北京市西城区高三抽样测试数学试题

1、北京市西城区高三抽样测试高三数学试卷 （理科）本试卷分第一卷 挑选题 和第二卷 非挑选题 两部分 . 共 150 分. 考试时间 120 分钟 .题号一二三总分151617181920分数第一卷 挑选题共 40 分一、本大题共8 小题，每道题5 分，共40 分. 在每道题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.如集合 a x | x10 ， b x | x |2 ，就集合ab 等于（）a. x | x1b. x | x1或x2c. x | x2或x2d. x | x2或x12. 如向量 a1，2 ， b =3, 4 ，就 ab a + b 等于（）a. 20b. 10,30c. 54d.

2、 8,243. 已知函数f x3x ，那么函数f x 的反函数f1 x 的定义域为（）a. x | x1b. x | x0c. x | x0且x1d. r4. “ tan3 ，且 sincot0 ”是“4sin3”的（）5a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件5. 已知 m 是平面的一条斜线，点a，l 为过点 a 的一条动直线，那么以下情形可能显现的是（）a. l/ /m,lb.lm, lc. lm,l / /d. l/ /m， l / /6. 已知圆 x22y236的圆心为m ，设 a 为圆上任一点，n 2,0，线段an 的垂直平分线交ma 于点p，就动点p

3、 的轨迹是（）a.圆c. 双曲线b. 椭圆d.抛物线7已知有穷数列an n=1,2,3,6 满意 an1,2,3,10 , 且当 ij i, j1,2,3,6时， aia j . 如 a1a2a3 ,a4a5a6 ，就符合条件的数列 an 的个数是（）c cc c3333a.107b.1010a a33c.10763cad.1068. 如图，有始终角墙角，两边的长度足够长，在p 处有一棵树与两墙的距离分别是a m0< a<12 、4m，不考虑树的粗细. 现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃abcd . 设此矩形花圃的最大面积ada mp为 s，如将这棵树围在花圃内，

4、就函数4 msf a （单位m2）的图象大bc致是（）ab.c.d.s ；ss；s；oaoaoaoa第二卷 共 110 分二、填空题：本大题共6 小题，每道题5 分，共30 分. 把答案填在题中横线上.9.如双曲线的离心率为2，两焦点坐标为2,0,2,0，就此双曲线的方程为 .10. 已知实数x, y 满意xy20,xy0,就 z2x4 y 的最大值为 .x1.1 611. 已知ax 的绽开式中常数项为- 160，那么 a= .x12. 如 a， b 两点在半径为2 的球面上，且以线段ab 为直径的小圆周长为2，就此球的表面积为 ， a，b 两点间的球面距离为 .13. 对于函数f xsin

5、x,g xcos x,h xx，有如下四个命题：3 1fxg x 的最大值为2 ； 2f h x 在区间 ,02上是增函数； 3 gf x 是最小正周期为2的周期函数； 4 将f x 的图象向右平移个单位可得2g x 的图象 .其中真命题的序号是 .14. 已知数列 an的每一项都是非负实数，且对任意m, n . n *有am+ n -am -an =0 或 am+ n -am -an = 1.又知 a2 =0, a3 > 0,a99 =33. 就 a3 = ,a10 = .三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12 分）在

6、 v abc 中， a、b、c 分别是三个内角a、b、c 的对边，且a、b、c 互不相等，设a=4，c=3， a =2c .（）求 cosc 的值；（）求b 的值 .16.（本小题满分12 分）在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3 件进行质量检验. 已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为1、 1 ，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.43（）求至少有2 件甲批次产品检验不合格的概率；（）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1 件的概率 .17.（本小题满分14 分）如图，在底面是正方形的四棱锥p- abcd 中，平面 pcd 平面 abcd ， pc=pd

7、=cd =2.（）求证：pd bc ；p（）求二面角b -pd -c 的大小；（）求点a 到平面 pbc 的距离 .18.（本小题满分14 分）已知数列 an 的前 n 项和为 sn，a1=1，数列 andcabsn 是公差为2 的等差数列 .（）求a2 , a3 ；（）证明数列 an2 为等比数列；（）求数列 nan 的前 n 项和 tn.19.（本小题满分14 分）已知抛物线c : y24x ，点 m m,0 在 x 轴的正半轴上，过m 的直线 l 与 c 相交于 a、b两点， o 为坐标原点 .（）如m=1， l 的斜率为 1，求以 ab 为直径的圆的方程；（）如存在直线l 使得 | a

8、m|, | om|, | mb | 成等比数列，求实数m 的取值范畴 .20.（本小题满分14 分）已知 f x、gx都是定义在r 上的函数，假如存在实数m、n 使得 h x = m fx+ngx，那么称 h x为 f x、gx 在 r 上生成的一个函数.设 f x= x2+ax，g x=x+b a, br，2l x= 2x+3x- 1， h x为 f x、gx在 r 上生成的一个二次函数.（） 设 a1,b2 ，如 h x为偶函数，求h2 ；（）设 b0 ，如 h x同时也是gx 、lx 在 r 上生成的一个函数，求a+b 的最小值；（）试判定hx能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论.北

9、京市西城区抽样测试参考答案高三数学试卷 （理科）2021.1一、挑选题：本大题共8 小题，每道题5 分，共40 分.题号12345678答案dbbacbac二、填空题：本大题共6 小题，每道题5 分，共30 分.y29.x 2 -= 13310. 1411. - 212.16p ,2 p13.1 214. 1,3注：两空的题目，第一个空2 分，其次个空3 分.三、解答题：本大题共6 小题，共80 分.15.（本小题满分12 分）（）解：在 v abc 中，由正弦定理分a=sin ab= sin bc sin c，得4= sin a3sin c，-3由于 a =2c ，所以4=sin 2c3si

10、n c，即4= 2sin c cosc3，sin c解得-6分2cc =3o ；s（）解：在v abc中，由余弦定理c2 =a2 +b2 -2ab cosc，-9分得 9 =216 + b -8b .2 ，解得 b = 3,3或b = 7 .3由于 a、b、c 互不相等，所以-12分16.（本小题满分12 分）b = 7.3（）解：记“ 至少有 2 件甲批次产品检验不合格”为大事 a.1分由题意，大事a 包括以下两个互斥大事： 1 大事 b：有 2 件甲批次产品检验不合格. 由 n 次独立重复试验中某大事发生k 次的概率公式，得p=2b 1-c2=11； 93 鬃4464-3分 2 大事c ：

11、 3件甲批次产品检验都不合格. 由相互独立大事概率乘法公式，得p c = 13 =1；464所以，“至少有2 件甲批次产品检验不合格”的概率为p a =p b +5pc =；32-6 分（）解：记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1 件”为大事 d.由题意，大事d 包括以下三个互斥大事： 1 大事 e： 3 件甲批次产品检验都不合格，且有2 件乙批次产品检验不合格.其概率1 32 1 211；p e = .c3 1 =433288-8分 2 大事 f：有 2 件甲批次产品检验不合格，且有1 件乙批次产品检验不合格.其概率2 1 211 1 11 21；p f = c3

12、1- .c3 1=443316-10分 3 大事 g：有 1 件甲批次产品检验不合格，且有0 件乙批次产品检验不合格.其概率1 1 11 21 31 ；pg = c3 1- .1=4438所以，事件d的概率为-12分17.（本小题满分14 分）方法一：（）证明：q 平面 pcd 平面 abcd ,pd =p e +p f +pg =55.288又平面 pcd i 平面 abcd =cd ， bc cd ,pbc 平面 pcd,-3分ef q pd ì平面 pcd,dcbc pd ；-4分（）解：取pd 的中点 e，连接 ce、be ，abqv pcd为正三角形，ce pd ，由（）知

13、bc 平 面 pcd , ce 是 be 在平面 pcd 内的射影 ,be pd ,. ceb为二面角b- pd - c的平面角,-7分在 v ceb 中,. bce90o , bc= 2,ce =3 ,tan . cebbc = ce23 ,3二面角b- pd - c的大小为-10分arctan 23；3（）解：q 底面 abcd 为正方形，ad / / bc ,q ad . 平面 pbc,bc ì平面 pbc,ad / / 平 面 pbc,点 a 到平面 pbc 的距离等于点d 到平面 pbc 的距离 ,过 d 作 df pc 于 f,q bc 平面 pcd ，b cd f,q

14、p cib c=c,df 平 面 pbc, 且 df i平 面 pbc=f ,df为点d到平面pbc的距离,-13分22在等边v pcd 中 ,dc = 2,df pc,cf = 1,df =dc-cf=3 ,点a到平面pbc的距离等于3.-14分方法二：（）证明：取cd 的中点为o，连接 po，q pd=pc ，po cd ,zpq 平面 pcd 平面 abcd , 平面 pcd i 平面 abcd =cd ， po 平 面 abcd ,-2分如图，在平面abcd 内，过 o 作 om cd 交 ab 于 m ，以 o 为原点 , om 、oc 、op 分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐

15、标系 o- xyz，就 b2,1,0,c 0,1,0,d 0,-1,0,p0,0,3 ,uuuruuurq pd =0,-1,-3,bc = -2,0,0 ,uuuruuurpd .bc0,bc pd ；-4分（）解：取pd 的中点 e，连接 ce、be，如（）建立空间坐标系，就e0,-1 ,3 ，qv pcd22为正三角形，ce pd ，uuuruurq bd = - 2,- 2,0,bp = -2,-1,3 ，uuuruur| bd |= | bp |=22 ，be pd ,. ceb为二面角b- pd - c的平面角,-7分uur q eb =2, 3 , -3 ,uuur ec =0,

16、 3 ,-3 ，2222uuruuurcos. beceb ×ecuuruuur=3=21 ，| eb | ×| ec |7 ×37二面角b- pd - c的大小为-10分（）解：过点a 作 af 平面 pbc 于 f ，af 为点 a 到平面 pbc 的距离 , 设 |af|=h，uuuruur21arccos；7q bc = - 2,0,0,cp = 0,- 1,3 ，uuuruur bc .cp0，即 bc cp ,v pbc的面积sv pbc =1 | bc |.| pc |2 ，2q 三棱锥 a- pbc 的体积va - pbc= vp-abc ，v p

17、bc1鬃sh =31 鬃sv abc3| po |，即 2 .h2 . 3 ，解得 h =3 ，33点a到平面pbc的距离为3.-14分18.（本小题满分14 分）（）解：q 数列 ansn 是公差为2 的等差数列 ,a+ s - a+ s = 2,即a=an + 2 ,n+ 1n+ 1nnn +12-3分q a1 = 1,a = 3 , a = 7；2324-5分（）证明：由题意，得a1 -2 = - 1,an+ 1 -qan + 2 -2 =22= 1 ，an - 2an -22 an -2 是首项为- 1，公比为12的等比数列；-9分（）解：由（）得an -2 = - 12n- 1n a

18、n= 2 n-n1,.2n- 1,-10分11 21 n- 1 ,tn = 2 - 1+4 -2.6 - 3. l + 2 n - n.22211 21 n- 1 ,tn = 2 + 4+ 6 + l + 2n -1+ 2.3.l + n.设11 22221 n- 1 ,1an = 1+ 2.3.l + n.2221 a =11 21 31 n ,2n+ 2 .3.l + n.22222n由1 - 2 ，得 1 a = 1+ 1 + 12 + l + 1 n- 1 - n. 1 n ,222221 n211- an =21-n. 1n ,21-21 n- 1 ,an = 4-n +2.2t =

19、 n2 +2n1n- 11 n - 1.n+ n+ 2 .4 = n + 2.n n +1-4222-14分19.（本小题满分14 分）（）解：由题意，得m 1,0 ，直线 l 的方程为y = x- 1.í2由 ì. y = x-1, 得 x2 -6x + 1 = 0,. y = 4x设 a, b 两点坐标为a x1 , y1 ,b x2 , y2 ,ab 中点 p 的坐标为p x0 , y0 ,就 x1 =3+ 22,x2 = 3 -22,y1 =x1 -1= 2 +22,y2 =x2 -1= 2-22 ,故点a+3b-2-3分所以 x =x1 +x2 = 3, y= x

20、 -1 = 2 ,2000故圆心为p3, 2 , 直径 | ab |=x -x 2 + y -y 2 = 8,1212所以以ab为直径的圆的方程为 x-32 + y -22= 16；-6分方法一：（）解：设a, b 两点坐标为ax1 , y1 ,b x2 , y2 ,mbam 0 .就 ammx1 ,y1 , mb x2m, y2 ,x2m所以y2mx1 1y1由于点 a, b 在抛物线c 上,1122所 以 y2 =4x ,y 2 = 4x,2由12，消去x2 ,y1 , y2得x1m.-10分如此直线l 使得 | am|, | om|, | mb | 成等比数列，就| om|2| mb |

21、 | am | ，2222即 |om| am | | am |，所以 m x1my1 ，y2由于1 =4x1 ，x12m ，所以 mm x1x12m4x1 ，整理得x23m4 xm20，311-12分由于存在直线l 使得 | am|, | om|, | mb | 成等比数列，所以关于x1 的方程 3 有正根，由于方程 3 的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根，3m40所以m20，解得 m4 .3m424m20故 当m4时 ， 存 在 直 线l使 得 | a m| ,|o m| , m|成b 等 比 数 列 .-14分方 法 二 ：（ ） 解 ： 设 使 得 | am|,|om|,

22、|mb 成 |等 比 数 列 的 直 线ab方 程 为x = mm >0 或 y =k x -m k .0 ,当直线 ab 方程为 x =m 时 ,a m,4m,bm,-4m ，2由于 | am|, | om|, | mb|成等比数列 ,2所以 | om | mb | | am| ，即 m4m ，解得 m=4，或 m=0 舍； 8分当直线 ab 方程为y = k x-m) 时，ì. y =k x-m2 22222由 .í. y= 4x， 得 k x -2k m +4 x+ k m= 0 ，设 a, b 两点坐标为a x1, y1 ,bx2 , y2 ,2就 x + x

23、 =2k m + 4 , x x= m2 ,112由 m>0, 得 d =k 22 k2 m +1 242 -4k 2 .k2 m216k 2 m + 16 > 0 .2222由于 | am|, | om|, | mb|成等比数列 , 所以 | om | mb | | am |,22所以 m xmy xmy，21122由于 a, b 两点在抛物线c 上，1122所 以 y 2 =4x ,y2 = 4x,3-11分由1 2 3 ，消去x1, y1 , x2 , y2 ,得 m =41+1 ,2k由于存在直线l 使得 | am|, | om|, | mb | 成等比数列，所以 m =4

24、1+1 > 4 ,k2综 上 ， 当m 3 4时 ， 存 在 直 线l使 得 | a m| ,|o m| ,m|b成 等 比 数 列 .-14分20.（本小题满分14 分）（）解：设hx=mfx+ngx，就h x =m x2 +x +n x +2 =mx2 +m +nx + 2nm .0 ,由于 h x 为一个二次函数，且为偶函数,所以二次函数hx 的对称轴为y 轴，即 xmn0 ， 2m所以 nm ，就h xmx22m ，就h20；-3分（） 解： 由题意 , 设 h x =mf x +ngx =mx2 +am +n) x + bn m, n . r , 且 m 1 0 由 h x同时也是gx、l x 在 r 上生成的一个函数,知存在m , n 使 得 h x = m g x + n l x =