北京四中九年级期中数学试卷

1、北京四中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一挑选题（每题4 分，共 32 分）21（ 4 分）（ 2021 秋.相城区期末）抛物线y=（ x1） 4 的顶点坐标是（）a （ 1， 4）b （1， 4）c （ 1， 4）d （ 1， 4）考点 ：二 次函数的性质分析：已 知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标2解答：解 ：抛物线y=（ x 1） 4 为顶点式，抛物线顶点坐标为（1， 4）应选 b点评：抛 物线解析式的顶点式：y=a （ x h） 2+k，顶点坐标为（h， k）2（ 4 分）（2021.怀化）在rtabc中， c=90°， sina=，就 cosb 的值等于

2、（）abcd考点 ：互 余两角三角函数的关系分析：在 rtabc中， c=90°，就 a+b=90°，依据互余两角的三角函数的关系就可以求解解答：解 ：在 rtabc中， c=90°， a+b=90°， 就 cosb=sina=应选 b点评：本 题考查了互余两角三角函数的关系在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等3（ 4 分）（2021.河北区三模）如图，在.abcd中， e 为 cd上一点，连接ae、bd，且 ae、 bd交于点 f， de： ec=2： 3，就 sdef：sabf=（）a 2： 3b 4： 9c 2：5d 4： 25考点 ：相

3、似三角形的判定与性质；平行四边形的性质专题 ：计 算题分析：根 据已知可得到相像三角形，从而可得到其相像比，再依据相像三角形的面积比等于相像比的平方就可得到答案解答：解 ：如图，四边形abcd是平行四边形，dcab， cd=ab dfe bfa，22sdef： sabf=de： ab ，de： ec=2： 3，de： dc=de： ab=2： 5，sdef： sabf=4： 25应选： d点评：本 题考查的是相像三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相像三角形边长的比等于相像比，面积的比等于相像比的平方是解答此题的关键4（ 4 分）（2021.孝感）在平面直角坐标系中，已知点e（ 4，2）

4、，f（ 2， 2），以原点o为位似中心，相像比为，把 efo 缩小，就点e 的对应点e的坐标是（）a （ 2， 1）b （ 8， 4）c （ 8， 4）或（ 8，d （ 2， 1）或（ 2， 4） 1）考点 ：位 似变换；坐标与图形性质分析：根 据题意画出相应的图形，找出点e 的对应点e的坐标即可解答：解 ：依据题意得：就点 e 的对应点e的坐标是（2， 1）或（ 2， 1）应选 d点评：此 题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相像的特别形式，位似比等于相像比，其对应的面积比等于相像比的平方5（ 4 分）（2021.常州）二次函数y=ax2+bx+c（ a、b、c 为常数且a0）中的

5、x 与 y 的部分对应值如下表：x 32 1012345y1250 3 4 30512给出了结论：2（1）二次函数y=ax +bx+c 有最小值，最小值为3；（2）当时， y 0；2（3）二次函数y=ax +bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧就其中正确结论的个数是（）a 3b 2c 1d 0考点 ：二 次函数的最值；抛物线与x 轴的交点专题 ：压 轴题分析：根 据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后依据二次函数的性质对各小题 分析判定即可得解解答：解 ；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1 ，所以，当x=1 时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值

6、，最小值为4；故（ 1）小题错误；依据表格数据，当1 x 3 时， y 0，所以， x 2 时， y 0 正确，故（ 2）小题正确；2二次函数y=ax +bx+c 的图象与x 轴有两个交点，分别为（1，0）（ 3，0），它们分别在 y 轴两侧，故（ 3）小题正确；综上所述，结论正确选项（2）（ 3）共 2 个应选 b点评：本 题考查了二次函数的最值，抛物线与x 轴的交点，认真分析表格数据，娴熟把握二次函数的性质是解题的关键6（ 4 分）（2021.聊城）如图，d 是 abc的边 bc上一点，已知ab=4， ad=2 dac=b，如 abd的面积为a，就 acd的面积为（）a abcda考点 ：

7、相 似三角形的判定与性质专题 ：压 轴题分析：首 先证明 acd bca， 由相像三角形的性质可得：acd的面积： abc的面积为1： 4，由于 abd 的面积为a，进而求出 acd 的面积解答：解 ： dac=b， c=c， acd bca，ab=4， ad=2， acd的面积： abc 的面积为 1： 4， acd的面积： abd 的面积 =1：3， abd的面积为a， acd的面积为a， 应选 c点评：本 题考查了相像三角形的判定和性质：相像三角形的面积比等于相像比的平方，是中考常见题型7（ 4 分）（2021.东营）如定义：f （a，b）=（ a，b），g（ m，n）=（ m， n），

8、例如 f （ 1，2） =（ 1， 2）， g（ 4， 5） =（ 4， 5），就 g（ f （ 2， 3） =（）a （ 2， 3）b （ 2， 3）c （ 2， 3）d （ 2， 3）考点 ：点 的坐标专题 ：新 定义分析：根 据新定义先求出f （ 2， 3），然后依据g 的定义解答即可解答：解 ：依据定义， f （ 2， 3） =（ 2， 3），所以， g（ f （ 2， 3） =g（ 2， 3） =（ 2， 3）应选 b点评：本 题考查了点的坐标，读懂题目信息，把握新定义的运算规章是解题的关键28（ 4 分）（2021.鄂州）小轩从如下列图的二次函数y=ax +bx+c（a 0）的图象

9、中，观看得出了下面五条信息：ab 0； a+b+c 0； b+2c 0； a 2b+4c 0；你认为其中正确信息的个数有（）a 2 个b 3 个c 4 个d 5 个考点 ：二 次函数图象与系数的关系专题 ：压 轴题分析：由 抛物线的开口方向判定a 与 0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判定c 与 0 的关系，然后依据对称轴及抛物线与x 轴交点情形进行推理，进而对所得结论进行判定解答：解 ：如图，抛物线开口方向向下，a0对称轴x= =， b=a 0，ab 0故正确；如图，当x=1 时， y 0，即 a+b+c 0故正确；如图，当x=1 时， y=a b+c 0，2a 2b+2c 0，即 3b2b

10、+2c 0，b+2c 0 故正确；如图，当x=时， y 0，即ab+c 0a 2b+4c 0， 故正确；如图，对称轴x=，就故正确综上所述，正确的结论是，共5 个应选 d2点评：本 题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax +bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定二填空题（每题4 分共 16 分）9（ 4 分）（2006.江阴市自主招生）在 abc 中， c=90°， cosb=，a=，就 b=1考点 ：解 直角三角形分析：根 据三角函数的定义和特别角的三角函数值求解解答：解： c=90°， cosb=，b=3

11、0°，a=，tanb=，b=1点评：此 题考查三角函数的定义及应用210（ 4 分）（2021 秋.西城区校级期中）已知（3， m）、（ 1，m）是抛物线y=2x +bx+3 的两点，就 b=4考点 ：二 次函数图象上点的坐标特点专题 ：计 算题分析：由 于两点（ 3，m）、（1，m）的纵坐标相等，可得到它们是抛物线上的对称点，于是得到抛物线的对称轴为直线x= 1，再依据二次函数的性质得到= 1，然后解方程即可解答：解 ：（ 3， m）、（ 1， m）是抛物线y=2x 2+bx+3 的两点，抛物线的对称轴为直线x= 1， 而抛物线的对称轴为直线=，= 1，b=4故答案为4点评：本 题

12、考查了二次函数图象上点的坐标特点：二次函数图象上点的坐标满意其解析式也考查了二次函数的性质1211（ 4 分）（2006.大连）如图是二次函数y =ax 2+bx+c 和一次函数y =mx+n的图象，观看图象写出 y 2y1 时， x 的取值范畴2x1考点 ：二 次函数的图象；一次函数的图象专题 ：压 轴题分析：观 察图象可知， y 1 与 y 2 的两交点横坐标为2， 1；当 y 2y1 时，就是两图象交点之间的部分，可求此时x 的取值范畴解答：解 ：y1 与 y 2 的两交点横坐标为 2， 1，当 y2y1 时， y 2 的图象应在 y 1 的图象上面，即两图象交点之间的部分，此时 x 的

13、取值范畴是 2x1点评：此 题考查了同学从图象中读取信息的数形结合才能解决此类识图题，同学们要留意分析其中的“关键点”，仍要善于分析各图象的变化趋势12（ 4 分）（2021 秋.西城区校级期中）已知：二次函数y=ax2+bx+c 的图象如下列图，就ab0考点 ：二 次函数图象与系数的关系分析：根 据函数图象可得各系数的关系：a 0， b 0， c=0，就 ab 的正负即可判定解答：解 ：由函数图象可得各系数的关系：a 0， b 0， c=0，就 ab0点评：本 题考查了二次函数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判定三解答题（此题共30 分）13（ 5 分）（2021.郴州）运算：考点 ：实

14、 数的运算分析：本 题涉及零指数幂、乘方、 特别角的三角函数值、二次根式化简四个考点在运算时，需要针对每个考点分别进行运算，然后依据实数的运算法就求得运算结果解答：解：原式 =2+2+12××=2点评：本 题主要考查了实数的综合运算才能，是各地中考题中常见的运算题型解决此类题目的关键是熟记特别角的三角函数值，娴熟把握负整数指数幂、零指数幂、 二次根式、肯定值等考点的运算14（ 5 分）（ 2021 秋.西城区校级期中）如图，正abc中， ade=60°，（1）求证： abd dce；（2）如 bd=2， cd=4，求 ae的长考点 ：相 似三角形的判定与性质；等边

15、三角形的性质分析：（ 1）由等边三角形的性质可得：b=c=60°，再证明 bad=edc，从而证明：abd dce；（ 2）利用（ 1）中的三角形相像，可得到关于ce， bd的比利式，继而求出ce的长，ae 即可求 解答：（ 1）证明： abc是等边三角形， b=c=60°， bad+adb=12°0 ， ade=60°， bda+edc=12°0 ， bad=edc， abd dce；（ 2）解： abd dce，ab： cd=bd： ce，bd=2， cd=4，6： 4=2： ce，ce= ，ae=ab ce=点评：本 题考查了相像三角形的

16、判定和性质，题目比较简洁，是中考常见题型15（ 5 分）（ 2021 秋.西城区校级期中）如图，为了测量某建筑物 ab的高度，在平地上 c 处测得建筑物顶端 a 的仰角为 30°，沿 cb方向前进（ 9 9）m到达 d处，在 d 处测得建筑物顶端 a 的仰角为 45°，求该建筑物 ab 的高度考点 ：解 直角三角形的应用- 仰角俯角问题分析：设 ab=x，在 rtabc中表示出bc，在 rtabd中表示出bd，再由 cd=（ 9 9） m，可得出方程，解出即可解答：解 ：设 ab=x，在 rtabc中， bc=abcotacb=x ，在 rtabd中， bd=abcotad

17、b=x，就x x=（ 9 9），解得： x=9 答：建筑物ab的高度为9 米点评：本 题考查明白直角三角形的应用，解答此题的关键是娴熟把握锐角三角函数的定义216（ 5 分）（ 2021 秋.西城区校级期中）已知抛物线y=x 2kx+3k+4 （1）顶点在y 轴上时， k 的值为0（2）顶点在x 轴上时， k 的值为4 或 1（3）抛物线经过原点时，k 的值为考点 ：二 次函数的性质分析：（ 1）顶点在y 轴上，就b=0，由此求解；2（ 2）顶点在x 轴上，就b 4ac=0 ，由此可以列出有关k 的方程求解即可；（ 3）抛物线经过原点，就c=0 ，由此求解2解答：解 ：（ 1）抛物线y=x 2

18、kx+3k+4 顶点在 y 轴上， 2k=0， 解得： k=0 ；2（ 2）抛物线y=x 2kx+3k+4 顶点在 y 轴上，2b 4ac=0，2（ 2k） 4×1×（ 3k+4） =0， 解得： k=4 或 k= 1；2（ 3）抛物线y=x 2kx+3k+4 经过原点，3k+4=0，解得： k=，故答案为： 0； 4 或 1；点评：本 题考查了二次函数的性质，娴熟把握二次函数的有关性质是解决此类题的关键17（ 5 分）（2021.盐城）已知二次函数y= x 2 x+（1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）依据图象，写出当y 0 时， x 的取值范畴；（3）如

19、将此图象沿x 轴向右平移3 个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式考点 ：二 次函数的图象；二次函数图象与几何变换专题 ：应 用题；作图题分析：（ 1）依据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x 、y 轴交点坐标即可画出图象，（ 2）依据图象即可得出答案，（ 3）依据图象平移“左加右减、上加下减”特点即可写出函数解析式解答：解：（ 1）二次函数的顶点坐标为：x= 1， y=2，当 x=0 时， y=，当 y=0 时， x=1 或 x= 3，图象如图：（ 2）据图可知：当y 0 时， x 3，或 x 1；（ 3） y=x 2 x+=（ x+1） 2+2依据二次函数图象移动特点，此图象沿x 轴向

20、右平移3 个单位， 平移后图象所对应的函数关系式：y=（ x 2）2+2点评：本 题主要考查了依据解析式画函数图象、二次函数图象特点、函数图象平移原就，难度适中18（ 5 分）（2006.上海）已知：如图，在abc中， ad是边 bc上的高， e 为边 ac的中点， bc=14， ad=12， sinb=求：（ 1）线段 dc的长；（2）tan edc的值考点 ：解 直角三角形；直角三角形斜边上的中线专题 ：计 算题分析：（ 1）在 rtabd中，依据已知条件求出边ab的长， 再由 bc的长， 可以求出 cd的长；（ 2）依据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出c=edc，从而求出c

21、的正切值即求出了tan edc的值解答：解 ：（ 1） ad 是 bc边上的高， abd 和 acd是 rt，在 rtabd中，sinb=，ad=12，ab=15，bd=，又 bc=14，cd=5；（ 2）在 rtacd中，e为斜边 ac的中点，ed=ec= ac， c=edc，tan edc=tanc=点评：此 题要敏捷应用三角函数公式和解直角三角形的公式，同时仍要把握“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半“等学问点四、解答题（此题共20 分， 19、20 每道题 5 分 21 题 6 分 22 题 4 分）19（ 5 分）（2021.株洲）如图，直角 abc中， c=90°，

22、点 p 为边 bc上一动点， pdab， pd交 ac于点 d，连接 ap（1）求 ac、bc的长；（2）设 pc的长为 x， adp的面积为 y 当 x 为何值时， y 最大，并求出最大值考点 ：二 次函数的最值；勾股定理；相像三角形的判定与性质专题 ：综 合题；压轴题分析：（ 1）在 rtabc中，依据b 的正弦值及斜边ab的长， 可求出 ac的长，进而可由勾股定理求得bc的长；（ 2）由于 pdab，易证得 cpd cba，依据相像三角形得出的成比例线段，可求出 cd的表达式，也就求出ad的表达式，进而可以ad为底、 pc为高得出 adp 的面积，即可求出关于y 、x 的函数关系式，依据

23、所得函数的性质，可求出y 的最大值及对应的 x 的值解答：解：（ 1）在 rtabc中，得，ac=2，依据勾股定理得：bc=4；（3 分）（ 2） pdab， abc dpc，；设 pc=x，就，当 x=2 时， y 的最大值是1 （ 8 分）点评：此 题主要考查明白直角三角形、相像三角形的判定和性质、二次函数的应用等学问20（ 5 分）（ 2021 秋.西城区校级期中）如图，直线y=3x 和 y=2x 分别与直线x=2 相交于点2a、b，将抛物线y=x 沿线段 ob移动，使其顶点始终在线段ob上，抛物线与直线x=2 相交于点 c，设 aoc的面积为s，求 s 的取值范畴考点 ：二 次函数图象

24、与几何变换分析：要 求 aoc的面积，先用a 表示出 ac的长度， ac边上的高等于的面积 =，然后整理出面积和a 的函数关系式，求出2，所以三角形s 的范畴aoc2解答：解 ：设抛物线平移到顶点p（ a， 2a）处，其解析式为y= （ x a） +2a 与直线 x=2 的2交点 c（ 2，（ 2a） +2a），a（ 2， 6）2ac=6（ 2 a） 2a，2s=26 （ 2 a） 2a/22=6 4+4a a 2a2= a +2a+2当 0a2时，有最大值：a=1 时， s 最大 =3；当 a=0 或 2 时 s 最小 =2故 s 的取值范畴是2s3点评：主 要考查二次函数的性质，依据二次函

25、数的性质求最值21（ 6 分）（2021.武汉）某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210件；假如每件商品的售价每上涨1 元，就每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元）设每件商品的售价上涨x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为y 元（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范畴；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？依据以上结论，请你直接写出售价在什么范畴时，每个月的利润不低于2200 元？考点 ：二 次函数的应用专题 ：综 合题分析：（

26、 1）依据题意可知y 与 x 的函数关系式（ 2）依据题意可知y= 10（ x 5.5 ） 2+2402.5 ，当 x=5.5 时 y 有最大值（ 3）设 y=2200 ，解得 x 的值然后分情形争论解解答：解 ：（ 1）由题意得：y=（210 10x）（ 50+x 40）2= 10x +110x+2100（ 0x15 且 x 为整数）；2（ 2）由（ 1）中的 y 与 x 的解析式配方得：y= 10（ x 5.5 ） +2402.5 a= 10 0，当 x=5.5 时， y 有最大值2402.5 0x15，且x 为整数，当 x=5 时， 50+x=55， y=2400 （元），当 x=6 时

27、， 50+x=56， y=2400（元）当售价定为每件55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400 元（ 3）当 y=2200 时， 10x2+110x+2100=2200 ，解得： x1=1， x2=10当 x=1 时， 50+x=51，当 x=10 时， 50+x=60当售价定为每件51 或 60 元，每个月的利润为2200 元当售价不低于51 或 60 元，每个月的利润为2200 元当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时，每个月的利润不低于2200 元（或当售价分别为51，52， 53，54， 55，56， 57， 58， 59，60 元时，每个月的利润不低于22

28、00 元）点评：本 题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，是一道综合题22（ 4 分）（ 2021 秋.西城区校级期中）当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中2的字母取值的不同， 抛物线的顶点坐标也将发生变化例如：由抛物线y=x2 2mx+m2+2m1有 y=（ x m） +2m1，所以抛物线顶点坐标为（m，2m 1），即 x=m， y=2m1当 m的值变化时， x ， y 的值也随之变化，因而y 的值也随x 值的变化而变化将代入，得 y=2x 1可见，不论m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满意关系式： y=2x 1；（1）依据上述阅读材料供应的方法，确定点

29、（2m， m1）满意的函数关系式为y=x12（2）依据阅读材料供应的方法，确定抛物线y=x x+1+m+顶点的纵坐标y 与横坐标 x之间的关系式考点 ：二 次函数的性质分析：（ 1）令 x=2m， y=m1， 由得出m=x，将代入， 即可确定点 （ 2m， m 1）满意的函数关系式；（ 2）依据材料提示，先把抛物线解析式配方成顶点式，写出顶点的表达式，再消掉字母 m即可得到顶点的纵坐标y 与横坐标 x 之间的关系式解答：解 ：（ 1）令 x=2m， y=m1，由得 m=x，将代入，得y=x 1，即点（ 2m， m1）满意的函数关系式为y=x 1故答案为y= x 1；2（ 2） y=x x+1+

30、m+2=（ x x+） +m+1=（ x ） 2+m+1，抛物线的顶点坐标为（， m+1），设顶点为p（ x ，y），就 x=， y=m+1，由得出m= ，将代入，得y=+1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式为y=+1点评：本 题考查了二次函数的性质，函数解析式一般形式与顶点式的转化，读懂材料供应的信息，写出顶点的坐标，并会消掉字母m是解题的关键，敏捷性较强，有创意五、解答题（此题共22 分，第 23 题 6 分，第 24 题 7 分，第 25 题 9 分）23（ 6 分）（2021.黔东南州）已知二次函数y=x2 +ax+a 2（1）求证：不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交

31、点；（2）设 a 0，当此函数图象与x 轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的解析式；（3）如（ 2）中二次函数图象与x 轴交于 a、b 两点， 在函数图象上是否存在点p，使得 pab的面积为？如存在，求出p 点坐标；如不存在，请说明理由考点 ：抛 物线与 x 轴的交点专题 ：压 轴题2分析：（ 1）由判别式 =b 4ac 可证明 a 为任一实数（ 2）先求出两根之和及两根之积的值，再利用两点距离公式求解（ 3）利用第2 小题中两个交点的距离为来进行运算解答：解 ：（ 1）由于 =a2 4（ a 2） =（ a 2）2+40，所以不论a 为何实数，此函数图象与x 轴总有两个交点2（ 2）设

32、x1、x2 是 y=x +ax+a 2=0 的两个根，就x 1+x2= a， x 1.x2=a 2，因两交点的距离是，所以2即：（ x1x 2） =13变形为：（ x1+x2）2 4x1.x2=13即（ a） 2 4（ a 2） =13 整理得：（ a 5）（ a+1） =0解方程得： a=5 或 1又 a 0a= 12此二次函数的解析式为y=x x 3（ 3）设点 p 的坐标为（ x0， y0），函数图象与x 轴的两个交点间的距离等于，ab=spab=ab.|y 0|=即： |y 0|=3 ，就 y0=±32当 y0=3 时， x0 x0 3=3，即（ x 0 3）（ x 0+2）

33、=0解此方程得：x 0=2 或 32当 y0= 3 时， x0 x 0 3= 3，即 x 0（ x 0 1） =0解此方程得：x 0=0 或 1（ 11 分）综上所述，所以存在这样的p 点， p 点坐标是（ 2，3），（ 3，3），（ 0， 3）或（ 1， 3）点评：要 求熟识二次函数与一元二次方程的关系和坐标轴上两点距离公式|x 1 x 2| ，并娴熟运用24（ 7 分）（2021.牡丹江）已知 acd=9°0 ，mn是过点 a 的直线， ac=dc，dbmn于点 b，如图（ 1）易证 bd+ab=cb，过程如下：过点 c 作 cecb 于点 c，与 mn交于点 e acb+bcd

34、=9°0 ， acb+ace=90°， bcd=ace四边形acdb内角和为360°， bdc+cab=18°0 eac+cab=18°0 ， eac=bdc又 ac=d，c ace dcb， ae=db，ce=cb， ecb为等腰直角三角形， be=cb又 be=ae+a，b be=bd+a，b bd+ab=cb（1）当 mn绕 a 旋转到如图（2）和图（ 3）两个位置时，bd、ab、 cb满意什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）赐予证明（2） mn在绕点 a 旋转过程中，当 bcd=3°0 ，bd=时，就 cd= ， cb=

35、 考点 ：全 等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质分析：（ 1）过点 c 作 cecb 于点 c，与 mn交于点 e，证明 ace dcb，就 ecb为等腰直角三角形，据此即可得到be=cb，依据 be=ab ae即可证得；（ 2）过点 b 作 bhcd 于点 h，证明 bdh是等腰直角三角形，求得dh的长，在直角bch中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得解答：解 ：（ 1）如图（ 2）： abbd=cb证明：过点c作 cecb 于点 c，与 mn交于点 e， acd=9°0 ， ace=90° dce， bcd=9&#

36、176;0 ecd， bcd=acedbmn， cae=90° afc， d=90° bfd， afc=bfd， cae=d，又 ac=d，c ace dcb，ae=db， ce=cb， ecb为等腰直角三角形，be=cb又 be=ab ae，be=ab bd，ab bd=cb如图（ 3）： bdab=cb证明：过点c作 cecb 于点 c，与 mn交于点 e， acd=9°0 ， ace=90°+acb， bcd=9°0 +acb， bcd=acedbmn， cae=90° afb， d=90° cfd， afb=cfd，

37、 cae=d，又 ac=d，c ace dcb，ae=db， ce=cb， ecb为等腰直角三角形，be=cb又 be=ae ab，be=bd ab，bd ab=cb（ 2） mn在绕点 a 旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情形，综合了第一个图和其次个图两种情形如是第 1 个图：易证 ace dcb，ce=cb， ecb为等腰直角三角形， aec=45°=cbd，过 d 作 dhcb就 dhb 为等腰直角三角形 bd=bh，bh=dh=1直角 cdh中， dch=3°0 ，cd=2dh=，2 ch=cb=+1如是其次个图：过d 作 dhcb 交 cb延长线于h解法类似

38、上面，cd=2，但是 cb= 1点评：本 题考查了全等三角形的性质和判定的应用，留意：全等三角形的判定定理有sas， asa， aas， sss，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等225（ 9 分）（2021.广安）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线y=ax +bx+c 经过 a、b、c三点，已知点a（ 3， 0），b（ 0， 3）， c（ 1，0）（1）求此抛物线的解析式（2）点 p是直线 ab上方的抛物线上一动点，（不与点a、b 重合），过点 p 作 x 轴的垂线，垂足为 f，交直线ab于点 e，作 pdab 于点 d动点 p 在什么位置时， pde 的周长最大，求

39、出此时p 点的坐标；连接 pa，以 ap为边作图示一侧的正方形 apmn，随着点 p 的运动， 正方形的大小、 位置也随之转变当顶点 m或 n 恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的 p 点的坐标（结果保留根号）考点 ：二 次函数综合题专题 ：代 数几何综合题；压轴题分析：（ 1）把点 a、b、c 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（ 2）依据点a、b 的坐标求出oa=o，b 从而得到 aob 是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质可得bao=4°5 ，然后求出 ped是等腰直角三角形，依据等腰直角三角形的性质，pd越大， pde 的周长最大，再判定出当与直线ab平行的直线与抛物线只有一个交点时，pd最大，再求出直线ab的解析式为y=x+3 ，设与 ab平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x 的一元二次方程， 利用根的判别式 =0列式求出m的值，再求出x 、y 的值，从而得到点p 的坐标；先确定出抛物线的对称轴，然后（i ）分点 m在对称轴上时，过点p 作 pq对称轴于 q，依据同角的余角相等求出apf=qp