北京市通州区高三数学

1、2021 北京市通州区高三（三模）数学（理）本试卷共150 分；考试时长120 分钟；第一部分（挑选题共 40 分）一、挑选题共8 小题，每道题5 分，共 40 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；（1）如集合a x | x0, b x | x21 ，就 a i b（a） x | x1（b） x | x0（ c） x |1x0（ d） x | 0x1（2）复数 1i3i 在复平面内对应的点在（ a）第一象限（b）其次象限（ c）第三象限（ d）第四象限（3）执行如下列图的程序框图，输出的s 值为2（ a）32（ b）54（ c）5（ d） 67x 3,（4）假如x, y 满意

2、3x2 y3 0,那么 yx1 的最大值为xy2 0,（ a） 12（b） 23（ c） 1（ d） 21 / 11（5）已知函数f xx sin x ，就f ， 11f 1， （f）的大小关系为3（ a）f f 1f （ b）f 1f f 311311（ c）f f 1f （ d）f f f 1113311（6）已知非零向量a ， b， c 就“ aba c ”是“ b = c ”的（ a）充分而不必要条件（ b）必要而不充分条件（ c）充分必要条件（ d）既不充分也不必要条件（7）某三棱锥的三视图如下列图，就该三棱锥的体积为4（ a）342（ b）3（ c）103（d） 2103（8）标准

3、的围棋棋盘共19 行 19 列， 361 个格点，每个格点上可能显现“黑”“白”“空”三种情形，因此有361352种不同的情形；而我国北宋学者沈括在他的著作梦溪笔谈中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10000，以下数据最接近336136353410000 52的是（ lg30.477）37（ a） 10（b） 10（ c） 10（ d） 102 / 11其次部分（非挑选题共 110 分）二、填空题共6 小题，每道题5 分，共 30 分；x 22（9）双曲线y41的顶点到其渐近线的距离等于（ 10）等差数列 an 满意a11 ， a35 ，如a2 ，

4、 a5 ， am 成等比数列，就m（ 11）在极坐标系中，曲线cos1 与2sin的公共点到极点的距离为（ 12）在平面直角坐标系xoy 中，角以 ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆交于点 1 , y ，就2sin3（ 13）能够说明“设a ， b ， c 是任意实数如abc ，就 abbc ”是假命题的一组整数a ， b ， c 的值依次为（ 14）设f x是定义在 d 上的函数，如存在两个不相等的实数x1x2x1 , x2d ，使得 f f x1f x2 ，就称函x22数 f x 具有性质 p .那么以下函数中f x x3 ；f xln x ；f xx21 ；f xe2 具有性质

5、p 的全部序号是三、解答题共6 小题，共80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程；（ 15）（本小题13 分）在 abc中， sin c3sin b ，a60o ， b1 .（）求 a 的值；（）求 tan b 的值 .（ 16）（本小题14 分）如图，在四棱锥pabcd 中，平面 pad平面 abcd ， paad ， abbc ， ad bc ，paabbc1， ad2 ， e 是棱 pc 上一点，平面aed 与棱 pb 交于点 f .（）求证：ad ef ；（）求二面角apdc 的余弦值；（）是否存在点e ，使得 ae平面 pcd ？如存在，求出pe的值；如不存在，请说明理由.p

6、c3 / 11（ 17）（本小题13 分）某公司（人数众多）为勉励员工利用网络进行营销，预备为员工办理手机流量套餐. 为明白员工手机流量使用情形，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量l 单位： m的数据，其频率分布直方图如下列图：将频率视为概率，以直方图给的数据作为依据，回答以下问题：（）从该公司的员工中随机抽取3人，求这 3人中至少有 1人手机月流量不低于700m的概率；（）据明白，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费 单位：元月套餐流量 单位： ma20700b301000流量套餐的规章是：每月1 日收取套餐费. 假如手机实际使用流量超出套餐流量，就需要购买

7、流量叠加包，每一个叠加包 包含 200m的流量 需要 10 元，可以多次购买；假如当月流量有剩余，将会被清零. 该企业预备为全部员工订购其中一款流量套餐，保证员工的流量使用，并支付全部费用. 你认为该企业订购哪一款套餐更经济？请说 明理由 .（ 18）（本小题14 分）已知抛物线c : y 22 px p0 ，直线 l 与抛物线 c 交于两点ax, y ,b x , y .（）如直线l 经过抛物线c 的焦点，ab3 p ，求 x11122x2 的值；（）如直线l 过点m m,0 m0 ，问在 x 轴上是否存在一点n ，使得anm与bnm的面积之比始终为an :bn ，如存在，恳求出点n 坐标；

8、如不存在，说明理由.（ 19）（本小题13 分）xa已知函数f xsin x,其中 x20, ， a 2 .2（） 如 a，判定函数f x的单调性；（）求函数f x 的最大值 .（ 20）（本小题13 分）如数列bn满意：对于nn，都有bn 2bnd （常数），就称数列bn是公差为 d 的准等差数列4 / 114n1，当n为奇数时；（）如cn判定cn是否为准等差数列，并求出cn的第 8 项，第 9 项以及前 9 项4n9，当 n为偶数时 .的和 t9 ；（）设数列a n满意： a1a ，且对于 nn，都有 a na n 12n 成立，a n的前 n 项和为 sn（i ）求证：（ ii）求证：a

9、n为准等差数列，并求其通项公式；n2a n为等差数列的充分必要条件是sn.25 / 11数学试题答案第一部分（挑选题共 40 分）一、挑选题共8 小题，每道题5 分，共 40 分；在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项；12345678addbabab其次部分（非挑选题共 110 分）二、填空题共6 小题，每道题5 分，共 30 分；（9） 2553（ 10） 14（ 11）2 （ 12）2（ 13） 102 （此题答案不唯独）（ 14）三、解答题共6 小题，共80 分；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程；（ 15）（）解：由sin c3sinb 及正弦定理得c3b ，由于 b1

10、，所以 c3 .由余弦定理得a2b2c22bc cos a123221317 .2所以 a7 .（）解：由于sin c3sin b,a60o，所以 sin120b3sin b .即3 cosb+ 1 sin b223sin b ，所以tan b3 .5（ 16）（）证明：由于ad bc， ad平 面 pbc ， bc平 面 pbc ，所以 ad 平面 pbc .由于 ad平面 afed ，平面 afed i 平面 pbcef ，所 以 ad / /ef .（）解：由于平面pad平面 abcd ，平面 pad i 平面 abcdad ，pa平面 pad ， paad ，所以 pa平面 abcd

11、. 所以 paab .6 / 11由于 abbc, ad bc ，所以 abad .如图，建立空间直角坐标系axyz .由 paabbc1 ， ad2 ，可得a0,0,0 ， c1,1,0 ， d 2,0,0uuuruuur， p0,0,1 .pc1,1, 1， pd2,0,1 .设平面 pcd 的一个法向量muuur x, y, z ，mpc由uuurmpd0,xyz0，得0,2xz0，令 x1 ，得 y1,z2 ，所以 m1,1,2.由于 abad, abap ， ad iapa ，所以 ab平面 pad .所以平面pad 的法向量 n0,1,0 .cosmnm, n16 .m n616由

12、图可知二面角apdc 为锐角，所以二面角apdc 的余弦值为6 .6（）解：设uuuruuuruuurpepc, ，0,1 ，uuuruuuruuuraeappc1,1 .当 aem,r ，即 ,11,1,2，时，3ae平 面 pcd .pe1此时.pc3（ 17）（）解：依题意，0.0008 0.0022 a0.0035 0.0008 0.0002 1001.得 a0.0025.从该公司的员工中随机抽取3 人，可近似的看为独立重复试验，每人手机月流量超过700m的概率为1- 0.0008 0.0022 1000.7.设大事 a 为“没有人的手机流量超过700m”，就 p a0.330.027

13、 .所以这 3 人中至少有1 人手机月流量超过700m的概率为 1 - 0.027=0.973 .（）解：如该公司挑选a 套餐，设一个员工的所需费用为x ，就 x 可能为 20,30,40 .x 的分布列为7 / 11x203040p0.30.60.1ex200.3300.6400.128 .如该公司挑选b套餐，设一个员工的所需费用为y ，就 y 可能为30,40.y 的分布列为y3040p0.980.02ey300.98400.0230.2 .由于 30.228 ，所以订购a 套餐更经济 .（ 18）（）解：设抛物线c 的焦点为f ，就afxp ， bfxp ，12所以abafbfx122x

14、1p ，所以x1x1p3p ， x1x12 p .（）解：由于s anm1 anmn 2sinanm, s bnm1 bnmn2sinbnm ,所以 s anm: s bnman sinanm : bnsinbnm ，所以“在 x 轴上存在一点n ，使得anm 与bnm的面积之比为an :bn ”，等价于“在x 轴上存在一点n ，使得 sinanmsinbnm ”,依题意等价于“anmbnm ”，即“k ankbn0 ” .设 x 轴上存在点n x0 ,0满意题意，直线l 的方程为xtym .xtym,由得 y22 pty2 pm0 .y22 px所以 y1y22 pt, y1 y22pm .

15、k an +kbny1x1x0y2x2x0ty1y1mx0ty2y2mx0y1 ty2mx0 y2 ty1mx0 ty1mx0 ty2mx0 2ty1 y 2mx0 y1y2 ty1mx0 ty2mx0 2t 2 pm mx0 2 pt ty1mx0 ty2mx0 8 / 112 pt mx0 .ty1mx0 ty2mx0 如 t0 ，就k an +kbn0 ，即 x 轴上除点 m 的任意一点均满意题意；如 t0 ，令2 pt mx0 0 ，得x0m .ty1m x0 ty2mx0 点 n m,0满意题意 .综上，存在一点nm,0，使得anm 与 bnm 的面积之比始终为an:bn.（ 19）

16、（）解：如a，就f xx，sin x2f 'x2sin x xsin xcos x 22法一：令 g x2sin x xcos x ，g 'xxsin x0所以 gx 在区间0, 单调递减，且有2g302所以 f'x0 ，函数f x 在区间 0, 上单调递增；2法二：令 g x2sin x xcos x ，由于当x0, 时， sin x20,x0,cosx0所以 gx0 对x0, 成立，2所以 f'x0 对 x0, 成立，函数2f x 在区间0, 上单调递增；2（）解：f ' x2sin x xacos xsin x2 2令 h x2sin x xaco

17、sx .h ' x xasin x .令 h'x0，得到 xa .当 a0, ， xa 是函数2h x 的微小值点，也是最小值点.9 / 11由于 h a2sin a0， af 2=所以函数f x 在区间 0, 上单调递增，f x 的最大值= a ；22363当 a, ， h ' x0 ，函数2h x 在区间0, 上递减，2h30 ， 2所以函数f x 在区间0, 上单调递增，2函数 fx的最大值 af ；263当 a2,0 时 h' x0 ， h02a , h00 ，所以函数f x 在区间 0, 上递增，2函数 fx的最大值 af ；263综上所述，当a2 时，函数f x 的最大值为 af.263（ 20）（）解：当n 为奇数时，cn 2cn8，当n 为偶数时，cn 2cn8，所以 cn 为准等差数列.且 c841 ， c935t93355217414 2211.（）（ i ）证明：由于anan