勾股定理知识点总结及练习2

1、本章共课时第课时第十八章勾股定理一基础学问点：1：勾股定理22直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方；（即： a +bdc2c ）he要点诠释：fg勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：baacb（ 1）已知直角三角形的两边求第三边（在abc 中，c90 ，就ba222222acab， bca， acb）cb c（ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两cbc边aab（ 3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题dc2：勾股定理的证明h勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法egf用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形

2、进过割补拼接后，只要没有重叠，没有间隙，面积不会转变baacbaa依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式， 推导出勾股定理d常见方法如下：方法一： 4 sss， 41 ab2babc2c ，化简可证ce方法二：正方形 efgh正方形 abcd2abbc2四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为s41 abc 222222abc大正方形面积为sab2a22abb 2所以 abc方法三：s梯形1 ab ab ， s2s ades abe2 1 ab1 c 2 ，化简得证梯形22223：勾股数2能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾

3、股数，即 a 2b正整数时，称a ， b ， c 为一组勾股数c 中， a ，b ，c 为记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n, n21 （ n2, n 为正整数）；2n1,2n22n,2 n22n1（ n 为正整数） m2n2 ,2 mn,m2n2 （ mn,m ， n 为正整数）规律方法指导1勾股定理的证明实际采纳的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的；2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关1本章共课时系的题目；3勾股定理在应用

4、时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误；二、 经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理例 .在abc 中，c90 已知 ac已知 ab6 ， bc217， ac8 求 ab 的长15，求 bc 的长分析：直接应用勾股定理2222abc解：abacbc10 bcab2ac82题型二：利用勾股定理测量长度例题 1 假如梯子的底端离建筑物9 米，那么15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？解析： 这是一道大家熟知的典型的“知二求一” 的题；把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！依据勾股定理ac2+bc

5、2=ab2,即 ac2+92=152, 所以 ac2=144, 所以 ac=12.例题 2如图（ 8），水池中离岸边d 点 1.5 米的 c 处，直立长着一根芦苇，出水部分b c的长是 0.5 米，把芦苇拉到岸边，它的顶端b 恰好落到d 点，并求水池的深度ac.cabd解析： 同例题 1 一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2.由题意可知 acd中 ,acd=90°, 在 rt acd中，只知道 cd=1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一” 的类型；标准解题步骤如下（仅供参考）：222解： 如图 2，依据勾股定理，ac+cd=ad2设水深 ac= x 米，那么ad=ab=ac+

6、cbx=+0.522x +1.5=（ x +0.5 ）解之得 x =2.故水深为2 米.题型四 ： 利用勾股定理求线段长度2本章共课时例题 4 如图 4，已知长方形abcd中 ab=8cm,bc=10cm在,边 cd上取一点e，将 ade折叠使点 d 恰好落在bc边上的点f，求 ce的长 .解析： 解题之前先弄清晰折叠中的不变量；合理设元是关键；具体解题过程如下：解： 依据题意得rt ade rt aef afe=90° , af=10cm, ef=de设 ce=x cm，就 de=ef=cd ce=8x在 rt abf中由勾股定理得：222222ab +bf=af ，即 8 +bf

7、=10 ，bf=6cmcf=bc bf=10 6=4cm在 rt ecf中由勾股定理可得： ef2 =ce2+cf2，即 8 x 2 =x2+42264 16x +x =2+16x =3cm, 即 ce=3 cm注：此题接下来仍可以折痕的长度和求重叠部分的面积3本章共课时第课时第十八章勾股定理一基础学问点：1：勾股定理的逆定理222假如三角形的三边长：a、b、c，就有关系a +b c ，那么这个三角形是直角三角形；要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能外形，在运用这肯定理时应留意：（ 1）第一确定最大边，不妨设最长边长

8、为：c；222222（ 2）验证 c角三角形与 a +b 是否具有相等关系，如c a +b ，就 abc 是以 c 为直角的直222222（如 c >a +b ，就 abc是以 c 为钝角的钝角三角形；如c <a +b ，就 abc 为锐角三角形）；22（定理中 a ， b ， c 及 a2b22c 只是一种表现形式，不行认为是唯独的，如如三角形三2边长 a ， b ， c 满意 a斜边）cb ，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为2：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系区分：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定

9、理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关；3：互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；2224. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a， b， c 有以下关系：a +b c ， .那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形c的判定方法5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合 ”的懂得a bd我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；（

10、例：勾股定理与勾股定理逆定理）二、 经典例题精讲题型一 ： 勾股定理和逆定理并用例题 3如图 3，正方形abcd中， e 是 bc边上的中点，f 是 ab上一点，且fb14ab 那么 def是直角三角形吗？为什么？解析： 这道题把许多条件都隐匿了，乍一看有点摸不着头脑；认真读题会意1可以发觉规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由fbab 可以4设 ab=4a，那么 be=ce=2a,af=3 a,bf= a, 那么在 rt afd 、rt bef和 rt cde中，分别利用勾股定理求出 df,ef 和 de的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判定 def是否是直角三角形；4本章共课时具体解题

11、步骤如下：解： 设正方形abcd的边长为4a, 就 be=ce=2a,af=3a,bf= a在 rt cde中， de2=cd2+ce2=4 a 22 2同 理 ef2=5a2, df 2=25a2+2 a =20a222222在 def中， ef + de =5a + 20a =25a =df def是直角三角形，且def=90° .注：此题利用了四次勾股定理，是把握勾股定理的必练习题；题型二：利用勾股定理逆定理判定垂直例题 5 如图 5，王师傅想要检测桌子的表面ad边是否垂直与ab 边和 cd边，他测得ad=80cm， ab=60cm， bd=100cm， ad边与 ab 边垂直

12、吗？怎样去验证ad边与 cd边是否垂直？解析： 由于实物一般比较大，长度不简单用直尺来便利测量；我们通常截取部分长度来验证；如图4，矩形 abcd表示桌面外形，在ab 上截取 am=12cm,在 ad上截取 an=9cm想想为什么要设为这两个长度？ ，连结 mn，测量 mn的长度；222假如 mn=15,就 am+an=mn, 所以 ad边与 ab边垂直；222222假如 mn=a 15, 就 9 +12 =81+144=225,a 225, 即 9 +12 a ，所以 a 不是直角；利用勾股定懂得决实际问题例题 6 有一个传感器掌握的灯， 安装在门上方， 离地高 4.5 米的墙上，任何东西只

13、要移至 5 米以内，灯就自动打开，一个身高 1.5 米的同学，要走到离门多远的地方灯刚好打开？解析： 第一要弄清晰人走过去，是头先距离灯5 米仍是脚先距离灯5 米，可想而知应当是头先距离灯5 米；转化为数学模型，如图6 所示， a 点表示掌握灯，bm表示人的高度，bc mn,bc an当头（ b 点）距离 a 有 5 米时，求 bc的长度；已知an=4.5 米, 所以 ac=3米，由勾股定理，可运算bc=4米. 即使要走到离门4 米的时候灯刚好打开；题型三 ：旋转问题：例 1、如图， abc 是直角三角形，bc 是斜边， 将 abp 绕点 a 逆时针旋转后， 能与 ac p重合，如 ap=3，

14、求 pp的长；变式 1：如图， p 是等边三角形abc内一点， pa=2,pb=23 ,pc=4, 求 abc的边长 .分析：利用旋转变换，将bpa绕点 b逆时针挑选 60°，将三条线段集中到同一个三角形中，依据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.5本章共课时变式 2、如图， abc为等腰直角三角形，bac=90°， e、 f是bc上的点，且eaf=45°，摸索究be 2、cf 2、 ef 2 间的关系，并说明理由.题型四 ： 关于翻折问题例1、如图，矩形纸片 abcd的边 ab=10cm，bc=6cm，e 为bc 上一点，将矩形纸片沿ae 折叠，点

15、b 恰好 落在 cd 边上的点 g 处，求 be 的长 .变式：如图， ad 是 abc的中线， adc=45°，把 adc 沿直线 ad 翻折，点c 落在点 c的位置， bc=4,求 bc的长 .题型五 ： 关于勾股定理在实际中的应用：例 1、如图， 大路 mn 和大路 pq 在 p 点处交汇， 点 a 处有一所中学，ap=160 米，点 a 到大路 mn 的距离为80 米，假使拖拉机行驶时， 四周 100 米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在大路mn 上沿 pn 方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；假如受到影响，已知拖拉机的速度是18 千米 /小时，那么学校受到影响的时间为

16、多少？题型六 ： 关于最短性问题例 5、如右图1 19，壁虎在一座底面半径为2 米，高为4 米的油罐的下底边沿a 处，它发觉在自己的正上方油罐上边缘的b 处有一只害虫，便打算捕获这只害虫，为了不引起害虫的留意，它有意不走直线，而是围着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然突击结果，壁虎的偷袭得到胜利，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫.（取3.14，结果保留1 位小数，可以用运算器运算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把全部面都分为9 个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，就它从下地面a 点沿表面爬行至右侧面的b 点，最少要花几秒钟？第课时6本章

17、共课时勾股定理练习一填空题：1. 在 rt abc 中， c=90°（ 1）如 a=5， b=12，就 c= ；（ 2） b=8， c=17，就 s abc = ；2.如一个三角形的三边之比为5 12 13，就这个三角形是 （按角分类） ；3. 直角三角形的三边长为连续自然数，就其周长为 ；4传奇 ,古埃及人曾用拉绳”的方法画直角,现有一根长24 厘米的绳子 ,请你利用它拉出一个周长为24 厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为 厘米 , 厘米 , 厘米 ,其中的道理是 .5.命题“对顶角相等”的逆命题为 , 它是 命题 .填“真”或“假”6观看以下各式：32 +4

18、2=52；82+62=102；152+8 2=17 2；242+102=262；你有没有发觉其中的规律？请用你发觉的规律写出接下来的式子： ；7利用四个全等的直角三角形可以拼成如下列图的图形，这个图形被称为弦图最早由三国时期的数学家赵爽给出的从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而 c2,化简后即为c2bcbaa第 8 题图8 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是 8 的长方体纸箱的a 点沿纸箱爬到b 点，那么它所行的最短路线的长是 ；二挑选题：9观看以下几组数据:1 8, 15, 17; 2 7, 12, 15; 312, 15, 20; 4 7, 24, 25.其中能作为直角

19、三角形的三边长的有 组a. 1b. 2c. 3d. 4610三个正方形的面积如图，正方形a 的面积为（）a. 6b.c. 64d. 8a1011.已知直角三角形的两条边长分别是5 和 12，就第三边为（）119或119不能确定12.以下命题假如a、b、 c 为一组勾股数，那么4a、4b、4c 仍是勾股数；假如直角三角 形的两边是5、12，那么斜边必是13；假如一个三角形的三边是12、25、21，那么此 三角形必是直角三角形；一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（ a>b=c），那么a2b2 c2=2 1 1；其中正确选项（）7本章共课时a 、b、c、d、13.三角形的三边长为（a+b） 2=c2+2ab,就这个三角形是a.等边三角形 ;b. 钝角三角形 ;c. 直角三角形 ; d. 锐角三角形 .14.如图一轮船以16 海里 /时的速度从港口a 动身向东北方向航行， 另一轮船以12 海里 /时的速度同时从港口a 动身向东南方向航行，离开港口2 小时后，就两船相距（）a 、25 海里b 、30 海里c、35 海里d 、40 海里15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，就以底边为边长的正方形的面积为（）a 、40b 、80c、 40 或 360d、80 或 36016某市在旧城改造中，方案在市内一块如下列图的三角形空地上种植草皮以美化环境，知这种草