高考数学大一轮复习高考专题突破三高考中的数列问题教

1、高考专题突破三高考中的数列问题教师用书理 新人教版1(2017 广州质检 ) 数列 an是公差不为0 的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列 bn 中连续的三项，则数列bn的公比为 ( ) a.2 b4 c2 d.12答案c 解析设数列 an 的公差为d(d0)，由a23a1a7，得 (a12d)2a1(a16d) ，解得a1 2d，故数列 bn的公比qa3a1a12da12a1a12. 2已知等差数列 an 的前n项和为sn，a5 5，s515，则数列1anan1的前 100 项和为 ( ) a.100101b.99101c.99100d.101100答案a 解析设等差数列 an的首项为a

2、1，公差为d. a55，s515，a14d5，5a15512d 15，a11，d1，ana1(n 1)dn. 1anan11nn11n1n1，数列1anan1的前 100 项和为11212131100110111101100101. 3等比数列 an 的前n项和为sn，已知s1,2s2,3s3成等差数列，则等比数列an的公比为_答案13解析设等比数列 an的公比为q(q0)，由 4s2s13s3，得 4(a1a1q) a13(a1a1qa1q2) ，即 3q2q0，又q0，q13. 4(2015课标全国 ) 设sn是数列 an 的前n项和，且a1 1，an 1snsn 1，则sn_. 答案1n

3、解析由题意，得s1a1 1， 又由an 1snsn1， 得sn1snsnsn1， 因为sn0， 所以sn1snsnsn11，即1sn11sn 1，故数列1sn是以1s1 1 为首项， 1 为公差的等差数列，所以1sn 1(n1) n，所以sn1n. 5已知数列 an的前n项和为sn，对任意nn*都有sn23an13，若 1sk9 (kn*) ，则k的值为 _答案4 解析由题意，sn23an13，当n2时，sn123an113，两式相减，得an23an23an1，an 2an1，又a1 1，an是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，an ( 2)n1，sk2k13，由 1sk9，得 4(2

4、)k0，n n*. (1) 若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an 的通项公式；(2) 设双曲线x2y2a2n1 的离心率为en，且e22，求e21e22e2n. 解(1) 由已知，sn1qsn1，得sn 2qsn11，两式相减得an2qan1，n1.又由s2qs11 得a2qa1，故an1qan对所有n1 都成立 所以， 数列 an是首项为1，公比为q的等比数列从而anqn1. 由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，故q2. 所以an 2n1(nn*) (2) 由(1) 可知，anqn1，所以双曲线x2y2a2n1 的离心率en1a2n1q2n1.

5、由e21q22，解得q3，所以e21e22e2n(1 1) (1 q2) 1 q2(n1) n1 q2q2(n 1) nq2n1q21n12(3n1) 思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1) 分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差( 公比 )等，确定解题的顺序(2) 注意细节： 在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的已知首项为32的等比数列 an 不是递减数列， 其前n项和为sn(

6、nn*) ，且s3a3，s5a5，s4a4成等差数列(1) 求数列 an的通项公式；(2) 设tnsn1sn(nn*) ，求数列 tn的最大项的值与最小项的值解(1) 设等比数列 an 的公比为q，因为s3a3，s5a5，s4a4成等差数列，所以s5a5s3a3s4a4s5a5，即 4a5a3，于是q2a5a314. 又an不是递减数列且a132，所以q12. 故等比数列 an的通项公式为an32 12n1( 1)n 132n. (2) 由(1) ，得sn1 12n112n，n为奇数，112n，n为偶数 .当n为奇数时，sn随n的增大而减小，所以 1sns132，故 0sn1sns11s132

7、2356. 当n为偶数时，sn随n的增大而增大，所以34s2snsn1sns21s23443712. 综上，对于nn*，总有712sn1sn56. 所以数列 tn 的最大项的值为56，最小项的值为712. 题型二数列的通项与求和例 2 已知数列 an 的前n项和为sn，在数列 bn 中，b1a1，bnanan 1(n2)，且ansnn. (1) 设cnan1，求证： cn是等比数列；(2) 求数列 bn的通项公式(1) 证明ansnn，an1sn1n1. ，得an1anan11，2an1an1，2(an1 1) an1，an11an112，an1是等比数列首项c1a11，又a1a11. a11

8、2，c112，公比q12. 又cnan1，cn是以12为首项，12为公比的等比数列(2) 解由(1) 可知cn ( 12) (12)n1 (12)n，ancn11(12)n. 当n2 时，bnanan11(12)n1 (12)n1 (12)n 1(12)n(12)n. 又b1a112，代入上式也符合，bn (12)n. 思维升华(1) 一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息 (2) 根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法， 裂项求和法等已知数列 an的前n项和为sn，且a112，an 1n12nan. (1) 证明：数列 ann 是

9、等比数列；(2) 求数列 an的通项公式与前n项和sn. (1) 证明a112，an1n12nan，当nn*时，ann0.又a1112，an1n 1ann12(nn*) 为常数，ann是以12为首项，12为公比的等比数列(2) 解由ann是以12为首项，12为公比的等比数列，得ann12(12)n1，ann(12)n. sn1122(12)23(12)3n(12)n，12sn1(12)22(12)3 (n1)(12)nn(12)n1，12sn12(12)2(12)3 (12)nn(12)n11212n1112n(12)n1，sn2(12)n1n(12)n2(n2)(12)n. 综上，ann(1

10、2)n，sn2(n2)(12)n. 题型三数列与其他知识的交汇命题点 1 数列与函数的交汇例 3 已知二次函数f(x) ax2bx的图象过点 ( 4n,0) ，且f(0) 2n，n n*，数列 an满足1an 1f1an，且a14. (1) 求数列 an的通项公式；(2) 记bnanan1，求数列 bn的前n项和tn. 解(1)f(x) 2axb，由题意知b2n，16n2a4nb 0，a12，则f(x) 12x2 2nx，nn*. 数列 an满足1an1f1an，又f(x) x2n，1an11an2n，1an11an 2n，由叠加法可得1an14246 2(n1)n2n，化简可得an42n12

11、(n2)，当n1 时，a14 也符合，an42n 12(nn*) (2) bnanan142n12n1212n 112n1，tnb1b2bna1a2a2a3anan12113131512n112n12 112n14n2n 1. 命题点 2 数列与不等式的交汇例 4 设各项均为正数的数列an的前n项和为sn， 且sn满足s2n(n2n3)sn3(n2n) 0，nn*. (1) 求a1的值；(2) 求数列 an的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n，有1a1a111a2a211anan113. (1) 解令n1 代入得a12( 负值舍去 ) (2) 解由s2n (n2n3)sn3(n2n) 0，

12、nn*，得sn(n2n)(sn3) 0. 又已知数列 an各项均为正数，故snn2n. 当n2时，ansnsn 1n2n(n1)2(n1) 2n，当n1 时，a12 也满足上式，an2n，nn*. (3) 证明kn*,4k22k(3k23k) k2kk(k1)0，4k22k3k23k，1akak112k2k114k22k13k23k13(1k1k1) 1a1a111a2a211anan113(111212131n1n1) 13(1 1n1)13. 不等式成立命题点 3 数列应用题例 5 (2016长沙模拟) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其

13、投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1) 用d表示a1，a2，并写出an 1与an的关系式；(2) 若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000 万元，试确定企业每年上缴资金d的值 ( 用m表示 )解(1) 由题意，得a12 000(1 50%)d3 000 d，a2a1(1 50%)d32a1d4 500 52d，an1an(1 50%)d32and. (2) 由(1) ，得an32an1d32(32an2d) d(32

14、)2an232dd(32)n 1a1d1 32(32)2 (32)n2 整理，得an(32)n1(3 000 d) 2d(32)n1 1 (32)n 1(3 000 3d) 2d. 由题意，得am4 000 ，即(32)m 1(3 000 3d) 2d4 000. 解得d32m2 1 00032m11 0003m 2m 13m 2m. 故该企业每年上缴资金d的值为1 0003m 2m13m 2m时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000 万元思维升华数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1) 数列与函数的交汇问题已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题

15、；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决(2) 数列与不等式的交汇问题函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；比较方法：作差或者作商比较(3) 数列应用题根据题意，确定数列模型；准确求解模型；问题作答，不要忽视问题的实际意义设等差数列 an的公差

16、为d，点 (an，bn) 在函数f(x) 2x的图象上 (nn*) (1) 若a1 2，点 (a8,4b7) 在函数f(x) 的图象上，求数列an的前n项和sn；(2) 若a11，函数f(x) 的图象在点 (a2，b2)处的切线在x轴上的截距为21ln 2，求数列anbn的前n项和tn. 解(1) 由已知，得b772a，b882a4b7，有82a472a722a. 解得da8a72. 所以snna1nn12d 2nn(n1) n23n. (2)f(x) 2xln 2 ，f(a2) ln 2，故函数f(x) 2x在(a2，b2) 处的切线方程为y ln 2(xa2)，它在x轴上的截距为a21ln

17、 2. 由题意，得a21ln 2 21ln 2，解得a2 2. 所以da2a11. 22a22a22a从而ann，bn2n. 所以tn12222323n12n1n2n，2tn1122322n2n 1. 因此， 2tntn11212212n1n2n212n1n2n2n1n22n. 所以tn2n1n22n. 1(2016北京 ) 已知 an是等差数列，bn 是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4. (1) 求an 的通项公式；(2) 设cnanbn，求数列 cn 的前n项和解(1) 设数列 an 的公差为d，bn的公比为q，由b2b1q3，b3b1q2 9得b11，q3.bn的通项公式

18、bnb1qn13n 1，又a1b11，a14b4 341 27，1 (14 1)d 27，解得d2. an的通项公式ana1(n 1)d1(n1)2 2n1(n 1,2,3 ，) (2) 设数列 cn的前n项和为sn. cnanbn2n 13n 1，snc1c2c3cn21 1 3022 13123 1 32 2n 1 3n 1 2(1 2n) n3013n132n1n2n3n12n23n12. 即数列 cn的前n项和为n23n12. 2(2016全国甲卷) 等差数列 an中，a3a44，a5a76. (1) 求an 的通项公式；(2) 设bnan ，求数列 bn 的前 10 项和，其中 x 表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62. 解(1) 设数列 an 的首项为a1，公差为d，由题意有2a15d4，a15d3，解得a11，d25.所以 an的通项公式为an2n35. (2) 由(1) 知，bn2n35. 当n1,2,3时，12n352，bn1；当n4,5 时，22n 353，bn2；当n6,7,8时，32n354，bn3；当n9,10 时，42n350(nn*) ，公比q(0,1) ，且a1a52a3a5a2a8 25，又a3与a5的等比中项为2. (1) 求数列 an的通项公式；(2) 设bnlog2an，求数列 bn 的前n项和sn；