垂直于弦的直径

1、垂直于弦的直径-垂径定理【教学内容】垂径定理【教学目标】1知识目标：通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；掌握辅助线的作法过圆心作一条与弦垂直的线段。2能力目标：通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标：结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。20 ×20【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三

2、角板、圆规。【教学设计】一复习提问1 放映幻灯片，请同学们观察几幅图片，看他们有什么共同特点？2那么圆具有这样的特点吗？如果是，它的对称轴是什么？?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流3（老师点评）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，?我能找到无数多条直径4板书：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线二、实例导入，激疑引趣1实例：同学们都学过中国石拱桥这篇课文（初二语文第三册第一课?茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保20 ×20存最好的巨大石拱桥，距

3、今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1幻灯片放映）三、尝试诱导，发现定理（一）学生活动1让学生将准备好的一张圆形纸片按下列条件操作；教师用电脑演示重叠的过程。如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB，垂足为E2教师用电脑演示重叠的过程。提问：（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称

4、轴是什么？20 ×20（ 2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由（2）AE=BE ，AD=BD AC=BC（二）引导探究，证明定理1引导证明：引导学生从以下两方面寻找证明思路。证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明。证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明。2归纳定理：20 ×20根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。（板书）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理：ADABCCEABOEB20 ×20COCCEEABEBAB20 

5、15;20ADDD向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2) 定理的变式图形。四 、例题示范，变式练习1运用定理解决赵州桥的问题。例1导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米拱高（弧的中点到弦AB的距离，20 ×20ODACR在图中 AB=37.4 ， CD=7.2BOD=OC-CD=R-7.2在 RtOAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2即 R2=18.72+ （ R 7.2 ） 2解得：R279（m）答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.EB20 ×20A解答： O 的 半 径 为 5cm.五小 结请大家围绕以下两个问题小结本节课学习了一个与圆有关的重要定理，定理的内容是什么？在圆中解决与弦有关问题时经常做的辅助线是什么？归纳 ：1. 垂径定理相当于说一条直线如果具备（1）过圆心；（2）垂直于弦则它有以下性质（1）平分弦；（2）平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧.20 ×202. 在圆中解决有关弦的问题时，经常