高考数学难点突破_难点27__求空间的角

1、难点 27 求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想. 难点磁场( )如图， l 为 60的二面角，等腰直角三角形mpn 的直角顶点p 在 l 上， m ,n,且 mp与所成的角等于np 与所成的角 . (1)求证： mn 分别与 、所成角相等；(2)求 mn 与所成角 . 案例探究例 1在棱长为a 的正方体 abcdabc d中， e、f 分别是 bc、ad的中点 . (1)求证：四边形bedf 是菱形；(2)求直线 ac 与 de 所成的角；(3)求直线 ad 与平面 bedf 所成的角；(4)求

2、面 bedf 与面 abcd 所成的角 . 命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属级题目. 知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角. 错解分析：对于第(1)问，若仅由be=ed=df=fb就断定bedf 是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明b、 e、d、f 四点共面 . 技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法 . (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得be=ed=df =fb=25a,下证 b、e、d、f 四点共面， 取 ad 中点 g，

3、连结 ag、eg，由 egabab知， bega 是平行四边形. beag,又 af dg,agdf 为平行四边形. agfd， b、 e、 d、f 四点共面故四边形bedf 是菱形 . (2)解：如图所示，在平面abcd 内，过 c 作 cpde，交直线ad 于 p，则 acp(或补角 )为异面直线ac 与 de 所成的角 . 在 acp 中，易得ac=3a， cp=de=25a,ap=213a由余弦定理得cosacp=1515故 ac 与 de 所成角为 arccos1515. (3)解： ade=adf ,ad 在平面 b edf 内的射影在edf 的平分线上 .如下图所示 . 又 be

4、df 为菱形， db为 edf 的平分线，故直线 ad 与平面 bedf 所成的角为 adb 在 rt bad 中， ad=2a，ab=2a,bd=2a则 cosadb =33故 ad 与平面 bedf 所成的角是arccos33. (4)解：如图，连结ef、bd，交于 o 点，显然o 为 bd 的中点，从而o 为正方形abcd abcd 的中心. 作 oh平面 abcd，则 h 为正方形 abcd 的中心，再作 hmde ，垂足为 m，连结 om，则 omde，故 omh 为二面角 b de a 的平面角 . 在 rt doe 中， oe=22a,od=23a,斜边 de=25a, 则由面积

5、关系得om=1030deoeoda在 rt ohm 中， sinomh =630omoh故面 bedf 与面 abcd 所成的角为arcsin630. 例 2如下图，已知平行六面体abcd a1b1c1d1中，底面 abcd 是边长为a 的正方形，侧棱aa1长为 b,且 aa1与 ab、ad 的夹角都是120. 求： (1) ac1的长；(2)直线 bd1与 ac 所成的角的余弦值. 命题意图：本题主要考查利用向量法来解决立体几何问题，属级题目. 知识依托：向量的加、减及向量的数量积. 错解分析：注意abaa ,1=1aa,ad=120而不是60,adab , =90 . 技巧与方法：数量积公

6、式及向量、模公式的巧用、变形用. 221122211111212211111122122211111222221112221111111212222|)(|)(,2| ,)2(.22|,22|,0,21120cos,21120cos90,120,| ,|:|222|)()(|)1(:baabaaadabadaaabadaaabadaaabadaabdbdbdabadababadadabaaadaaababadaaadabbdacabadaabaadbdadabacaacabbaacabbaacadabababadaaabababaaadabadaaabaaaadabbaaadabadaaaba

7、aadabaaadabaaadabaaacaaacaaacacac依题意得由已知得解2212|babd2211124|,cosbabacbdacbdacbdbd1与 ac 所成角的余弦值为2224bab. 锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角范围： 0 90方法：平移法；补形法. 2.直线与平面所成的角范围： 0 90方法：关键是作垂线，找射影. 3.二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式s =scos 来计算歼灭难点训练一、选择题1.( )在正方体abcda1b1c1d1中， m 为 dd1的中点， o 为底面 ab

8、cd 的中心， p 为棱 a1b1上任意一点，则直线op 与直线 am 所成的角是 ( ) a.6b.4c.3d.22.( )设 abc 和 dbc 所在两平面互相垂直，且ab=bc=bd =a,cba= cbd=120 ,则 ad 与平面 bcd 所成的角为 ( ) a.30b.45c.60d.75二、填空题3.( )已知 aob=90,过 o 点引 aob 所在平面的斜线oc，与 oa、ob 分别成 45、 60，则以oc为棱的二面角aocb 的余弦值等于_. 4.( )正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_. 三、解答题5.( )已知四边

9、形abcd 为直角梯形， ad bc， abc=90,p a平面 ac，且 pa=ad =ab=1,bc=2 (1)求 pc 的长；(2)求异面直线pc 与 bd 所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角bpcd 为直二面角 . 6.( )设abc 和 dbc 所在的两个平面互相垂直，且ab=bc=bd ， abc= dbc=120求： (1) 直线 ad 与平面 bcd 所成角的大小；(2)异面直线 ad 与 bc 所成的角；(3)二面角 abd c 的大小 . 7.( )一副三角板拼成一个四边形abcd ，如图，然后将它沿bc 折成直二面角 . (1)求证：平面abd 平面 acd ；(2

10、)求 ad 与 bc 所成的角；(3)求二面角 abd c 的大小 . 8.( )设 d 是 abc 的 bc 边上一点，把acd 沿 ad 折起，使c 点所处的新位置c在平面abd 上的射影 h 恰好在 ab 上. (1)求证：直线cd 与平面 abd 和平面 ahc 所成的两个角之和不可能超过90；(2)若 bac=90，二面角c adh 为 60，求 bad 的正切值 . 参考答案难点磁场(1)证明：作na于 a，mb于 b,连接 ap、pb、bn、am ，再作 acl 于 c，bdl 于 d，连接 nc、md . na,mb , mpb、npa 分别是 mp 与所成角及np 与所成角，

11、 mnb， nma 分别是 mn 与,所成角，mpb=npa. 在 rt mpb 与 rtnpa 中， pm=pn， mpb=npa， mpb npa，mb =na. 在 rt mnb 与 rtnma 中，mb =na，mn 是公共边，mnb nma， mnb=nma，即 (1)结论成立 . (2)解：设 mnb=,mn=2a,则 pb=pn=a,mb=na=2asin，nb=2acos,mb,bd l,md l,mdb 是二面角 l的平面角， mdb =60，同理 nca=60, bd=ac=3633mbasin,cn=dm =63260sin6mbasin, mb，mppn， bppn b

12、pn=90,dpb=cnp, bpd pnc,pbbdpnpc22222222)cos2(3sin6)sin362(,aaaaaabndbacna即整理得， 16sin4 16sin2 +3=0 解得 sin2=4341或,sin=2321或，当 sin=23时， cn=632asin=2apn 不合理，舍去. sin=21,mn 与所成角为30. 歼灭难点训练一、1.解析： (特殊位置法）将p 点取为 a1，作 oead 于 e，连结 a1e，则 a1e 为 oa1的射影，又am a1e，amoa1，即 am 与 op 成 90角 . 答案： d 2.解析：作aocb 的延长线，连od，则

13、od 即为 ad 在平面 bcd 上的射影，ao=od=23a, ado=45. 答案： b 二、 3.解析：在oc 上取一点c，使 oc=1，过 c 分别作 caoc 交 oa 于 a， cboc 交 ob 于 b，则 ac=1， ，oa=2，bc=3，ob=2，rtaob 中， ab2=6， abc 中，由余弦定理，得cosacb=33. 答案：334.解析：设一个侧面面积为s1，底面面积为s，则这个侧面在底面上射影的面积为3s，由题设得321ss，设侧面与底面所成二面角为,则 cos =2133111ssss,=60. 答案： 60三、 5.(1) 解：因为 pa平面 ac，abbc,p

14、bbc,即 pbc=90,由勾股定理得pb=222abpa. pc=622pcpb. (2)解：如图，过点c 作 cebd 交 ad 的延长线于e，连结 pe，则 pc 与 bd 所成的角为 pce 或它的补角 . ce=bd=2，且 pe=1022aepa由余弦定理得cospce=632222cepcpecepcpc 与 bd 所成角的余弦值为63. (3）证明：设pb、pc 中点分别为g、f，连结 fg、ag、df ，则 gf bcad ，且 gf=21bc=1=ad，从而四边形 adfg 为平行四边形，又 ad 平面 pab， ad ag，即 adfg 为矩形， dffg. 在 pcd

15、中， pd=2，cd=2，f 为 bc 中点， dfpc从而 df平面 pbc，故平面pdc平面 pbc，即二面角bpc d 为直二面角 .6.解： (1)如图，在平面abc 内，过 a 作 ah bc，垂足为h，则 ah平面 dbc， adh 即为直线 ad 与平面 bcd 所成的角 .由题设知 ahb ahd ，则 dhbh，ah=dh， adh =45(2)bcdh，且 dh 为 ad 在平面 bcd 上的射影，bcad，故 ad 与 bc 所成的角为90. (3)过 h 作 hrbd，垂足为 r，连结 ar，则由三垂线定理知，arbd，故 arh 为二面角 abdc 的平面角的补角 .

16、设 bc=a,则由题设知，ah=dh =2,23abha,在 hdb 中， hr=43a， tanarh =hrah=2 故二面角abdc 大小为 arctan2. 7.(1)证明：取bc 中点 e，连结 ae， ab=ac， aebc平面 abc平面 bcd， ae平面 bcd，bccd，由三垂线定理知abcd. 又 abac， ab平面 bcd， ab平面 abd. 平面 abd平面 acd. (2)解：在面bcd 内，过 d 作 df bc，过 e 作 efdf，交 df 于 f，由三垂线定理知afdf ， adf 为 ad与 bc 所成的角 . 设 ab=m，则 bc=2m，ce=df =22m,cd=ef=36m321arctan,321tan22adfdfefaedfafadf即 ad 与 bc 所成的角为arctan321(3)解： ae面 bcd，过 e 作 egbd 于 g，连结 ag，由三垂线定理知agbd， age 为二面角abdc 的平面角 ebg=30， be=22m,eg=42m又 ae=22m,tanage=geae=2, age =arctan2. 即二