的

14、一个法向量为ob(2,0,0). 设m(a,2 a,0)(0 a2)，则am (a,4 a,0). 设平面pam的法向量为n (x，y，z). 由apn0，amn0，得2y23z0，ax 4a y0，可取y3a，得平面pam的一个法向量为n(3(a4) ，3a，a) ，所以 cosob，nobn|ob|n|23a423a423a2a2. 由已知可得 |cos ob，n| cos3032，所以23|a4|23a 423a2a232，解得a 4( 舍去 ) 或a43. 所以n 833，433，43. 又pc(0,2 ， 23) ，所以 cospc，n34. 所以pc与平面pam所成角的正弦值为34

15、. 题型三求二面角例 3 (2018锦州模拟)如图，在梯形abcd中，abcd，addccb2，abc60，平面acef平面abcd，四边形acef是菱形，caf60. .专心 . (1) 求证：bfae；(2) 求二面角befd的平面角的正切值. (1) 证明依题意，在等腰梯形abcd中，ac23，ab 4，bc2，ac2bc2ab2，即bcac，又平面acef平面abcd，平面acef平面abcdac，bc? 平面abcd，bc平面acef，而ae? 平面acef，aebc，连接cf，四边形acef为菱形，aefc，又bccfc，bc，cf? 平面bcf，ae平面bcf，bf? 平面bcf

16、，bfae. (2) 解取ef的中点m，连接mc，四边形acef是菱形，且caf60，由平面几何易知mcac，又平面acef平面abcd，平面acef平面abcdac，cm? 平面acef，mc平面abcd. 以ca，cb，cm所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为c(0,0,0)，a(23，0,0) ，b(0 ，2,0) ，d(3， 1,0) ，e( 3，0,3) ，f(3，0,3) ，设平面bef和平面def的一个法向量分别为n1(a1，b1，c1) ，n2(a2，b2，c2) ，bf(3， 2,3) ，ef (23，0,0) ，bfn10，efn10，即3a1 2

17、b13c10，23a10，即a10，2b1 3c1，. .专心 . 不妨令b13，则n1(0,3,2)，同理可求得n2(0,3 ， 1)，设二面角befd的大小为，由图易知为锐角，cos|cos n1，n2| |n1n2|n1| |n2|7130，故二面角befd的平面角的正切值为97. 思维升华利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量；利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解. 跟踪训练3 (2018全国 ) 如图， 边长为 2 的正方形abcd所在的平面与半圆弧cd所在平面垂直，m是cd上异于c，d的点 . (1)

18、 证明：平面amd平面bmc；(2) 当三棱锥mabc体积最大时，求平面mab与平面mcd所成二面角的正弦值. (1) 证明由题设知，平面cmd平面abcd，交线为cd. 因为bccd，bc? 平面abcd，所以bc平面cmd，又dm? 平面cmd，故bcdm. 因为m为cd上异于c，d的点，且dc为直径，所以dmcm. 又bccmc，bc，cm? 平面bmc，所以dm平面bmc. 又dm? 平面amd，故平面amd平面bmc. (2) 解以d为坐标原点，da的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz. 当三棱锥mabc体积最大时，m为cd的中点 . 由题设得d(0,0,0)，a

19、(2,0,0)，b(2,2,0)，c(0,2,0)，m(0,1,1)，am( 2,1,1)，ab(0,2,0)，da(2,0,0)，. .专心 . 设n(x，y，z) 是平面mab的法向量，则nam0，nab0，即 2xyz0，2y0.可取n(1,0,2)，da是平面mcd的一个法向量，因此cosn，danda|n|da|55，sin n，da255. 所以平面mab与平面mcd所成二面角的正弦值是255. 利用空间向量求空间角例(12 分) 如图，四棱锥sabcd中，abd为正三角形，bcd120，cbcdcs2，bsd90.(1) 求证：ac平面sbd；(2) 若scbd，求二面角asbc

20、的余弦值 . (1) 证明设acbdo，连接so，如图，因为abad，cbcd，所以ac是bd的垂直平分线，即o为bd的中点，且acbd.1分 在bcd中，因为cbcd2，bcd120，所以bd23，co1. 在 rtsbd中，因为bsd90，o为bd的中点，. .专心 . 所以so12bd3. 在soc中，因为co 1，so3，cs2，所以so2co2cs2，所以soac.4分 因为bdsoo，bd，so? 平面sbd，所以ac平面sbd.5分 (2) 解方法一过点o作oksb于点k，连接ak，ck，如图，由(1) 知ac平面sbd，所以aosb. 因为okaoo，ok，ao? 平面aok，

21、所以sb平面aok.6分 因为ak? 平面aok，所以aksb. 同理可证cksb.7分 所以akc是二面角asbc的平面角 . 因为scbd，由(1) 知acbd，且acscc，ac，sc? 平面sac，所以bd平面sac. 而so? 平面sac，所以sobd. 在 rtsob中，oksoobsb62. 在 rtaok中，akao2ok2422，同理可求ck102.10分 在akc中，cosakcak2ck2ac22akck10535. 所以二面角asbc的余弦值为10535.12分 方法二因为scbd，由 (1) 知，acbd，且acscc，ac，sc? 平面sac，所以bd平面sac.

22、而so? 平面sac，. .专心 . 所以sobd.6分 由(1) 知，ac平面sbd，so? 平面sbd，所以soac. 因为acbdo，ac，bd? 平面abcd，所以so平面abcd.7分 以o为原点，oa，ob，os的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则a(3,0,0)，b(0 ，3，0) ，c( 1,0,0)，s(0,0 ，3). 所以ab ( 3，3，0) ，cb(1 ，3，0)，sb(0，3，3).8分 设平面sab的法向量n(x1，y1，z1) ，则abn 3x13y10，sbn3y13z10，令y13，得平面sab的一个法向量为n(1，3，3). 同

23、理可得平面scb的一个法向量为m( 3， 1,1).10分 所以 cosn，mnm|n|m|3337510535. 因为二面角asbc是钝角，所以二面角asbc的余弦值为10535.12 分 利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量( 直线的方向向量、平面的法向量) 坐标；第三步：计算向量的夹角( 或函数值 ) ，并转化为所求角. . .专心 . 1. 已知两平面的法向量分别为m (1， 1,0) ，n(0,1 ， 1) ，则两平面所成的二面角为( ) a.60b.120c.60或120d.90答案c 解析cosm，nm n|m|n|12212，即m，n1

24、20.两平面所成二面角为120或 18012060.2. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abca1b1c1，cacc1 2cb，则直线bc1与直线ab1所成角的余弦值为( ) a.55b.53c.56d.54答案a 解析设ca2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)，可得向量ab1( 2,2,1)，bc1 (0,2 ， 1) ，由向量的夹角公式得cos ab1，bc1ab1bc1|ab1|bc1|0414 410411555，故选 a. 3. 在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的

25、锐二面角的余弦值为 ( ) a.12b.23c.33d.22答案b 解析以a为原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz，设棱长为1，. .专心 . 则a1(0,0,1)，e1，0，12，d(0,1,0)，a1d(0,1 ， 1) ，a1e 1，0，12. 设平面a1ed的一个法向量为n1(1 ，y，z) ，则有a1dn1 0，a1en1 0，即yz0，112z 0，y2，z2，n1(1,2,2). 平面abcd的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n223123，即所成的锐二面角的余弦值为23. 4. 在正方体abcda1b1c1d1

26、中，ac与b1d所成角的大小为( ) a.6b.4c.3d.2答案d 解析以a为坐标原点，ab，ad，aa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，b1(1,0,1)，d(0,1,0). ac(1,1,0)，b1d( 1,1 ， 1)，acb1d1( 1) 110( 1) 0，acb1d，ac与b1d所成的角为2. 5.(2018 包头模拟) 已知正三棱柱abca1b1c1，abaa12，则异面直线ab1与ca1所成角的余弦值为 ( ) a.0b. 14c.14d.12答案c . .专心 . 解析以a为原点，在平面

27、abc内过a作ac的垂线为x轴，以ac所在直线为y轴，以aa1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b1(3，1,2) ，a1(0,0,2)，c(0,2,0)，ab1 (3，1,2) ，a1c(0,2 ， 2) ，设异面直线ab1和a1c所成的角为，则 cos|ab1a1c|ab1| |a1c| 2|8814. 异面直线ab1和a1c所成的角的余弦值为14. 6. 如图， 点a，b，c分别在空间直角坐标系oxyz的三条坐标轴上，oc (0,0,2)，平面abc的法向量为n(2 ，1,2) ，设二面角cabo的大小为，则 cos等于 ( ) a.43b.53c.23d.23答案

28、c 解析由题意可知，平面abo的一个法向量为oc(0,0 ，2) ，由图可知，二面角cabo为锐角，由空间向量的结论可知，cos|ocn|oc|n|4|2323. 7. 在三棱锥pabc中，pa平面abc，bac90，d，e，f分别是棱ab，bc，cp的中点，abac 1，pa 2，则直线pa与平面def所成角的正弦值为_. 答案55解析以a为原点，ab，ac，ap所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，. .专心 . 由abac1，pa2，得a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，p(0,0,2)，d12，0，0 ，e12，12， 0 ，f0，12，1 .

29、pa(0,0 ， 2) ，de 0，12， 0 ，df 12，12，1 . 设平面def的法向量为n (x，y，z) ，则由nde0，ndf0，得y0，xy2z 0.取z1，则n(2,0,1)，设直线pa与平面def所成的角为，则 sin|cos n，pa|pan|pa|n|55，直线pa与平面def所成角的正弦值为55. 8. 如图，在正方形abcd中，efab，若沿ef将正方形折成一个二面角后，aeedad112，则af与ce所成角的余弦值为_. 答案45解析aeedad112，aeed，即ae，de，ef两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，. .专心 . 设abefcd2，则e(

30、0,0,0)，a(1,0,0)，f(0,2,0)，c(0,2,1)，af( 1,2,0)，ec(0,2,1)，cosaf，ecafec|af|ec|45，af与ce所成角的余弦值为45. 9. 如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90，点e，f分别是棱ab，bb1的中点，则直线ef和bc1所成的角是 _. 答案60解析以b点为坐标原点， 以bc所在直线为x轴，ba所在直线为y轴，bb1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系. 设abbcaa1 2，则c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，则ef(0 ， 1,1) ，bc1(2,0,2)，

31、efbc12，cosef，bc1efbc1|ef|bc1|222212，异面直线所成角的范围是(0，90 ，. .专心 . ef和bc1所成的角为60.10.(2019 福州质检) 已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上，且b1e 2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的锐二面角的正切值为_. 答案23解析方法一延长fe，cb相交于点g，连接ag，如图所示 . 设正方体的棱长为3，则gbbc3，作bhag于点h，连接eh，则ehb为所求锐二面角的平面角 . bh322，eb1，tan ehbebbh23. 方法二如图，以点d为坐标原点，da，dc，dd

32、1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系dxyz，设da1，由已知条件得a(1,0,0)，e1， 1，13，f0，1，23，ae 0，1，13，af 1，1，23，设平面aef的法向量为n (x，y，z) ，. .专心 . 由nae0，naf0，得y13z0，xy23z0.令y1，z 3，x 1，则n( 1,1 ， 3) ，取平面abc的法向量为m (0,0 ， 1) ，设平面aef与平面abc所成的锐二面角为，则 cos|cos n，m| 31111，tan23. 11.(2018 鄂尔多斯联考) 如图， 在几何体abca1b1c1中， 平面a1acc1底面abc， 四边形a1a

33、cc1是正方形，b1c1bc，q是a1b的中点，且acbc 2b1c1，acb23. (1) 证明：b1qa1c；(2) 求直线ac与平面a1bb1所成角的正弦值. (1) 证明如图所示，连接ac1与a1c交于m点，连接mq. 四边形a1acc1是正方形，m是ac1的中点，又q是a1b的中点，mqbc，mq12bc，又b1c1bc且bc2b1c1，mqb1c1，mqb1c1，四边形b1c1mq是平行四边形，b1qc1m，c1ma1c，b1qa1c. (2) 解平面a1acc1平面abc，平面a1acc1平面abcac，cc1ac，cc1? 平面a1acc1，cc1平面abc. 如图所示，以c为

34、原点，cb，cc1所在直线分别为y轴和z轴建立空间直角坐标系，. .专心 . 令acbc2b1c12，则c(0,0,0)，a(3， 1,0) ，a1(3， 1,2) ，b(0,2,0)，b1(0 ，1,2) ，ca(3， 1,0) ，b1a1 (3， 2,0) ，b1b (0,1 ， 2)，设平面a1bb1的法向量为n(x，y，z) ，则由nb1a1 ，nb1b，可得3x2y0，y2z0，可令y23，则x4，z3，平面a1bb1的一个法向量n(4,23，3)，设直线ac与平面a1bb1所成的角为，则 sin|nca|n| |ca|232319331. 12.(2019 盘锦模拟) 如图，在四棱

35、锥pabcd中，侧面pad底面abcd，底面abcd为直角梯形，其中abcd，cda90，cd2ab2，ad3，pa5，pd22，点e在棱ad上且ae1，点f为棱pd的中点 . (1) 证明：平面bef平面pec；(2) 求二面角abfc的余弦值 . (1) 证明在 rtabe中，由abae1，得aeb45，同理在 rtcde中，由cdde2，得dec45，所以bec90，即beec. 在pad中，. .专心 . cospadpa2ad2pd22paad59823555，在pae中，pe2pa2ae22paaecospae51251554，所以pe2ae2pa2，即pead. 又平面pad平面

36、abcd，平面pad平面abcdad，pe? 平面pad，所以pe平面abcd，所以pebe. 又因为cepee，ce，pe? 平面pec，所以be平面pec，所以平面bef平面pec. (2) 解由(1) 知eb，ec，ep两两垂直，故以e为坐标原点，以射线eb，ec，ep分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则b(2， 0,0) ，c(0,22， 0) ，p(0,0,2)，a22，22，0 ，d( 2， 2， 0)，f22，22，1 ，ab22，22，0 ，bf 322，22，1 ，bc( 2，22，0)，设平面abf的法向量为m (x1，y1，z1) ，则mab22

37、x122y10，mbf322x122y1z10，不妨设x11，则m(1 ， 1,22) ，设平面bfc的法向量为n (x2，y2，z2) ，则nbc2x222y20，nbf322x222y2z20，不妨设y22，则n(4,2,52) ，记二面角abfc为( 由图知应为钝角) ，则 cos|mn|m| |n|4 220|107011735，. .专心 . 故二面角abfc的余弦值为11735. 13. 如图，在四棱锥sabcd中，sa平面abcd，底面abcd为直角梯形，adbc，bad90，且ab4，sa3.e，f分别为线段bc，sb上的一点 (端点除外 ) ，满足sfbfcebe，当实数的值

38、为 _时，afe为直角 . 答案916解析因为sa平面abcd，bad90，以a为坐标原点，ad，ab，as所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系axyz. ab4，sa 3，b(0,4,0)，s(0,0,3). 设bcm，则c(m,4,0)，sfbfcebe，sffb. afas(abaf). af11(asab) 11(0,4，3) ，f0，41，31. 同理可得em1，4，0 ，. .专心 . fem1，41，31. fa 0，41，31，要使afe为直角，即fafe0，则 0m1414131310，16 9，解得916. 14.(2018 满洲里模拟)如图， 已知

39、直三棱柱abca1b1c1中，aa1abac1，abac，m，n，q分别是cc1，bc，ac的中点，点p在直线a1b1上运动，且a1pa1b1 (0,1).(1) 证明：无论取何值，总有am平面pnq；(2) 是否存在点p，使得平面pmn与平面abc的夹角为60？若存在， 试确定点p的位置， 若不存在，请说明理由. (1) 证明连接a1q. aa1ac1，m，q分别是cc1，ac的中点，rtaa1qrtcam，macqa1a，macaqa1qa1aaqa190，ama1q. n，q分别是bc，ac的中点，nqab. 又abac，nqac. 在直三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，nqaa1. 又acaa1a，ac，aa1? 平面acc1a1，. .专心 . nq平面acc1a1，nqam.