第9-12周作业答案_918807116

1、1.9 两个同心均匀带电球面, 半径分别为R1、R2 . 已知外球面电荷面密度为+s , r > R2处E º 0 .求：(1)内球面电荷面密度s 1 (2)两球面之间r处电场E (3) r < R1处E 解：(1) 此为球对称场. 由r > R2处E º 0和高斯定理 , 两球面上总电量=0 s1 = - (R2/R1)2 s(2) R2 > r > R1时 E = - Q r / (4pe0 r3) = - R22s r / (e0 r 3)(3) r < R1时 , E = 01.11 H核外电荷体密度r= -e a1=5.29&#

2、180;10 -11 m求：(1)核外总电量q (2) r处电场E解；(1) q = ò r dV = -òe4pr2 dr = - e (2)核外电荷为球对称分布, 核外电荷 r处电场等于半径为r的球体内电荷(设为q内)集中在原点的点电荷的电场. 此外原点处还有核电荷+e q总= q内+eE= q总r/(4pe0 r3)=e r (2r2/a12+2r/a1+1)e/(4pe0 r3) -qABODCqll1.15 AO=OB=l=半径, q>0. (1)把单位正电荷从O沿圆弧OCD到D点, 求电场力对其做功; (2) 把单位负电荷从D沿AD延长线移到无限远, 求电

3、场力对其做功.解: (1) q对正电荷的作用力与位移垂直, 作功为零静电场力做功与路程无关, 所以q对正电荷做功等于从O直接到D做功W=òFdr=òqdr/(4pe0 r2)= q/(6pe0 l)(2) W=-òqdr/(4pe0 r2)+ òqdr/(4pe0 r2) =-q/(12pe0l )+q/(4pe0l )=q/(6pe0 l)说明: 只要是将单位负电荷从O移到无限远, 电场力对其做功都是q/(6pe0 l), 与具体过程无关.1.19 长直共轴内外圆筒,半径为a、b, 其上电荷均布线密度为l、-l .求：(1)U分布 (2)内外圆筒的DU

4、解：(1)由场的对称性E=Er (柱坐标r,f,z) 由高斯定理 r>b 时E=0 , 该区域与¥等电势 U=0 b>r >a时E=Er=l/(2pe0r) U(r)=òErdr=l(2pe0l) -1 ln(b/r) a>r 时E=0 U(r)=U(a)=l(2pe0)-1 ln(b/a)(2) DU=U(a) - U(b)=U(a)=l(2pe0)-1 ln(b/a)1.20 设H原子基态时核外电荷为球对称分布，电荷密度为r(r)=-qe-2r/a/(pa3), 其中q为电子电量(大小)、a为波尔半径。求：(1)核外电荷产生的电场电位；(2)全部

5、电荷产生的电场电位。解：建立如图坐标，取核为原点O. 核为质子，电量q.(1) 取dv=r2sinqdrdqdfU(核外电荷)=òr(r)dV/(4pe0z)=òr(r)dfòr2dròsinq dq/(r2+r2-2rrcosq)1/2qdVr'rzOqzP=òr(r)r2dr(r2+r2-2rrcosq)1/2/rr=òr(r)r2(r+r)-ïr-rïdr/rr=òr(r)r2dr/r+òr(r)rdr= -(2r2/a2+2r/a+1)e-2r/a-1+(2r/a+1)e-2r/

6、a=(1/a+1/r)e-2r/a-1/r(2) U=U(核外电荷)+U(核电荷)=U(核外电荷)+q/(4pe0r) =(1/a+1/r)e-2r/a说明：还可以先由高斯定理计算出电场强度E，然后按定义计算电位UQOR1R2R3q2.2 如图， 半径为R1的导体球, 球外为同心导体球壳. 已知内球电位为零, 球壳带电Q. 求内球电量和球壳电位.解: 设内球电量为q. 则球壳内面电荷为-q、球壳外面电荷为(Q+q)于是内球电位为U球=(Q+q)(4pe0R3)-q/(4pe0R2)+q/(4pe0R1)=0Q/R3=q(1/R2-1/R1-1/R3)=0q=R1R2Q/(R1R3-R2R3-R

7、1R2)球壳电位为U壳=q/(4pe0R3)-q/(4pe0R3)+(Q+q)(4pe0R3)q1ACBRoqrPq2= (Q+q)(4pe 0R3)=(R1-R2)Q/4pe0(R1R3-R2R3-R1R2)说明: 上面多次应用均匀带电球面(q,R)的电位关系U球面内= U球面=q/(4pe0R) U球面外(r) =q/(4pe0r)2.5 半径为R的中性金属球A内有两个球形空腔B和C. q1、q2位于B、C的中心.OP=r>>R. 求：作用在A、q1、q2、q上静电力解：设B、C空腔表面均匀带电 -q1、-q2 ,使q1、-q1在B腔外的电场为零以及q2、-q2在C腔外的电场为

8、零.于是A球表面带电(q1+q2),这些电荷在表面上不均匀分布, 与q共同作用使整个球内电场为零。这样所有电荷的在金属内部的总电场为零，由唯一性定理, 上述假设电荷分布即为真正分布。q1、q2处外电场为零, 受力Fq1=Fq2=0由于r>>R A表面电荷可看作集中在o处的点电荷，即近似A球表面带电(q1+q2)在表面上不均匀分布FA= -Fq= q(q1+q2) r /(4pe0r3) 沿其连线为斥力2.9 三个共轴金属圆筒，长度都是l, 半径分别为a、b、c,里外两筒用导线连接为一极,中间筒为另一极.略去边缘效应,(1)求电容C (2)若l=10cm, a=3.9mm, b=4.

9、0mm, c=4.1mm求C解；设单位长度上里外筒各带l电量中间筒带电-2l, 电荷在圆筒表面均匀分布,满足金属内部电场为零的条件里、中间筒之间E1(r)=l / (2pe0r) 沿径向向外 DU1=l(2pe0) -1 ln(b/a)则里、中间筒构成的电容C1=ll /DU1=2pe0l / ln(b/a)类似外、中间筒构成的电容C2=2pe0l / ln(c/b)总电容C=C1+C2=2pe0l ln(b/a)+ln(c/b) / ln(b/a)× ln(c/b) =2pe0l ln(c/a) / ln(b/a)× ln(c/b)代入数值得：C=4.45´10

10、 -10 F=4.45´102 pF2.28 长直导线半径为a，线电荷密度为l, 产生的电位U(r)= -l ln r / 2pe0+ 常数 . b>>a .求: 导线与导体平面系统单位长度电容. 解：b>>a 按题义导线电荷分布不受导体影响均匀分布，电位分布如题中所给. 导线的镜像为 -l , 两根导线使导体表面电位为零则: 导线与导体间电场为E=lr (2pe0r)-1r-1+ (2b - r)-1导线与导体间电位差为bl-lrDU= òE dr=l (2pe0)-1 òr-1 + (2b - r)-1 dr = =l (2pe0)-1

11、 ln»l (2pe0)-1 ln(2b/a)单位长度电容c=l / DU = 2pe0 / ln(2b/a)zaq补2.2 均匀带电球体，半径a,带电q.求；左右两半球间斥力解；由对称性合力沿z轴. 设电荷体密度r=3q/(4pr3)则：E=rr/3e0 F=Fz=ò rE cosq dV=r2(3e0)-1 òr3dr òdf òsinqcosq dq =pr2a4/12e0=3q2/(64pe0a2)2.10 100°c和1atm下,饱和水蒸气r=598 g/m3 .H2O偶极矩p=6.2´10 -30 C×

12、m .求此时水蒸气的最大电极化强度 .解：水分子偶极矩全部排列整齐时其电极化强度P最大.最大P即为单位体积内所有水分子偶极矩之和Pmax=np=rNAp / 18 =1.24´10 -4 C×m 其中n为粒子数密度，NA=6.023´1023 /mol 为阿佛伽德罗常数a321a-q2q-q3.2 求：(1)每对电荷的W互 (2)整个系统的W互 解：(1)每对电荷的互能: W12= -q2 / = W23 W23 = q2 /(8pe0a)(2) 1处电势U1= (4pe0) -1 ( 2q /a - q /2a)=3q /(8pe0a)=U3 2处电势U2=(4

13、pe0) -1 ×2( -q /a) = -q /(2pe0a)W互=-q×2×3q /(8pe0a)+2q(-q) /(2pe0a)= -7q2/(8pe0a)3.4 设电子为球形,半径r,静质量m,静能mc2 .分别计算电子电荷均匀分布在球面上和球体内的半径r. 计算电子经典半径r0= e2/ (4pe0mc2)解：设电子的全部能量都是电场能, 即: We=mc2(1)设电荷均匀分布在球面上, E内=0 E外= -er/(4pe0r3)We=òe0E2dV=e0e2(4pe0)-2 ò4pr2dr =e2/(8pe0r) =mc2 则 r=

14、e2/(8pe0mc2)(2)设电荷均匀分布在球内, E内=rr/3e0 E外= -er/(4pe0r3)We=òe0E2dV=e0 òE内2 4pr2dr +òE外2 4pr2dr =e2/(40pe0r)+e2/(8pe0r)=3e2/(20pe0r)=mc2则：r=3e2/ (20pe0mc2) 其中r=3e / (4pr3)(3)代入数值 r0= e2/ (4pe0mc2)=2.81´10 -15 mq-qqr3r2r13.5 同心导体球和导体球壳如图.球壳中性,导体球带电q=3.0´10 -8 C , r1=5.0cm , r2=4.

15、0cm , r3=2.0cm .求: (1)系统电能We (2)若用导线将球、球壳连起,求We解：(1)球壳电势U壳=q /(4pe0r1) 球电势U球=q (4pe0)-1 (r1-1 - r2-1+r3-1) We=(q壳U壳+q球U球)=qU球=q2(8pe0)-1(r1-1-r2-1+r3-1) =1.8´10 -4 J ( q壳=0 , q球=q )(2)导线将球、球壳连起后,q分布在r1球面上,U壳不变We=qU壳=q2 /(8pe0r1)=8.1´10 -5 Jbaq-q3.8 半径为a的长直导线和内半径为b的导体圆筒构成圆柱形电容器. 证明: 电容器存储能量

16、的一半在半径为r=(ab)1/2的圆柱内解: 设电容器长h、带电±q电容器电容 C=2pe0h/ln(b/a)电容器储能 W=q2/2C=q2ln(b/a)/(4pe0h)电能密度 we=e0E2/2=q2/(8p2e0r2h2)ar圆柱内的电场能为W=ò wedV=òwe2prhdr=q2ln(r/a)/(4pe0h)将r=(ab)1/2代入得W=q2ln(b/a)/(8pe0h)=W/2证毕3.10 球形电容器如图, 求: 二球壳各自的自能、二球壳之间的互能、系统的总能量.OR1QR2-Q解: 带电体的自能是该带电体单独存在时的电能. 内、外球壳作为导体, 其

17、自能分别为W内自=W(Q)=QU内(Q)/2=Q2/(8pe0R1)W外自=W(-Q)= -QU外(-Q)/2=Q2/(8pe0R2)W互= QU内(-Q)/2+(-Q)U外(Q)/2 = -Q2/(8pe0R2)-Q2/(8pe0R2)= -Q2/(4pe0R2)W总=W电容器=Q2/2C=Q2(1/R1-1/R2) (8pe0) =Q2(R2-R1)/ (8pe0R1R2)= W内自+ W外自+ W互2.12 平行板电容器S=2.0m2, d=5.0mm. 电压U=104V.去掉电源，充入电介质.d1=2.0mm, d2=3.0mm, er1=5.0 , er2=2.0 . SE1DAE2

18、d2d1d求:(1)P1,P2 (2)负极接地,求U+ ,UA解: 无介质时 电容C0= e0S/d 有、无介质不影响自由电荷面密度 s0=Q0/S=C0U/S=e0U/d(1)在两介质中分别为匀强电场,E极板D也匀强且极板, 由D的高斯定理D=s0 (两介质中相同)P1=c1D /er1=(er1-1)s /er1=(er1-1)e0U/er1d=1.42´10 -5C/m2 P2=(er2- 1)e0U/er2d=8.85´10 -6 C/m2(2) E1=D/e0er1=s/e0er1=U/er1d E2=U/er2dUA=E2 d2=Ud2 /er2d =3.0&#

19、180;10 3 V U+=E1 d1+E2 d2=Ud1 /er1d+Ud2 /er2d =3.8´10 3 V注：本题也属于D=D0情况2.14 圆柱电容器,内为直导线，外为导体圆筒,中间电介质. 求：(1)介质中E、D、P、r、s (2)DU (3)电容C解：(1)D具有柱对称性，方向径向向外. 由D的高斯定理 D= l0r /2pr2 E=D/e=l0r /(2per2) P(r)=e0cE=e0(er -1)E=(e -e0)E=(e -e0)l0r /(2per2)=PrR1les2s1-l0l0R2E, D r= - c r0 /er= 0 (or r= -Ñ

20、×P= -(rPr) = 0 ) s1=P(R1)×= -(e - e0)l0 / (2peR1) s1=P(R2)×= (e - e0)l0 / (2peR2)(2) DU= òE dr =l0(2pe) -1 ln(R2 / R1)(3) C=Q0 / DU=l0l / DU=2pel / ln(R2 / R1)(此题取e为介电常数，而非相对介电常数)注：本题也属于D=D0情况2.15 球形电容器,其间有两层均匀介质(介电常数e1、e2),交界球面半径R. 求: (1)C (2)若内球带电-Q,求s解: (1)设内球带电-Q,为球对称场-QR1e2R

21、e1R2由D的高斯定理 rÎ(R1,R2) D(r)= - Qr /(4pr3) e1内: E1(r)=D/e1= - Qr /(4pe1r3) e2内: E2(r)=D/e2= - Qr /(4pe2r3)DU=òE2 dr+òE1 dr=-Q(4p)-1 òdr/(e2r)2+òdr/(e1r)2 =Qe1R1(R2 - R)+e2R2(R - R1) /(4pe1e2RR1R2) C=Q/DU=4pe1e2RR1R2 / e1R1(R2 - R)+e2R2(R - R1) =4pe1e2RR1R2 / R1R2(e1 - e2)+R(e2

22、R2 - e1R1)(2)由上P1(r)=e0c1E1=(e1 - e0)E1= - (e1 - e0)Qr /(4pe1r3) P2(r)= - (e2 - e0)Qr /(4pe2r3)R1表面上 s1=P1(R1) ×=(e1 - e0)Q /(4pe1R12) 介质交界面上 sR=P1(R) ×+P2(R) × = -(e1 - e0)Q /(4pe1R2)+(e2 - e0)Q /(4pe2R2) =e0(e2 - e1)Q /(4pe1e2R2) R2表面上 s2=P2(R2) ×= - (e2 - e0)Q /(4pe2R22)注：本题也属

23、于D=D0情况2.16 半径为a、b(a<b)的同心导体球壳之间充满非均匀介质, 介电常数为e=e0/(1+kr). 内球壳有电荷Q, 外球壳接地. 计算: (1)系统的电容; (2)介质内的极化电荷密度; (3) 球面上极化电荷面密度解: 由导体和电解质的球对称性, 电场分布亦为球对称D(r)=D(r)r E(r)=E(r)r选半径r(a<r<b)的球面为高斯面, 由D的高斯定理4pr2D=Q D=Q/(4pr2)E=D/e=(1+kr)Q/(4pe0r2)(1) 内外球壳电势差DU=U+-U=òEdr=òQ(1/r2+k/r)dr/(4pe0)=Q1/

24、a-1/b+k ln(b/a)/(4pe0)C=Q/DU=4pe0ab/b-a+kabln(b/a)(2) 极化强度P=D-e0E=(e-e0)E=-kQr/(4pr2)r=-Ñ×P=-¶r(r2Pr)=Qk/(4pr2)(3) s(a)=P(a)×1= kQ/(4pa)s(b)=P(b)×2= -kQ/(4pb)注：本题也属于D=D0情况2.19 两介质e1、e2分界面上自由电荷面密度为s0 (书上为s).求证: e2 cotq2 = e1 cotq1 1 - s0 /(e1E1cosq1)s0Dle2e1q1q2E2E1DS证明：如图高斯面

25、,由D的高斯定理得:D1n DS - D2n DS=s0 DS 即: D1n - D2n =s0 e1E1n - e2E2n = s0如图环路由环路定理得： E1t = E2t e2 cotq2 = e2 E2n /E2t= (e1E1n - s0) / E1t = e1 cotq1 - s0 / E1t = e1 cotq1 - s0 / (e1E1 sinq1)= e1 cotq11 - s0 /(e1E1cosq1)2.21 导体球(半径a, 自由电荷q0)外充满两种电介质如图. 求: 空间电场分布和导体球表面自由电荷分布.解：分界面沿原电场线方向。分界面上无电荷，导体表面总电荷均匀分布

26、，总电场E球对称. 选半径为r(>a)的同心球高斯面, 有 (球内电场=0)e1e2q0s02s01aD× dS=ò上 e1E× dS+ ò下 e2E× dS =2pr2(e1+e2)E=q0E =q0r /2p (e1+e2)r3=q0r /2pe0 (er1+er2)r3 (r>a) D1=e0er1E = er1q0r /2p (er1+er2)r3 D1=e0er2E = er1q0r /2p (er1+er2)r3选如图虚线高斯面 D×2pr2= s01×2pa2 s01=r2D1 / a2= er1q

27、0 /2p (er1+er2)a2类似得： s02=er2q0 /2p (er1+er2)a22.23 空气电容器接上电源,内部电场E0. (1)电容器内一半放入介质(e),问：A、B场强哪个大？与E0关系？ (2)充电eBAs02s01后，先断开电源再放入一半介质(e), 结果如何？解: 设放入介质后，电场方向不变, 可满足所要求的条件，由唯一性定理，所设正确两板极等电势 EA d=EB d 两种情况下都有EA=EB(1)放入介质前后电压不变 EA=EB =E0(2)放入介质前后总自由电荷不变 设未放介质时自由电荷面密度s0, 放介质后A、B两边自由电荷面密度分别为s01、s02则：(s01

28、+s02)S / 2 =s0 S s01+s02=2s0 (#)EA=EB 即 DA / e0er =DB / e0 ; 而 DA=s01 DB=s02 s01= er s02 代入(#)得：s02=2s0 / (er +1)EA=EB =s02 / e0=2s0 / e0(er +1) =2E0 / (er +1)3.11 长度L, 内外半径a、b的圆柱形电容器，充填电介质介电常数e. 与电位为V的电源连接, 拉出部分电介质. 求保持电介质不动所需力F外zaLezrbo解：设电介质拉出z. 总电容为空气电容与介质电容并联C = 2p e0z+e (L - z) / ln(b/a)W=W(z)

29、 =Q2/2C 孤立系统Q不变F=-(¶W/¶z)= = -p V2(e -e0 )/ ln(b/a)= - F外F外= p V2(e - e0 )/ ln(b/a)4.1 电荷均匀分布在半径为R的球体内.球体以w匀速转动. 求；球体内距转动轴r处电流密度的大小解：j=rv = rwr =3Qwr / (4pR3)4.5 在半径为a、b(a<b)的同心导体球壳之间添满电导率为s的导电介质, 求两球壳之间电阻R解: R=òdr/(4spr2)=(1/a-1/b)/ (4ps)=(b-a)/ (4psab) OGxx乙站甲站LRRr4.7 甲乙两站间有两条相同电

30、话线, 其一x处触地. 让乙处短路与甲站构成如图电桥, 当r=360W时电桥平衡. L=50km, 电话线每km电阻6W. 求x解: 电桥平衡时6(2L-x)/(6x+r)=1x=L-r/12=20 (km)4.8 丹聂尔电池由外半径为a的锌内筒和内半径为b的铜外筒构成, 两筒间充满硫酸铜溶液(e、r), 长度为l. 求: (1) 电池内阻r; (2) 电池电容C; (3) r、C关系解: (1) 内阻为r=òrdx/(2pxl)= rln(b/a)/(2pl)(2) 设内筒带电Q, 忽略边缘效应, 由于导体和电介质都具有轴对称性, 所以电场也是轴对称. 取与电池等高的半径为x的同心

31、圆柱面为高斯面, 则aberl2pxlD=Q D=Q/(2pxl)内外筒电势差DU=U内- U外=òEdx=òDdx/e=òQdx/(2pexl)=Qln(b/a)/(2pel)R2I3I2I1R1R3R4e1e2e3C=Q/DU=(2pel)/ln(b/a)(3) rC=er4.9 e1=12.0V, e2=e3=e=6.0V,R1=R2=R3=R=3W, R4=6W, 求R4上电压和通过R2的电流.解: 设电流和回路方向如图I1+I2-I3=0I1(R3+R4)-I2R2=I1(R+R4)-I2R=-e3=-eI2R2+I3R1=(I2+I3)R=e1-e2=

32、e1-e只须求出I1、I2既可. 由一、三式消去I3得(I1+2I2)R=e1-e于是再由二式得I1=(e1-3e)/(3R+2R4)=-6/21=-2/7 (A)所以通过R2的电流I2为I2=(e1-e)/R-I1/2=8/7 (A)R4上电压为ïI1R4ï=12/7 (V)e,Vr2r1RLab4.14 外半径r1的导体内筒、内半径r2的导体外筒之间充满两种均匀电介质a、b, 分界面半径r, 电导率分别为sa、sb, 相对介电常数分别为ea、eb. 两筒长度L(>>r1、r2), 加上恒定电压V(=e). 求: (1)两筒间电阻和电流; (2)各界面自由电荷

33、分布解: (1) 电场和电流场都具有轴对称性 E=E(r) j=j(r)R=òdr/(2psaLr)+òdr/(2psbLr)=ln(r/r1)/sa+ln(r2/r)/sb(2pL)=sbln(r/r1)+saln(r2/r)(2psasbL) I=V/R=2psasbVL/sbln(r/r1)+saln(r2/r) j=I/(2prL)=sasbV/sbln(r/r1)+saln(r2/r)rEa=j/sa=sbV/sbln(r/r1)+saln(r2/r)r Eb=j/sb=saV/sbln(r/r1)+saln(r2/r)r(2) s01=Da(r1)=e0eaEa

34、(r1)=e0easbV/sbln(r/r1)+saln(r2/r)r1s02=-Db(r2)=-e0ebEb(r2)=-e0ebsaV/sbln(r/r1)+saln(r2/r)r2电介质交界面上s0=- Da(r)×a+Db(r)×b=Db(r)-Da(r)=e0V(ebsa-easb)/sbln(r/r1)+saln(r2/r)r补4.1 电源(e, r)外接灯泡(R). 证明：当R=r时输出功率最大为Pmax= e2 / 4r= e2 / 4R证: 输出功率P=I2R=Re2 / (r+R)2 =P(R) R可改变IIl - aaq2q1bP dP/dR=e2 (r

35、+R) -2 - 2R(r+R) -3 = 0 得R=r P(R=0)=0 R=r时P最大为Pm Pmax=P(R=r) = Re2 / (R+R)2 =e2/4R5.3 求：如图电流在P点产生的磁场解：两条半无限长斜直电流都指向P点, 对P点磁场无贡献B= m0 I (cosq1 - cosq2) /(4pb) = m0I a (a2 + b2) -1/ 2 + (l - a) ( l - a)2+b2-1/2/(4pb) 方向为纸面向里5.5 O为O1、O2中点，且为x轴原点。求：(1)x轴上任意点磁场B(x); (2)证明：当a=R时O处磁场最均匀。(此时该对线圈称为亥姆霍兹线圈，由此获

36、得近似均匀磁场)xIIRO1O2Oa解： (1) 由对称性， B(x)=Bx由圆电流轴线上磁场公式Bx=m0IR21/2R2+(a/2+x)23/2+1/2R2+(a/2-x)23/2(2) dBx/dx=-3m0IR2(a/2+x) /2R2+(a/2+x)25/2-(a/2-x)/2R2+(a/2-x) 25/2当x=0时dBx/dx=0令(dBx/dx)x=0=0 得 -(R2+a2/4)+5a2/4=-R2+a2=0所以，当a=R时， O处磁场的一阶和二阶导数都为零，O处附近磁场近似为常数5.6 设地球的磁场是由地心处小电流环产生，求小电流环的磁矩。已知地球半径R=6´106m, 地面磁极附近磁场为B(磁极处)=0.8G=0.8´10-4T.解：由于地球半径远大于小电流环半径，小电流环可以看做磁偶极子，其磁矩沿地磁场磁极方向。磁偶极子的场为B(r)=m0H(r)=m0-Pi+3(Pi×r)r/r2/(4pr3)在地面北极处Pi与r=R同向, Pi×r=PiR, 于是在地面北极处磁场大小为