北京市第四中学高中数学13空间几何体的表面积和体积提高知识讲解学案新人教版必修

1、空间几何体的表面积和体积【学习目标】1. 通过对柱、锥、台体的讨论，把握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2. 能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟识台体与柱体和锥体之间的转换关系；3. 明白球的表面积和体积公式推导的基本思想，把握球的表面积和体积的运算公式，并会求球的表面积和体积；4. 会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简洁几何体的表面积和体积.【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219空间几何体的表面积】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、 棱锥、 棱台是多面体， 它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和运算时要分清面的外形，精确算出每个

2、面的面积再求和棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的外形如下表：项目底面侧面名称棱柱平面多边形平行四边形面积 =底·高棱锥平面多边形三角形面积 = 12棱台平面多边形梯形面积 = 12·底·高· （上底 +下底）·高要点诠释：求多面体的表面积时，只需将它们沿着如干条棱剪开后绽开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面绽开为平面图形，再去求其面积1圆柱的表面积（ 1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面绽开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，

3、母线长 l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长c=2 r ，宽等于圆柱侧面的母线长l（也是高），由此可得s 圆柱侧 =cl =2 r l （ 2）圆柱的表面积：s圆柱表2r 22rl2r rl 2圆锥的表面积（ 1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面绽开图是一个扇形，假如圆锥的底面半径为r ，母线长为 l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长c= r ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它1的侧面积是s圆锥侧clrl 2（ 2）圆锥的表面积：s 圆锥表 = r 2 + r l 3圆台的表面积（ 1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面绽开图是一个扇环假如圆台的上、下底面半径

4、22分别为 r 、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为 r +r l ，即圆台的侧面积为s 圆台侧 = r +r l （ 2）圆台的表面积：s圆台表 r 'rr 'lrl 要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特点入手，将其绽开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面绽开图中的边长之间的关系4圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 空间几何体的体积】要点三、柱体、锥体、台体的体积1柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积s 和高 h 的乘积，即v 棱柱=sh2圆柱的体积：底

5、面半径是r ，高是 h 的圆柱的体积是v 圆柱 =sh= r综上，柱体的体积公式为v=sh 2锥体的体积公式棱锥的体积：假如任意棱锥的底面积是s，高是 h，那么它的体积hv棱锥1 sh 3圆锥的体积：假如圆锥的底面积是s，高是 h，那么它的体积v圆锥1 sh ；假如底面积半径是r ，用32r 表示 s，就 v圆锥1r 2h 31综上，锥体的体积公式为3台体的体积公式vsh 3棱 台 的 体 积 ： 如 果 棱 台 的 上 、 下 底 面 的 面 积 分 别 为s 、 s ， 高 是h ， 那 么 它 的 体 积 是v棱台1 hsss'3s ' 圆台的体积：假如圆台的上、下底面半

6、径分别是r 、r ，高是 h，那么它的体积是v圆台1 h sss's '1hr 2rr 'r '2 33综上，台体的体积公式为1vhsss' 3s ' 4柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 球的体积与表面积】要点四、球的表面积和体积1球的表面积（ 1）球面不能绽开成平面，要用其他方法求它的面积（ 2）球的表面积2设球的半径为r，就球的表面积公式s球=4 r 即球面面积等于它的大圆面积的四倍2球的体积设球的半径为r，它的体积只与半径r 有关，是以r 为自变量的函数球的体积公式为v球4r3

7、3要点五、侧面积与体积的运算1多面体的侧面积与体积的运算在把握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简洁的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积要留意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要留意一些性质的敏捷运用（ 1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：s小锥底s大锥底s小锥全s大锥全s小锥侧s大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化运算过程在求台体的侧面

8、积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式（ 2）有关棱柱直截面的补充学问在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：s 棱柱侧 =c 直截 l （其中 c直截 、 l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长），v 棱柱 =s直截 l （其中 s 直截 、 l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）2旋转体的侧面积和体积的运算（ 1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面绽开图的面积，因此弄清侧面绽开图的形式及侧面绽开图中各线段与原旋转体的关系，是把握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键（ 2）运算柱体、锥体和台体

9、的体积，关键是依据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键【典型例题】类型一、简洁几何体的表面积例 1如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2 ，底面三角形的三边a长分别为 3a、4a、5a a0 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，就a 的取值范畴是【答案】 0a15 3【解析】底面积为6a 2 ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情形：s86246a224a228s24a2210824a236,s24a2210624a232,123拼成三棱柱时只有一种情形：表面积为26a22108612a248由题意得24a 22812a 248 ，解得 0a15 3【总结升华】

10、（ 1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和（ 2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解举一反三：【变式 1】 一个圆柱的底面面积是s ，侧面绽开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（）a 4sb 2scsd 23s3【答案】 a【解析】由圆柱的底面面积是s ，求出圆柱的半径为rs ，进一步求出侧面积为4s 例 2在底面半径为r，高为 h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相像

11、三角形求解；h【答案】高为21侧面 积的最大值为rh 2【解析】如右图，设圆柱的高为x ，其底面半径为r ，就 rhx ，rhrhx rh圆柱的侧面积s侧2rx2 rxhx2r x2hxhh2rhh 22rhhr xh 2 x24h 2，22当 xh 时，2s侧最大值hr 2h1即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为，此时侧面积的最大值为2rh 2【总结升华】与旋转体有关的问题，常作轴截面，利用相像比得出变量之间的关系，进一步转化成代数问题解决举一反三：【变式 1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比【答案】21【解析】如右图为其轴截面图

12、，设圆柱、圆锥的底面半径分别是r 、r，圆锥的母线长为l rrrr1就有，即，rrr2 r=2r， l2rs圆柱表2r 22r 24r 24r 2121s圆锥表r2rr221r2214r 221【总结升华】这是一个圆锥和圆柱的组合体旋转体一般要画出其轴截面来分析，利用相像三角形求各元素之间的关系，再利用相应表面积公式运算例 3粉碎机的下料斗是正四棱台形，如图，它的两底面边长分别是80 mm和 440 mm，高是 2 00 mm运算制造这一下料斗所需铁板的面积【思路点拨】问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需先求出斜高可在有关的直角梯形中求出斜高5【答案】 2.8 × 10【解

13、析】如下列图，o、o1 是两底面的中心，就oo1 是正棱台的高设ee1 是斜高，过e1 作 e1f oo1 交 oe于 f，就 e1f oe，在直角梯形oo1e1e 中，11eee f 2ef 2oo 2 eoe o 21112002 44080 22269mm 边数 n=4，两底面边长a=440 mm， a =80 mm，斜高 h 269 mm， s正棱台侧1 c 'ch '1 na 'a h '2214804402692.8105 mm 2 2答：制造这一下料斗约需铁板2.8 ×105 mm2【总结升华】（ 1）解决与正棱台有关的运算问题，关键是利

14、用有关直角梯形，即上图中的梯形oee1o1、梯形 oaa1o1、梯形 aee1a1（ 2）求棱台的侧面积，只需利用公式求解即可，这就需要求出上、下底面半径以及母线长举一反三：【变式 1】圆台的上、下底面半径分别是10 cm 和 20 cm ，它的侧面绽开扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？（结果中保留 ）【答案】 1100【变式 2】 邻边长为a，b 的平行四边形，且a b，分别以 a，b 两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的表面积分别为s1， s2，就有（）a s1 s2b s1s2c s1s2ds1 s2【答案】 a类型二、简洁几何体的体积例 4已知一个三

15、棱台上、下底面分别是边长为20 cm 和 30 cm 的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积【答案】 43cm1900 cm3【解析】如右图所示，在三棱台abc ab c中， o、o分别为上、下底面的中心， d、d分别是bc、 b c的中点，就dd是梯形bccb的高，1所以 s侧320302dd '75dd ' 又 ab =20 cm， ab=30 cm，就上、下底面面积之和为s上s下32222030 3253cm 4由 s 侧=s 上+s 下，得 75dd '3253 ，所以 dd '133cm ，3o '

16、 d '320103 cm ，633od3053cm ，622所以棱台的高ho 'od' d 2odo ' d '21335310343cm ，33由棱台的体积公式，可得棱台的体积为vh ssss上下上下34332023302320301900cm 3 3444【总结升华】留意构造简洁几何体中的特别三角形与特别梯形，它们的数量关系往往是连接已知与未知的桥梁，要留意利用举一反三：2【高清课堂：空间几何体的表面积和体积395219 例 3 】2【变式 1】棱台的两个底面面积分别是245 cm台的体积；【答案】 2325和 80 cm ，截得这个棱台的棱锥的高

17、为35cm，求这个棱【变式 2】（ 1）各棱长都为1 的正四棱锥的体积v= （ 2）如右图，正方体abcd a1b1c1d1 的棱长为2，动点 e，f 在棱 a1b1 上，动点p， q 分别在棱ad， cd上如ef=1， a1e=x， dq=y， dp=z（ x， y， z 大 于零），就四周体 pefq的体积（）a与 x， y， z 都有关b与 x 有关，与y， z 无关 c与 y 有关，与x， z 无关 d与 z 有关，与x， y 无关【答案】（ 1）212（ 2） d【解析】从图中可以分析出，efq 的面积永久不变，为面a1b1cd 面积的而当p 点变化时，它到面a1b1cd3的距离是变

18、化的，即y 的大小，影响p 到面 a1b1cd的距离，因此会导致四周体体积的变化应选d 例 5一个几何体的三视图如下列图 单位： m，就这个几何体的体积为m【答案】6【解析】由三视图可知这个几何体是由一个圆锥和一个长方体组成的其体积为等于圆锥的体积与长方体的体积之和即 v1r 2habc1123321333=6 （ m）【总结升华】 给出几何体的三视图， 求该几何体的体积或表面积时，首 先 依据三视图确定该几何体的结构特点，再利用公式求解此类题目是新课 标 高考的热点，应引起重视举一反三：【变式 1】 某几何体的三视图如下列图，就它的体积是2a 83b 83c 82d 23【答案】 a【解析】

19、由三视图可知，其几何体是由一个正方体挖去一个圆锥所得，所以其体积是正方体的体积减去圆锥的体积之差，即类型三、球的表面积与体积823例 6已知过球面上三点a、b、c的截面到球心的距离等于球半径的一半，且ac=bc=，6面积与球的体积ab=4，求球面【答案】 54 276【解析】 如右图， 设球心为o，球半径为r，作 oo1平面 abc于点 o1，由于 oa=ob=oc=，r就 o1 是 abc的外心，设m是 ab的中点，由于ac=bc，就 o1 cm设 o1m=x，连接 o1a， o1b，易知 o1m ab，就 o1 a22x2 ，o1ccmo1 m又 o1a=o1c，6 222x 22解得 x

20、x26222x 72492 o1 ao1bo1c4在 rt ooa 中，r1o1o， oo1 a=90°， oa=r，22r由勾股定理得292r2 ，24解得 r36 22就 s 球=4 r =54， v球4r33276【总结升华】此题利用球面的性质，依据条件中的等量关系建立方程例 7已知正四棱锥的底面边长为a，侧棱长为2a （ 1）求它的外接球的体积（ 2）求它的内切球的表面积【答案】（ 1） 8627a3 （ 2） 47a 23【解析】如右图，作pe垂直底面abcd于 e，就 e 在 ac上（ 1）设外接球的半径为r，球心为 o，连接 oa、oc，就 oa=oc=o，p o为 p

21、ac的外心，即 pac的外接圆半径就是球的半径 ab=bc=a， ac2a papcac2a ， pac为正三角形2 a rae26 a ，cosoaecos303 v球4r386a 3 327（ 2）设内切球的半径为r ，作 pebc于 f，连接 ef就有 pfpb2bf 22a2 a 27 a s pbc2211772bcpfaaa，2224s4ss71a2 棱锥全pbc底又 pepf 2ef2227 aa6 a 222 v1 sh1 a 26 a6 a 3 ，棱锥底33263v棱锥 r36 a36426 a ， s4r 247a 2 s棱锥全71a2123球【总结升华】多面体之间或多面体

22、与球之间的切接关系，是一种空间简洁几何体之间的位置关系处理这类问题时，一般可以采纳两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简洁，这里表达的转化思想是立体几何中特别重要的思想方法举一反三：【变式 1】 表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积.【答案】 576【解析】设球半径为r，正四棱柱底面边长为a，就作轴截面如图，aa14 ， ac2a ，又 4r2324， r9 ， ac2r18 ，22 acaccc82 ， a8 ， s表2884814576.【总结升华】解决球与其他几何体的内切、外接问题的关键在于认真观看、分析几何体的结构特点，弄 清相关元素的位置关系和数量关系，选准正确角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能地表达这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的【变式 2】 求体积为 v 的正方体的外接球的表面积和体积3【答案】v2【解析】如下列图，显示正方体的中心为其外接球的球心，过球心作平行于正方体任一面的球的截面，就其截面为圆内一正方形（正方形的各顶点均在圆内，而不是在圆上）因此，这样的截面无法反映球的半径与正方体的棱长的关