高考理科数学试卷及解析

1、高考数学试卷（理科）一、填空题（56 分） ：1 （ 2019?上海）计算：=_（i 为虚数单位）2 （ 2019?上海）若集合a=x|2x+1 0， b=x|x 1|2 ， 则 a b=_3 （ 2019?上海）函数f（x）=的值域是_4（2019?上海）若= （ 2， 1） 是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾斜角的大小为_（结果用反三角函数值表示）5 （ 2019?上海）在的二项展开式中，常数项等于_6 （ 2019?上海）有一列正方体，棱长组成以1 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 v1， v2， ， vn， ， 则（v1+v2+ +vn） _7 （ 2019?上海）已知函数f

2、（x）=e|xa|（a 为常数）若 f（x）在区间 1， +）上是增函数，则 a的取值范围是_8 （ 2019?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_9 （ 2019?上海）已知y=f （x）+x2是奇函数，且 f（1）=1， 若 g（x）=f （x） +2， 则 g（ 1）=_10 （2019?上海）如图，在极坐标系中，过点 m（2， 0）的直线l 与极轴的夹角a=，若将 l 的极坐标方程写成 =f（ ）的形式，则 f（ ）=_11 （2019?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目， 则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_（结

3、果用最简分数表示）12 （2019?上海）在平行四边形abcd 中，a=， 边 ab 、ad 的长分别为2、1， 若m、n 分别是边 bc 、cd 上的点，且满足=， 则的取值范围是_13 （2019?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段abc ， 其中 a（0， 0） 、b（， 5） 、c（1， 0） ， 函数 y=xf （x） （ 0 x 1）的图象与x 轴围成的图形的面积为_14 （2019?上海） 如图，ad 与 bc 是四面体abcd 中互相垂直的棱，bc=2 ， 若 ad=2c ，且 ab+bd=ac+cd=2a， 其中 a、c 为常数，则四面体abcd 的体积的最大值是_二、

4、选择题（20 分） ：15 （2019?上海）若1+i 是关于 x 的实系数方程x2+bx+c=0 的一个复数根，则（）ab=2， c=3 bb=2， c=3 cb=2， c=1 db=2， c= 1 16 （2019?上海）在 abc 中，若 sin2a+sin2b sin2c， 则abc 的形状是（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不能确定17 （2019?上海）设10 x1x2x3x4 104， x5=105， 随机变量1取值 x1、 x2、x3、x4、x5的概率均为0.2， 随机变量 2取值、的概率也均为 0.2， 若记 d1、d2分别为 1、2的方差，则（）ad1d2bd1=d

5、 2cd1d2dd1与 d2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关18 （2019?上海）设an=sin， sn=a1+a2+ +an， 在 s1， s2， s100中，正数的个数是（）a25 b50 c75 d100 三、解答题（共5 小题，满分 74 分）19 （2019?上海） 如图， 在四棱锥p abcd 中， 底面 abcd 是矩形，pa底面 abcd ，e 是 pc 的中点，已知 ab=2 ， ad=2， pa=2， 求：（1）三角形pcd 的面积；（2）异面直线bc 与 ae 所成的角的大小20 （2019?上海）已知f（ x）=lg （x+1）（1）若 0f（1 2x）

6、f（ x） 1， 求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0 x 1 时，g（x）=f（x） ， 求函数 y=g（ x）（x1， 2）的反函数21 （2019?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度） ， 则救援船恰好在失事船正南方向12 海里 a 处，如图，现假设： 失事船的移动路径可视为抛物线； 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； 救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t （1）当 t=0.5 时，写出失事船所在位置p 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船

7、速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22 （2019?上海）在平面直角坐标系xoy 中，已知双曲线c1：2x2y2=1（1）过 c1的左顶点引c1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1 的直线 l 交 c1于 p、q 两点，若 l 与圆 x2+y2=1 相切，求证： opoq；（3）设椭圆 c2：4x2+y2=1， 若 m、n 分别是 c1、c2上的动点，且 omon， 求证： o到直线 mn 的距离是定值23 （2019?上海）对于数集x= 1， x1， x2， ， xn ， 其中 0 x1 x2 xn， n 2

8、，定义向量集y=（ s， t） ， sx， tx ， 若对任意， 存在， 使得， 则称 x 具有性质p例如 1， 1， 2具有性质p（1）若 x2， 且1， 1， 2， x 具有性质p， 求 x 的值；（2）若 x 具有性质p， 求证： 1x， 且当 xn1 时，x1=1；（3）若 x 具有性质p， 且 x1=1、x2=q（q 为常数）， 求有穷数列x1， x2， ， xn的通项公式上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（56 分） ：1 （ 2019?上海）计算：=12i（i 为虚数单位） 考点 ： 复数代数形式的乘除运算。专题 ： 计算题。分析： 由题意，可对复数代数式分子

9、与分母都乘以1i， 再由进行计算即可得到答案解答：解：故答案为1 2i 点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握2 （ 2019?上海）若集合a=x|2x+1 0， b=x|x 1|2 ， 则 a b=（， 3）考点 ： 交集及其运算。专题 ： 计算题。分析： 由题意，可先将两个数集化简，再由交的运算的定义求出两个集合的交集即可得到答案解答：解：由题意a=x|2x+1 0=x|x ， b=x|x 1|2=x| 1x3 ，所以 a b=（， 3）故答案为（， 3）点评： 本题考查交集的运算，解题的关键是熟练掌握交

10、集的定义及运算规则，正确化简两个集合对解题也很重要，要准确化简3 （ 2019?上海）函数f（x）=的值域是考点 ： 二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用。专题 ： 计算题。分析： 先根据二阶行列式的运算法则求出函数的解析式，然后化简整理，根据正弦函数的有界性可求出该函数的值域解答：解： f（x） = 2sinxcosx=2sin2x 1 sin2x 1 sin2x则 2sin2x 函数 f（x）=的值域是故答案为：点评： 本题主要考查了二阶行列式的求解，以及三角函数的化简和值域的求解，同时考查了计算能力，属于基础题4 （2019?上海） 若=（ 2， 1）是直线 l 的一个法向量，则 l 的倾

11、斜角的大小为arctan2（结果用反三角函数值表示）考点 ： 平面向量坐标表示的应用。专题 ： 计算题。分析： 根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据 k=tan可求出倾斜角解答：解： =（ 2， 1）是直线l 的一个法向量可知直线l 的一个方向向量为（1， 2） ， 直线 l 的倾斜角为得，tan =2 =arctan2 故答案为： arctan2 点评： 本题主要考查了方向向量与斜率的关系，以及反三角的应用，同时运算求解的能力，属于基础题5 （ 2019?上海）在的二项展开式中，常数项等于160考点 ： 二项式定理的应用。专题 ： 计算题。分析： 研究常数项只需研

12、究二项式的展开式的通项，使得 x 的指数为0， 得到相应的r， 从而可求出常数项解答：解：展开式的通项为tr+1=x6r（）r=（ 2）rx62r令 62r=0 可得 r=3 常数项为（2）3=160 故答案为：160 点评： 本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题6 （ 2019?上海）有一列正方体，棱长组成以1 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 v1， v2， ， vn， ， 则（v1+v2+ +vn） 考点 ： 数列的极限；棱柱、棱锥、棱台的体积。专题 ： 计算题。分析：由题意可得，正方体的体积=是以 1 为首项，以为公比的等比数，由等不数列的

13、求和公式可求解答： 解：由题意可得，正方体的棱长满足的通项记为an则=是以 1 为首项，以为公比的等比数列则（v1+v2+ +vn）=故答案为：点评： 本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础试题7 （ 2019?上海）已知函数f（x）=e|xa|（a 为常数）若 f（x）在区间 1， +）上是增函数，则 a的取值范围是（ ， 1考点 ： 指数函数单调性的应用。专题 ： 综合题。分析： 由题意，复合函数f（ x）在区间 1， +）上是增函数可得出内层函数t=|xa|在区间 1， +）上是增函数，又绝对值函数t=|xa|在区间 a， +）上是增函数，可得出 1， +）?a， +

14、） ， 比较区间端点即可得出a 的取值范围解答： 解：因为函数f（x）=e|xa|（ a为常数）若 f（x）在区间 1， +）上是增函数由复合函数的单调性知，必有 t=|xa|在区间 1， +）上是增函数又 t=|xa|在区间 a， +）上是增函数所以 1， +）?a， +） ， 故有 a 1 故答案为（， 1 点评： 本题考查指数函数单调性的运用及复合函数单调性的判断，集合包含关系的判断，解题的关键是根据指数函数的单调性将问题转化为集合之间的包含关系，本题考查了转化的思想及推理判断的能力，属于指数函数中综合性较强的题型8 （ 2019?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥

15、的体积为考点 ： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。专题 ： 计算题。分析： 通过侧面展开图的面积求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可解答： 解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为 4 = l2， 所以 l=2，半圆的弧长为2 ，圆锥的底面半径为2 r=2 ， r=1，所以圆柱的体积为：=故答案为：点评： 本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力9 （ 2019?上海）已知y=f （x）+x2是奇函数，且 f（1）=1， 若 g（x）=f （x） +2， 则 g（ 1）=1考点 ： 函数奇偶性的性质；函数的值。专题 ：

16、 计算题。分析： 由题意，可先由函数是奇函数求出f（ 1）=3， 再将其代入g（ 1）求值即可得到答案解答： 解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且 f（1）=1，所以 f（1）+1+f（ 1）+（ 1）2=0 解得 f（ 1）=3 所以 g（ 1）=f （ 1）+2=3+2=1 故答案为 1 点评： 本题考查函数奇偶性的性质，利用函数奇偶性求值，解题的关键是根据函数的奇偶性建立所要求函数值的方程，基本题型10 （2019?上海）如图，在极坐标系中，过点 m（2， 0）的直线l 与极轴的夹角a=，若将 l 的极坐标方程写成 =f（ ）的形式，则 f（ ）=考点 ： 简单曲线的极坐标方程。专

17、题 ： 计算题。分析： 取直线 l 上任意一点p（ ， ） ， 连接 op， 则 op= ， pom= ， 在三角形pom 中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求解答： 解：取直线l 上任意一点p（ ， ） ， 连接 op， 则 op= ， pom= 在三角形pom 中，利用正弦定理可知：解得 =f （ ）=故答案为：点评： 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及余弦定理的应用，同时考查了分析问题的能力和转化的思想，属于基础题11 （2019?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）考点 ： 古

18、典概型及其概率计算公式。专题 ： 计算题。分析： 先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可解答： 解：每个同学都有三种选择：跳高与跳远；跳高与铅球；跳远与铅球三个同学共有3 3 3=27 种有且仅有两人选择的项目完全相同有=18 种其中表示 3 个同学中选2 个同学选择的项目，表示从三种组合中选一个，表示剩下的一个同学有 2 中选择故有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是=故答案为：点评： 本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，解题的关键求出有且仅有两人选择的项目完全相同的个数，属于基础题12 （2019?上海）

19、在平行四边形abcd 中，a=， 边 ab 、ad 的长分别为2、1， 若m、 n 分别是边bc、 cd 上的点， 且满足=， 则的取值范围是2， 5考点 ： 平面向量的综合题。专题 ： 计算题。分析： 画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出 m， n 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围解答： 解：建立如图所示的直角坐标系，则 b（2， 0） ， a（0， 0） ，d（） ， 设= ， 0， 1，m（2+） ， n（） ，所以=（2+）?（）=22 +5， 因为 0， 1， 二次函数的对称轴为： =1，所以 0， 1时，22 +52， 5故答案为： 2， 5点评： 本题考查向量的综

20、合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力13 （2019?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段abc ， 其中 a（0， 0） 、b（， 5） 、c（1， 0） ， 函数 y=xf （x） （ 0 x 1）的图象与x 轴围成的图形的面积为考点 ： 函数的图象。专题 ： 计算题；综合题。分析：根据题意求得f（x）=， 从而 y=xf （x）=， 利用定积分可求得函数y=xf （x） （0 x 1）的图象与x 轴围成的图形的面积解答：解：由题意可得，f（x）=，y=xf （x）=，设函数 y=xf （x） （0 x 1）的图象与x 轴围成的图形的面积为s，则

21、 s=10 x2dx+（ 10 x2+10 x）dx =10+（ 10）+10=+5=故答案为：点评： 本题考查函数的图象，着重考查分段函数的解析式的求法与定积分的应用，考查分析运算能力，属于难题14 （2019?上海） 如图，ad 与 bc 是四面体abcd 中互相垂直的棱，bc=2 ， 若 ad=2c ，且 ab+bd=ac+cd=2a， 其中 a、c 为常数，则四面体abcd 的体积的最大值是考点 ： 棱柱、棱锥、棱台的体积。专题 ： 计算题。分析： 作 bead 于 e， 连接 ce， 说明 b 与 c 都是在以ad 为焦距的椭球上，且 be、ce 都垂直于焦距 ad ， be=ce取

22、 bc 中点 f， 推出四面体abcd 的体积的最大值，当 abd 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，求解即可解答：解：作 bead 于 e， 连接 ce， 则 ad 平面 bec， 所以 cead ，由题设，b 与 c 都是在以ad 为焦点的椭圆上，且 be、ce 都垂直于焦距ad ，显然 abd acd ， 所以 be=ce取 bc 中点 f， efbc， ef ad ， 四面体 abcd 的体积的最大值，只需 ef 最大即可，当abd 是等腰直角三角形时几何体的体积最大，ab+bd=ac+cd=2a，ab=a ， 所以 eb=， ef=，所以几何体的体积为： =故答案为：点评： 本题考

23、查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力二、选择题（20 分） ：15 （2019?上海）若1+i 是关于 x 的实系数方程x2+bx+c=0 的一个复数根，则（）ab=2， c=3 bb=2， c=3 cb=2， c=1 db=2， c= 1 考点 ： 复数相等的充要条件。专题 ： 计算题；转化思想。分析： 由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0 整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a， b 的方程组， 解方程得出a， b 的值即可选出正确选项解答： 解：由题意1+i 是关于 x 的实系数方程x2+bx+c=0 1+2i2+b+bi+c=0 ， 解得 b

24、=2， c=3 故选 b 点评： 本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题16 （2019?上海）在 abc 中，若 sin2a+sin2b sin2c， 则abc 的形状是（）a锐角三角形b直角三角形c钝角三角形d不能确定考点 ： 余弦定理的应用；三角形的形状判断。专题 ： 计算题。分析：由 sin2a+sin2bsin2c， 结合正弦定理可得，a2+b2c2， 由余弦定理可得cosc=可判断 c 的取值范围解答： 解： sin2a+sin2bsin2c，由正弦定理可得，a2+b2c2由余弦定理可得c

25、osc=abc 是钝角三角形故选 c 点评： 本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题17 （2019?上海）设10 x1x2x3x4 104， x5=105， 随机变量1取值 x1、 x2、x3、x4、x5的概率均为0.2， 随机变量 2取值、的概率也均为 0.2， 若记 d1、d2分别为 1、2的方差，则（）ad1d2bd1=d 2cd1d2dd1与 d2的大小关系与x1、x2、x3、x4的取值有关考点 ： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列。专题 ： 计算题。分析： 根据随机变量1、2的取值情况，计算它们的平均数，根据随机变量1

26、、2的取值的概率都为0.2， 即可求得结论解答： 解：由随机变量1、2的取值情况，它们的平均数分别为：= （x1+x2+x3+x4+x5） ，= （+）=且随机变量1、2的取值的概率都为0.2， 所以有 d1d2，故选择 a点评： 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题18 （2019?上海）设an=sin， sn=a1+a2+ +an， 在 s1， s2， s100中，正数的个数是（）a25 b50 c75 d100 考点 ： 数列的求和；三角函数的周期性及其求法。专题 ： 计算题。分析：由于 f（n）=sin的周期 t=50， 由正弦函

27、数性质可知，a1， a2， ， a250， a26， a27， ， a500， f（n）=单调递减，a25， a26 a50都为负数，但是 |a25|a1， |a26| a2， ， |a49|a24， 从而可判断解答：解：由于f（n）=sin的周期 t=50 由正弦函数性质可知，a1， a2， ， a250， a26， a27， ， a500 且 sin， sin 但是 f（n）=单调递减a25， a26 a50都为负数，但是 |a25|a1， |a26|a2， ， |a49|a24s1， s2， ， s25中都为正，而 s26， s27， ， s50都为正同理 s1， s2， ， s75都为

28、正，s1， s2， ， s75， ， s100都为正，故选 d 点评： 本题主要考查了三角函数的周期的应用，数列求和的应用，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用三、解答题（共5 小题，满分 74 分）19 （2019?上海） 如图， 在四棱锥p abcd 中， 底面 abcd 是矩形，pa底面 abcd ，e 是 pc 的中点，已知 ab=2 ， ad=2， pa=2， 求：（1）三角形pcd 的面积；（2）异面直线bc 与 ae 所成的角的大小考点 ： 直线与平面垂直的性质；异面直线及其所成的角。专题 ： 证明题；综合题。分析： （1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形pcd 是以 d

29、 为直角顶点的直角三角形，然后在rtpad 中，利用勾股定理得到pd=2， 最后得到三角形pcd 的面积 s；（2）解法一 建立如图空间直角坐标系，可得 b、c、e 各点的坐标，从而=（1， 1） ，=（0， 2， 0） ， 利用空间向量数量积的公式，得到与夹角 满足： cos =， 由此可得异面直线 bc 与 ae 所成的角的大小为；解法二 取 pb 的中点 f， 连接 af、ef， pbc 中，利用中位线定理，得到 efbc， 从而 aef或其补角就是异面直线bc 与 ae 所成的角，然后可以通过计算证明出：aef 是以 f 为直角顶点的等腰直角三角形，所以 aef=， 可得异面直线bc

30、与 ae 所成的角的大小为解答： 解： （1） pa底面 abcd ， cd?底面 abcd ，cdpa 矩形 abcd 中，cdad ， pa、ad 是平面 pdc 内的相交直线cd平面 pdc pd?平面 pdc， cd pd， 三角形 pcd 是以 d 为直角顶点的直角三角形rtpad 中，ad=2， pa=2，pd=2三角形 pcd 的面积 s= pd dc=2（2）解法一 如图所示，建立空间直角坐标系，可得 b（2， 0， 0） ， c（2， 2， 0） ， e（1， 1）=（1， 1） ，=（0， 2， 0） ，设与夹角为 ， 则 cos = =， 由此可得异面直线bc 与 ae

31、所成的角的大小为解法二 取 pb 的中点 f， 连接 af、ef、ac，pbc 中，e、f 分别是 pc、 pb 的中点ef bc， aef 或其补角就是异面直线bc 与 ae 所成的角rtpac 中，pc=4 ae=pc=4 在aef 中，ef=bc=， af=pb=af2+ef2=ae2， aef 是以 f 为直角顶点的等腰rtaef=， 可得异面直线bc 与 ae 所成的角的大小为点评： 本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题20 （2019?上海）已知f（ x）=lg （x+1）（1）若 0f（

32、1 2x） f（ x） 1， 求 x 的取值范围；（2）若 g（x）是以 2 为周期的偶函数，且当 0 x 1 时，g（x）=f（x） ， 求函数 y=g（ x）（x1， 2）的反函数考点 ： 函数的周期性；反函数；对数函数图象与性质的综合应用。专题 ： 计算题。分析： （1）应用对数函数结合对数的运算法则进行求解即可；（2）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解解答：解： （1）由解得： 1x1由 0lg（22x） lg（x+1）=lg1 得： 110，x+10， x+122x10 x+10，由得：（2）当 x1， 2时， 2x0， 1，y=g（x）=g（x2） =g（2x）=f（ 2x）=l

33、g （3x） ，由单调性可知y0， lg2，又x=310y，所求反函数是y=310 x， x0， lg2点评： 本题考查对数的运算以及反函数与原函数的定义域和值域相反等知识，属于易错题21 （2019?上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度） ， 则救援船恰好在失事船正南方向12 海里 a 处，如图，现假设： 失事船的移动路径可视为抛物线； 定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援； 救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t （1）当 t=0.5 时，写出失事船所在位置p 的纵坐标，若此时两船恰好会

34、合，求救援船速度的大小和方向（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？考点 ： 圆锥曲线的综合。专题 ： 应用题。分析：（1）t=0.5 时， 确定 p的横坐标，代入抛物线方程中， 可得 p 的纵坐标，利用 |ap|=，即可确定救援船速度的大小和方向；（2）设救援船的时速为v 海里，经过 t 小时追上失事船，此时位置为（ 7t， 12t2） ， 从而可得vt=， 整理得， 利用基本不等式，即可得到结论解答：解： （1） t=0.5 时，p 的横坐标xp=7t=， 代入抛物线方程中，得 p的纵坐标yp=3 2 分由|ap|=， 得救援船速度的大小为海里 /时 4分由 tanoap=， 得

35、oap=arctan， 故救援船速度的方向为北偏东arctan 弧度 6 分（2）设救援船的时速为v 海里，经过 t 小时追上失事船，此时位置为（7t， 12t2） 由 vt=， 整理得 10 分因为， 当且仅当 t=1 时等号成立，所以 v2 144 2+337=252， 即 v 25因此，救援船的时速至少是25 海里才能追上失事船 14 分点评： 本题主要考查函数模型的选择与运用选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题23 （2019?上海）对于数集x= 1， x1， x2， ， xn ， 其中 0 x1 x2 xn， n 2，定义向量集y=（ s， t） ， sx， tx ，

36、若对任意， 存在， 使得， 则称 x 具有性质p例如 1， 1， 2具有性质p（1）若 x2， 且1， 1， 2， x 具有性质p， 求 x 的值；（2）若 x 具有性质p， 求证： 1x， 且当 xn1 时，x1=1；（3）若 x 具有性质p， 且 x1=1、x2=q（q 为常数）， 求有穷数列x1， x2， ， xn的通项公式考点 ： 数列与向量的综合；元素与集合关系的判断；平面向量的综合题。专题 ： 计算题；证明题；综合题。分析：（1）在 y 中取=（x， 2） ， 根据数量积的坐标公式，可得 y 中与垂直的元素必有形式（1，b） ， 所以 x=2b， 结合 x2， 可得 x 的值（2）

37、取=（x1， x1） ，=（s， t）根据， 化简可得 s+t=0， 所以 s、t 异号而 1是数集 x 中唯一的负数，所以 s、 t 中的负数必为1， 另一个数是1， 从而证出1x， 最后通过反证法，可以证明出当xn1 时，x1=1（3）解法一 先猜想结论： xi=qi1， i=1， 2， 3， ， n记 ak1， x1， x2， ， xk， k=2，3， ， n， 通过反证法证明出引理：若ak+1具有性质p， 则 ak也具有性质p最后用数学归纳法，可证明出xi=qi1， i=1， 2， 3， ， n；解法二 设=（s1， t1） ，=（ s2， t2） ， 则等价于， 得到一正一负的特征，

38、再记 b=|sx， tx 且|s|t|，则可得结论： 数集 x 具有性质 p， 当且仅当数集b 关于原点对称 又注意到 1 是集合 x 中唯一的负数，b （ ， 0）= x2， x3， x4， ， xn， 共有 n1 个数，所以 b （0+）也有 n1 个数最后结合不等式的性质，结合三角形数阵加以说明，可得= =， 最终得到数列的通项公式是xk=x1? （）k1=qk1， k=1， 2， 3， ， n解答：解： （1）选取=（x， 2） ， 则 y 中与垂直的元素必有形式（1， b） ， 所以 x=2b ，又x2， 只有 b=2， 从而 x=4（2）取=（x1， x1）y， 设=（s， t）y

39、， 满足， 可得（ s+t）x1=0， s+t=0，所以 s、t 异号因为 1 是数集 x 中唯一的负数，所以 s、t 中的负数必为1， 另一个数是1， 所以 1x，假设 xk=1， 其中 1k n， 则 0 x11xn再取=（ x1， xn） y， 设=（s， t）y， 满足， 可得 sx1+txn=0，所以 s、t 异号，其中一个为 1 若 s=1， 则 x1=txn1 x1， 矛盾； 若 t=1， 则 xn=sx1s xn， 矛盾；说明假设不成立，由此可得当xn1 时，x1=1（2）解法一 猜想： xi=qi1， i=1， 2， 3， ， n 记 ak 1， x1， x2， ， xk，

40、k=2， 3， ， n 先证明若ak+1具有性质p， 则 ak也具有性质p任取=（ s， t） ， s、tak， 当 s、t 中出现 1 时， 显然有满足当 s、t 中都不是 1 时，满足 s 1 且 t 1因为 ak+1具有性质p， 所以有=（s1， t1） ， s1、t1 ak+1， 使得， 从而 s1、t1其中有一个为 1 不妨设 s1=1，假设 t1ak+1， 且 t1?ak， 则 t1=xk+1由（ s， t） （ 1， xk+1）=0， 得 s=txk+1 xk+1， 与 sak矛盾所以 t1ak， 从而 ak也具有性质p再用数学归纳法，证明 xi=qi1， i=1， 2， 3，

41、， n 当 n=2 时，结论显然成立；假设当 n=k 时，ak 1， x1， x2， ， xk具有性质 p， 则 xi=qi1， i=1， 2， ， k 当 n=k+1 时，若 ak+11， x1， x2， ， xk+1具有性质 p， 则 ak1， x1， x2， ， xk具有性质p，所以 ak+1 1， q， q2， ， qk1， xk+1取=（xk+1， q） ， 并设=（ s， t）y， 满足， 由此可得s=1 或 t=1 若 t= 1， 则 xk+1=， 不可能所以 s=1， xk+1=qt=qj qk且 xk+1 qk1， 因此 xk+1=qk综上所述，xi=qi1， i=1 ， 2， 3， ， n 解法二 设=（s1， t1） ，=（ s2， t2