高考数学常用公式及常用结论

1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系uxaxc a,uxc axa. 2. 德摩根公式();()uuuuuucabc ac b cabc ac b. 3集合12,na aa的子集个数共有2n个；真子集有2n1 个；非空子集有2n1 个；非空的真子集有2n 2 个 . 4. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式2( )(0)f xaxbxc a; (2) 顶点式2( )()(0)f xa xhk a; (3) 零点式12( )()()(0)f xa xxxxa. 5. 方程0)(xf在),(21kk上有且只有一个实根, 与0)()(21kfkf不等价 ,前者是后者的一个必要而不是

2、充分条件. 特别地 , 方程)0(02acbxax有且只有一个实根在),(21kk内, 等价于0)()(21kfkf, 或0)(1kf且22211kkabk, 或0)(2kf且22122kabkk. 6. 闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2acbxaxxf在闭区间qp,上的最值只能在abx2处及区间的两端点处取得，具体如下： （可画图解决问题）(1) 当 a0 时，若qpabx,2，则minmaxmax( )(),( )(),( )2bf xff xfpf qa；qpabx,2，maxmax( )(),( )f xf pf q，minmin( )( ),( )f xf pf q. (

3、2) 当 a0) )()(axfxf，则)(xf的周期 t=a；16. 分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nn，且1n） . (2)1mnmnaa（0,am nn，且1n）. 17根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 18有理指数幂的运算性质(1) (0, ,)rsrsaaaar sq. (2) ()(0, ,)rsrsaaar sq. (3)()(0,0,)rrraba babrq. 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 19. 指数式与对数式

4、的互化式logbanban (0,1,0)aan.20. 对数的换底公式logloglogmamnna (0a, 且1a,0m, 且1m,0n). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0n). 21对数的四则运算法则若 a0，a1， m 0，n0，则(1)log ()loglogaaamnmn; (2) logloglogaaammnn; (3)loglog()naamnm nr. 22. 数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 23. 等差数列的通项公式*11(1)()naan

5、ddnad nn；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 24. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnnq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 25. 同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan=cossin，27. 正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。28. 和角与差角公式sin()sincoscossin; cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. sincosab=22sin()ab( 辅助角所

6、在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ). 29. 二倍角公式sin2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 22tantan21tan. 30. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xr及函数cos()yx，x r(a, ,为常数，且a 0， 0) 的周期2t；函数tan()yx，,2xkkz(a, ,为常数，且a0，0) 的周期t. 31. 正弦定理2sinsinsinabcrabc. 32. 余弦定理2222cosabcbca;2222cosbcacab;2222coscababc. 33. 面积定理（1）111222abcsahbhch（ab

7、chhh、分别表示a、b、 c 边上的高） . （2）111sinsinsin222sabcbcacab. 34. 三角形内角和定理在 abc中，有()abccabsinc=sin(a+b),cosc=-cos(a+b),tanc=-tan(a+b) 35. 实数与向量的积的运算律设、 为实数，那么(1) 结合律： ( a)=( )a; (2) 第一分配律：( +) a=a+a; (3) 第二分配律：(a+b)= a+b. 36. 向量的数量积的运算律：(1) ab= b a （交换律） ; (2) （a） b= （ ab）=a b= a （b） ; (3) （a+b） c= a c + bc

8、. 37. 平面向量基本定理如果 e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底38向量平行的坐标表示设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，且 b0，则 ab(b0)12210 x yx y. 39. a与 b 的数量积 ( 或内积 ) ab=|a|b|cos 40. ab 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积41. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 a+

9、b=1212(,)xxyy. (2) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 a-b=1212(,)xxyy. (3)设 a11(,)x y，b22(,)xy, 则2121(,)aboboaxx yy. (4) 设 a=( ,),x yr，则a=(,)xy. (5) 设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，则 ab=1212()x xy y. 42. 两向量的夹角公式121222221122cosx xy yxyxy(a=11(,)xy,b=22(,)xy). 43. 平面两点间的距离公式,a bd=|abab ab222121()()xxyy(a11(,)xy，b22(,)xy)

10、. 44. 向量的平行与垂直设 a=11(,)xy,b=22(,)xy，且 b0，则a|bb= a 12210 x yx y. ab(a0)ab=012120 x xy y. 45. 三角形的重心坐标公式abc三个顶点的坐标分别为11a(x ,y )、22b(x ,y)、33c(x ,y), 则 abc的重心的坐标是123123(,)33xxxyyyg. 46. 三角形四“心”向量形式的充要条件设o为abc所在平面上一点，角,a b c所对边长分别为, ,a b c，则（1）o为abc的外心222oaoboc. （2）o为abc的重心0oaoboc. （3）o为abc的垂心oa obob oc

11、oc oa. （4）o为abc的内心0aoabobcoc. 47. 常用不等式：（1）,a br222abab( 当且仅当ab 时取“ =”号) （2）,a br2abab( 当且仅当ab 时取“ =”号)（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）bababa. 48. 均值定理已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；（2）若和yx是定值s，则当yx时积xy有最大值241s. 49. 一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac，如果a与2axbxc同号，则其解集在两根之外；如果a与2axbxc异号，则其解集在两根之间. 简言之

12、：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()xxxxxxxxx；121212,()()0()xxxxxxxxxx或. 50. 含有绝对值的不等式当 a 0 时，有22xaxaaxa. 22xaxaxa或xa. 51. 指数不等式与对数不等式(1) 当1a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x. (2) 当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x; ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x52.

13、斜率公式2121yykxx（111(,)p xy、222(,)p xy）. 53. 直线的五种方程（1）点斜式11()yyk xx ( 直线l过点111(,)p xy，且斜率为k) （2）斜截式ykxb(b 为直线l在 y 轴上的截距 ). （3）两点式112121yyxxyyxx(12yy)(111(,)p xy、222(,)pxy (12xx). (4) 截距式1xyab(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、) （5）一般式0axbyc( 其中 a、 b不同时为0). 54. 两条直线的平行和垂直(1) 若111:lyk xb，222:lyk xb121212|,llkkbb; 1212

14、1llk k. (2) 若1111:0la xb yc,2222:0la xb yc, 且 a1、 a2、 b1、 b2都不为零 , 11112222|abcllabc；1212120lla ab b；55四种常用直线系方程 (1) 定点直线系方程：经过定点000(,)p xy的直线系方程为00()yyk xx( 除直线0 xx), 其中k是待定的系数; 经过定点000(,)p xy的直线系方程为00()()0a xxb yy, 其中,a b是待定的系数(2) 共点直线系方程： 经过两直线1111:0la xb yc,2222:0la xb yc的交点的直线系方程为111222()()0a x

15、b yca xb yc( 除2l) ，其中 是待定的系数(3) 平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0axbyc平行的直线系方程是0axby(0) ，是参变量(4) 垂直直线系方程： 与直线0axbyc (a 0， b0) 垂直的直线系方程是0bxay,是参变量56. 点到直线的距离0022|axbycdab( 点00(,)p xy,直线l：0axbyc). 57. 0axbyc或0所表示的平面区域设直线:0laxbyc，则0axbyc或0所表示的平面区域是：若0b，当b与axbyc同号时，表示直线l的上方的区域；当b与axbyc异号时，表示直线

16、l的下方的区域 . 简言之 , 同号在上 ,异号在下 . 若0b，当a与axbyc同号时，表示直线l的右方的区域；当a与axbyc异号时，表示直线l的左方的区域 . 简言之 , 同号在右 , 异号在左 . 58. 111222()()0a xb yca xb yc或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0ca xb yca xb yc（12120a a b b） ，则111222()()0a xb yca xb yc或0所表示的平面区域是：111222()()0a xb yca xb yc所表示的平面区域上下两部分；111222()()0a xb yca xb yc所表示的平面区域上下

17、两部分. 59. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()xaybr. （2）圆的一般方程220 xydxeyf(224def0). 60. 点与圆的位置关系点00(,)p xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点p在圆外 ;dr点p在圆上 ;dr点p在圆内 . 61. 直线与圆的位置关系直线0cbyax与圆222)()(rbyax的位置关系有三种: 0相离rd; 0相切rd; 0相交rd. 其中22bacbbaad. 62. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为o1， o2，半径分别为r1，r2，doo21条公切线外离421rrd; 条公切

18、线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 63. 椭圆的标准方程及简单的几何性质64椭圆的的内外部（1）点00(,)p xy在椭圆22221(0)xyabab的内部2200221xyab. （2）点00(,)p xy在椭圆22221(0)xyabab的外部2200221xyab. 65. 双曲线的内外部(1) 点00(,)p xy在双曲线22221(0,0)xyabab的内部2200221xyab. (2) 点00(,)p xy在双曲线22221(0,0)xyabab的外部2200221xyab. 66. 双曲线的方程与渐

19、近线方程的关系(1 ）若双曲线方程为12222byax渐近线方程：22220 xyabxaby. (2)若渐近线方程为xaby0byax双曲线可设为2222byax. (3)若双曲线与12222byax有公共渐近线，可设为2222byax（0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上） . 67. 抛物线pxy22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02pcfx. 过焦点弦长pxxpxpxcd212122. 68. 抛物线pxy22上的动点可设为p),2(2ypy或或)2,2(2ptptp p(,)xy，其中22ypx. 69. 抛物线的内外部(1) 点00(,)p xy在抛物线22(0)y

20、px p的内部22(0)ypx p. 点00(,)p xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (2) 点00(,)p xy在抛物线22(0)ypx p的内部22(0)ypx p. 点00(,)p xy在抛物线22(0)ypx p的外部22(0)ypx p. (3) 点00(,)p xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)p xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy p. (4) 点00(,)p xy在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p. 点00(,)p xy在抛物线22(0)xpy p的外部22(0)xpy

21、 p. 70. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()abxxyy或ab=212212111yykxxk（弦端点a),(),(2211yxbyx，由方程0)y,x(fbkxy消去 y 得到02cbxax，0,为直线ab的倾斜角，k为直线的斜率）. 71证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 72证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 73证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无

22、公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 74证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 75证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 76. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1) 加法交换律

23、：ab=ba(2) 加法结合律：(ab) c=a(b c) (3) 数乘分配律：(ab)= ab77. 共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b0 ) ，ab存在实数 使 a=bpab、 、三点共线|apabaptab(1)opt oatob. |abcdab、cd共线且abcd、不共线abtcd且abcd、不共线 . 78. 球的半径是r，则其体积343vr, 其表面积24sr79柱体、锥体的体积13vsh柱体（s是柱体的底面积、h是柱体的高）. 13vsh锥体（s是锥体的底面积、h是锥体的高）. 80. 互斥事件a， b分别发生的概率的和p(ab)=p(a) p(b) 81.n个互斥事件

24、分别发生的概率的和p(a1 a2 an)=p(a1) p(a2) p(an) 82. 独立事件a， b同时发生的概率p(ab)= p(a) p(b). 83.n 个独立事件同时发生的概率 p(a1 a2 an)=p(a1) p(a2) p(an) 84. 回归直线方程yabx，其中1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx. 85. 相关系数r |r|1，且 |r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 86. 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxp处的切线

25、的斜率)(0 xf， 相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 87. 几种常见函数的导数(1) 0c（c为常数） . (2) 1()()nnxnxnq. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5) xx1)(ln；eaxxalog1)(log. (6) xxee )(; aaaxxln)(. 88. 导数的运算法则（1）()uvuv. （2）()uvu vuv. （3）2()(0)uu vuvvvv. 89. 判别)(0 xf是极大（小）值的方法当函数)(xf在点0 x处连续时，（1）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2

26、）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值 . 90. 复数的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dr）91. 复数zabi的模（或绝对值）|z=|abi=22ab. 92. 复数的四则运算法则 (1)()()()()abicdiacbd i; (2)()()()()abicdiacbd i; (3)()()()()abicdiacbdbcad i; (4)2222()()(0)acbdbcadabicdii cdicdcd. 集合与函数知识点公式定理记忆口诀内容子交并补集， 还有幂指对函数。 性质奇偶与增减， 观察图象最明显。复合函数式出现

27、，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数， 1 两边增减变故。函数定义域好求，分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，yx 是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。高考概率与统计9 个考点解析概率与统计试题是高考的必考内容。它是以实际应用问题为载体，以排列组合和

28、概率统计等知识为工具， 以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。下面对其常见题型和考点进行解析。考点 1 考查等可能事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件a 包含的结果有m 个，那么 p（a）= nm。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。例 1（2004 天津）从4 名男生和2 名女生中任选3 人参加演讲比赛. (i) 求所选 3 人都是男生的概率；(

29、ii) 求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率；(iii) 求所选 3 人中至少有1 名女生的概率 . 考点 2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件a、b 叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为a+b，用概率的加法公式)()()(bpapbap计算。事件 a（或 b）是否发生对事件b（或 a）发生的概率没有影响，则a 、 b叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为ba。用概率的法公式bpapbap计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。例 2.（ 2005 全国卷）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相

30、互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为 0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，（）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率. 考点 3 考查对立事件概率计算必有一个发生的两个互斥事件a、b 叫做互为对立事件。即ab或ba。用概率的减法公式_1apap计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。例 3 （2005 福建卷文） 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为5221与. （）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（）

31、甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率. 考点 4 考查独立重复试验概率计算若在n次重复试验中， 每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。若在1 次试验中事件a 发生的概率为p，则在n次独立惩处试验中，事件a 恰好发生k次的概率为knkknnppckp1。高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。例 4 （2005 湖北卷） 某会议室用5 盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1 年以上的概率为

32、p1，寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满1 年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换. （）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2 只灯泡的概率；（）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（）当p1=0.8，p2=0.3 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4 只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）. 考点 5 考查随机变量概率分布与期望计算解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。以此考查离

33、散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。例 5 （2005 湖北卷） 某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4 次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率. 考点 6 考查随机变量概率分布列与其他知识点结合1 考查随机变量概率分布列与函数结合例 6.（2005 湖南卷） 某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点，一位客人游览这三个景

34、点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. （）求 的分布及数学期望；（）记“函数f(x)x23x1 在区间 2，)上单调递增”为事件a，求事件a 的概率 . 2、考查随机变量概率分布列与数列结合例 7 甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。已知甲乙两人射击一次击中的概率均为87，且第一次由甲开始射击。（1）求前 4 次射击中，甲恰好射击3 次的概率。（2）若第n次由甲射击的概率为na，求数列na的通项公式

35、；求nnalim，并说明极限值的实际意义。3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合例 8（2005 辽宁卷）某工厂生产甲、 乙两种产品， 每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有a、b 两个等级 .对每种产品，两道工序的加工结果都为a 级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为a 级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、 乙产品为一等品的概率p甲、p乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、 分别表示一件甲、乙产品的利润，在（i）的条件下，求、 的分布列及e、e ；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如

36、表三所示 .该工厂有工人40 名，可用资金60万 元 .设 x、y 分别表示生产甲、 乙产品的数量， 在（ii）的条大值件下， x、y 为何值时，yexez最大？最是多少？（解答时须给出图示）考点 7 考查随机变量概率分布列性质应用设离散型随机变量的分布列为1x2xixp1p2pip它有下面性质：),2, 1(0 ipi,121ippp即总概率为1；期望;11iipxpxe方差iipexpexd2121)()(离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查. 例 9 (2004 年湖北高考题 )设随机变量的

37、概率分布为,5)(kakpa为常数 ,k=1,2,则 a= 例 10(2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100 分,回答不正确得100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响. 求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望. 求这名同学总得分不为负分(即)0)的概率 . 例 11 (2002 年天津高考题 ) 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5 年的平均单位面积产量如下（单位： t/hm2） ：其中产量比较稳定的小麦品种是_. 考点 8 样本抽样识别与计算简单随机抽样,系统抽样 ,分层抽样

38、得共同特点是不放回抽样,且各个体被抽取得概率相等,均为(n 为总体个体数,n 为样本容量 ).系统抽样 ,分层抽样的实质分别是等距抽样与按比例抽样,只需按照定义 ,适用范围和抽样步骤进行,就可得到符合条件的样本.高考常结合应用问题,考查构照抽样模型,0.30.14.34.44.5 4.64.74.8 4.95.0 5.1 5.2视力频率组距识别图形 ,搜集数据 ,处理材料等研究性学习的能力. 例 12 （2005 年湖北湖北高考题）某初级中学有学生270 人，其中一年级108 人，二、三年级各 81 人，现要利用抽样方法抽取10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案

39、， 使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、 二、三年级依次统一编号为1，2，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2， 270，并将整个编号依次分为10 段.如果抽得号码有下列四种情况： 7，34， 61，88，115，142，169，196， 223，250； 5，9，100，107，111， 121，180，195，200，265； 11，38，65，92，119， 146，173，200，227，254； 30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）a、都不能为系统抽样b、都不能为分层抽样c、都可能为系统抽样

40、d、都可能为分层抽样例 13 (2005 年湖南高考题)一工厂生产了某种产品16800 件，它们来自甲乙丙3 条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲乙丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了_件产品 . 考点 9 考查直方图。例 14.（2005 江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4 组的频数成等比数列，后 6 组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为b，则 a, b 的值分别为（）a0,27,78

41、b0,27,83 c2.7,78 d2.7,83 例 1（2004 天津）本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分 12 分. (i)解：所选 3 人都是男生的概率为34361.5cc(ii) 解：所选3 人中恰有1 名女生的概率为1224363.5c cc(iii) 解：所选3 人中至少有1 名女生的概率为12212424364.5c cc cc2.（2005 全国卷） 解： （） 记甲、 乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件a、b、c，1 分则 a、b、 c 相互独立，由题意得：p（ab ）=p（a）p（b）=0.05 p（ac ）=p（a）p（c）=0.1 p（

42、bc） =p（b）p（c）=0.1254 分解得： p（a）=0.2； p（b）=0.25；p（c）=0.5 所以 , 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5 6 分（） a、b、 c 相互独立，a b c、相互独立，7 分甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为()()( )()0.80.750.50.3p a b cp a p b p c10 分这个小时内至少有一台需要照顾的概率为1()10.30.7pp a b c 12 分例 3 （2005 福建卷文） 解： （）依题意，记“甲投一次命中”为事件a， “乙投一次命中”为事件 b，则.53)

43、(,21)(,52)(,21)(bpapbpap甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.21（）事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为1 0 0953532121p甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率.10091100911pp答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.10091“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为baba.2152215321)()()(bapbapbabap例 4 （2005 湖北卷） 解： （i）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为,51p需要更换2只灯泡的概率为;)1 (213125ppc（ ii）

44、对该盏灯来说，在第1、2 次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2)，故所求的概率为);1 ()1(2121pppp（ iii ）至少换4 只灯泡包括换5只和换 4 只两种情况，换5 只的概率为p5（其中 p 为（ ii）中所求，下同）换4 只的概率为415pc（1-p） ，故至少换4 只灯泡的概率为.34.042.34.04.06.056 .06 .07 .08.02.0,3.0,8.0).1 (45322141553只灯泡的概率为年至少需要换即满时又当ppppppcpp例 5 （2005 湖北卷） 解：的取值分别为1，2，3，4.

45、 1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故p（1） =0.6. 2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故.28.07.0)6.01()2(p=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故.096.08 .0)7 .01()6.01()3(p=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故.024. 0)8.01()7 .01()6.01()4(p李明实际参加考试次数的分布列为1 2 3 4 p 0.6 0.28 0.096 0.024 的期望 e=10.6+2 0.28+3 0.096+4 0.024=1.544. 李明在一年内领到驾照的概率为1(10.6)(10.7)(1-0.

46、8)(1 0.9)=0.9976. 例 6.（ 2005 湖南卷） 解： （i）分别记“客人游览甲景点”， “客人游览乙景点” ， “客人游览丙景点”为事件 a1，a2，a3. 由已知 a1，a2，a3相互独立， p（a1）=0.4，p（a2）=0.5，p（a3） =0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 3，2， 1，0，所以的可能取值为1，3. p（=3）=p（a1a2a3）+ p（321aaa）= p（a1）p（ a2）p（a3）+p（)()()321apapa）=2 0.4 0.5 0.6=0.24，p（=1）=10.24=0.

47、76. 所以的分布列为e=1 0.76+3 0.24=1.48. （）解法一因为,491)23()(22xxf所以函数),2313)(2在区间xxxf上单调递增，要使), 2)(在xf上单调递增，当且仅当.34,223即从而.76.0)1()34()(ppap解法二：的可能取值为1，3. 当=1 时，函数), 213)(2在区间xxxf上单调递增，当=3 时，函数),219)(2在区间xxxf上不单调递增.0 所以.76.0)1()(pap例 7 解：记 a 为甲射击， b 为乙射击，则1）前 4 次射击中甲恰好射击3 次可列举为aaab ，aaba ，abaa 其概率为p=512638781818181878187872