高考数学大一轮复习平面向量与复数5.4平面向量的综合应用教案文(含解析)新人教A版-新人教A

1、. .专心 . 5.4平面向量的综合应用最新考纲考情考向分析1. 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2. 会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题. 1向量在平面几何中的应用(1) 用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、 点共线等问题平行向量基本定理ab?ab?x1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b (x2，y2) ，b0垂直问题数量积的运算性质ab?ab0?x1x2y1y20

2、，其中a(x1，y1) ，b (x2，y2) ，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosab|a|b|(为向量a，b的夹角 ) ，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a| a2x2y2，其中a(x，y) ，a为非零向量(2) 用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题设向量向量问题 运算解决向量问题 还原解决几何问题2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量的坐标问题， 进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的. .专心 . 主体3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数 ( 三角函数

3、 )、解析几何结合， 常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题概念方法微思考1根据你对向量知识的理解，你认为可以利用向量方法解决哪些几何问题？提示(1) 线段的长度问题(2) 直线或线段平行问题(3) 直线或线段垂直问题(4) 角的问题等2如何用向量解决平面几何问题？提示用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题然后通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题， 最后把运算结果“翻译”成几何关系题组一思考辨析1判断下列结论是否正确( 请在括号中打“”或“”)(1) 若abac，则a，b，c三点共线 ( ) (2) 在abc中，若abbc0，n0

4、，则由abac2abad，得(n,0)(m2，m) 2(n,0)(m，m) ，所以n(m2) 2nm，化简得m2. 故adac(m，m) (m2，m) 2m2 2m12. (2) 在abc中，ab2ac6，babcba2，点p是abc所在平面内一点，则当pa2pb2pc2取得最小值时，apbc_. 答案9 解析babcba2，babcba2ba(bcba) baac0，baac，即baac. 以点a为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则b(6,0) ，c(0,3) ，设p(x，y) ，pa2pb2pc2x2y2(x 6)2y2x2(y3)23x212x3y2 6y45 3(x2)2(y1)21

5、0 当x 2，y1 时，pa2pb2pc2有最小值，此时apbc(2,1) ( 6,3) 9. 思维升华向量与平面几何综合问题的解法. .专心 . (1) 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示(2) 基向量法适当选取一组基底， 沟通向量之间的联系， 利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练1(1) 已知abc外接圆的圆心为o，ab23，ac22，a为钝角，m是bc边的中点，则amao等于 ( ) a3 b 4 c5 d 6 答案c 解析m是bc边的中点，am12(abac) ，o是abc的外接圆的圆心，aoab|ao| |ab|cos bao12|ab

6、|212(23)26. 同理可得aoac12|ac|212(22)24. amao12(abac) ao12abao12acao12(6 4) 5. (2)(2018 乌海模拟) 在abc中，bc边上的中线ad的长为 2，点p是abc所在平面上的任意一点，则papbpapc的最小值为 ( ) a1b2c 2d 1 答案c 解析建立如图所示的平面直角坐标系，使得点d在原点处，点a在y轴上，则a(0,2) . .专心 . 设点p的坐标为 (x，y) ，则pa()x，2y，po(x，y) ，故papbpapcpa()pbpc2papo2()x2y22y2x2()y122 2，当且仅当x0，y1 时等

7、号成立所以papbpapc的最小值为 2. 题型二向量在解析几何中的应用例 2(1) 已知正三角形abc的边长为23，平面abc内的动点p，m满足 |ap| 1，pmmc，则|bm|2的最大值是 ( ) a.434b.494c.37634d.372334答案b 解析如图，由 |ap| 1 知点p的轨迹是以a为圆心，以1 为半径的圆由pmmc知，点m为pc的中点，取ac的中点n，连接mn，则|mn| 12|ap| 12，. .专心 . 所以点m的轨迹是以n为圆心，以12为半径的圆因为 |bn| 3，所以 |bm| 的最大值为31272，|bm|2的最大值为494. 故选 b. (2) 在平面直角

8、坐标系xoy中，a( 12,0) ，b(0 ，6)，点p在圆o：x2y250 上，若papb20，则点p的横坐标的取值范围是_答案 52，1 解析方法一因为点p在圆o：x2y250 上，所以设p点坐标为 (x，50 x2)( 52x52) 因为a( 12,0) ，b(0,6) ，所以pa( 12x，50 x2) 或pa( 12x，50 x2) ，pb ( x,650 x2) 或pb( x,650 x2) 因为papb20，先取p(x，50 x2)进行计算，所以 ( 12x) ( x) ( 50 x2)(6 50 x2) 20，即 2x550 x2. 当 2x50，即x0)，a，b两点关于x轴对

9、称若圆c上存在点m，使得ambm0，则当m取得最大值时，点m的坐标是 ( ) a.32，322b.322，32c.32，332d.332，32答案c 解析由题意得圆的方程为(x1)2(y3)21，b(0 ，m)，设m(x，y) ，由于ambm0，. .专心 . 所以 (x，ym) (x，ym) 0，所以x2y2m20，所以m2x2y2，由于x2y2表示圆c上的点到原点距离的平方，所以连接oc，并延长和圆c相交，交点即为m，此时m2最大，m也最大|om| 123，mox60，所以xm3sin30 32，ym3sin60 323. 故选 c. 题型三向量的其他应用命题点 1 向量在不等式中的应用例

10、 3 已知o是坐标原点，点a( 1,2) ，若点m(x，y) 为平面区域xy2，x1，y2上的一个动点，则oaom的取值范围是( ) a 1,0 b 0,1 c1,3 d 1,4 答案d 解析作出点m(x，y) 满足的平面区域如图阴影部分所示( 含边界 ) ，设zoaom，因为a( 1,2) ，m(x，y) ，所以zoaomx2y，即y12x12z. 平移直线y12x，由图象可知，. .专心 . 当直线y12x12z经过点c(0,2) 时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y12x12z经过点b时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故 1z4，即 1oaom4.命题点 2 向量在解三角形

11、中的应用例 4(2019赤峰模拟) 在abc中，若 |ac| 23，且abcoscbccosaacsinb. (1) 求角b的大小；(2) 求abc的面积解(1) 因为acabbc，所以abcoscbccosaacsinb(abbc) sinb，即(coscsinb)ab(cosasinb)bc0. 而向量ab，bc是两个不共线的向量，所以cosc sinb，cosa sinb，所以 cosc cosa，因为a，c(0，) ，所以ac. 在等腰abc中，abc，所以 2ab，a2b2. 所以 cosacos2b2sinb2sinb，所以 sinb22sinb2cosb2，因为 sinb20，所

12、以cosb212. 综合 0b20，即|a|24|a| |b| cos0，即 cos0) 的焦点f的直线l与抛物线在第一象限的交点为a，与抛物线的准线的交点为b，点a在抛物线的准线上的射影为c，若affb，babc48，则抛物线的方程为 ( ) ay28xby2 4xcy216xdy2 42x答案b 解析如图所示，由affb，得f为线段ab的中点，. .专心 . |af| |ac| ，abc30，由babc48，得 |bc| 43. 则|ac| 4，由中位线的性质，有p12|ac| 2，故抛物线的方程为y24x. 故选 b. 6(2019辽阳测试) 在梯形abcd中，abcd，cd1，abbc

13、2，bcd120，动点p和q分别在线段bc和cd上，且bpbc，dq18dc，则apbq的最大值为 ( ) a 2 b32c.34d.98答案d 解析因为abcd，cd1，abbc2，bcd120，所以abcd是直角梯形，且cm3，bcm30，以ab所在直线为x轴，以ad所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为bpbc，dq18dc，动点p和q分别在线段bc和cd上，则18，1 ，b(2,0)，p(2 ，3) ，q18，3 ，所以apbq(2 ，3) 18 2，3514418. 令f() 514418且18，1 ，. .专心 . 由对勾函数性质可知，当1 时可取得最大值，则f()ma

14、xf(1) 51441898. 7在菱形abcd中，若ac4，则caab_. 答案8 解析设cab，abbca，由余弦定理得a2 16a28acos，acos2，caab4acos( ) 4acos 8. 8已知 |a| 2|b| ，|b| 0，且关于x的方程x2 |a|xab0 有两相等实根，则向量a与b的夹角是 _答案23解析由已知可得|a|24ab0，即 4|b|242|b|2cos0，cos12. 又0 ， ，23. 9. 如图，a是半径为5的圆c上的一个定点，单位向量ab在a点处与圆c相切，点p是圆c上的一个动点，且点p与点a不重合，则apab的取值范围是 _答案 5,5 解析如图所

15、示，以ab所在直线为x轴，ac所在直线为y轴，建立平面直角坐标系设点p(x，y) ，b(1,0) ，a(0,0) ，则ab(1,0) ，ap(x，y) ，所以apab(x，y) (1,0) x. 因为点p在圆x2 (y5)225 上，. .专心 . 所以 5x5，即 5apab5.10已知抛物线c：x24y的焦点为f，m是抛物线c上一点，若fm的延长线交x轴的正半轴于点n，交抛物线c的准线l于点t，且fmmn，则 |nt| _. 答案3 解析画出图形如图所示由题意得抛物线的焦点f(0,1) ，准线为y 1. 设抛物线的准线与y轴的交点为e，过m作准线的垂线，垂足为q，交x轴于点p. 由题意得n

16、pmnof，又fmmn，即m为fn的中点，|mp| 12|of| 12，|op| 4122，|mq| 12132，|on| 2|op| 22，|mf| |mn| 32. 又|tm|tf|tn| |fm|tn| 2|fm|mq|fe|，即|tn| 32|tn| 332234，解得 |tn| 3. 11已知四边形abcd为平行四边形，点a的坐标为 ( 1,2) ，点c在第二象限，ab(2,2) ，且ab与ac的夹角为4，abac2. (1) 求点d的坐标；(2) 当m为何值时，acmab与bc垂直解(1) 设c(x，y) ，d(a，b) ，则ac (x1，y2)ab与ac的夹角为4，abac2，.

17、 .专心 . abac|ab|ac|22222x12y 2222，化为 (x1)2(y2)21. 又abac2(x1) 2(y2) 2，化为xy2. 联立解得x 1，y3或x0，y2.又点c在第二象限，c( 1,3) 又cdba，(a 1，b3) ( 2， 2)，解得a 3，b1. d( 3,1) (2) 由(1) 可知ac (0,1) ，acmab(2m,2m1)，bcacab( 2， 1) acmab与bc垂直，(acmab) bc 4m (2m1) 0，解得m16. 12已知a，b，c是abc的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m(3，cosa1) ，n(sina， 1) ，mn. (

18、1) 求角a的大小；(2) 若a2，cosb33，求b的值解(1) mn，mn3sina(cosa1)( 1) 0，3sinacosa1，sina612. 0a，6a656，a66，a3. . .专心 . (2) 在abc中，a3，a2，cosb33，sinb1 cos2b11363. 由正弦定理知asinabsinb，basinbsina26332423，b423. 13(2018包头模拟) 已知bc是圆o的直径，h是圆o的弦ab上一动点，bc10，ab 8，则hbhc的最小值为 ( ) a 4 b 25 c 9 d 16 答案d 解析以bc所在的直线为x轴，线段bc的垂直平分线为y轴，建立

19、平面直角坐标系，设点h(x，y) ，则b( 5,0) ，c(5,0)，所以hb( 5x，y) ，hc(5 x，y) ，则hbhc( 5x，y) (5x，y) x2y225，又因为ab8，且h为弦ab上一动点，所以 9x2y225，其中当取ab的中点时取得最小值，所以hbhc925 16，故选 d. 14如图所示，半圆的直径ab 6，o为圆心，c为半圆上不同于a，b的任意一点，若p为. .专心 . 半径oc上的动点，则 (papb) pc的最小值为 _答案92解析圆心o是直径ab的中点，papb2po，(papb) pc2popc，|po| |pc| 32|po| |pc| ，|po| |pc| 94，即(papb) pc 2popc 2|po