多面体旋转体

1、多面体和旋转体一 . 教学内容：1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中出现。解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清楚，计算准确。【典型例题】例 1.三棱锥 PABC ，PA a， ABAC2a，PABPBCBAC 60 ，求这个三棱锥的体积

2、。分析： 由题设PABPAC60P在平面 ABC 上的射影 O必在BAC 的平分线上又 BAC60 ， AB AC ，可知BC是正三角形考查方向： 考查三棱锥体积的常用求法。分析一：作P在底面上的射影 O，求 PO和C的面积注意到 PA1AB且 PAB60分析二：2知PA PB同理 PBPC，把 PBC作为底，则 PA为高分析三： 割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A 的平分线 AD ，交 BC 于 D，过 P 点作底面的垂线，垂足为O，由分析知射影O 必在 AD 上，易知 ABC是正三角形， AB=2a ，S ABC3a2PCDAOEB过 P作 PE AB ，垂足为 E，

3、连 OE，则 OE AB在 Rt PAE 中， PAE 60 ，PA aPE3，a ，OEAEtg303a2aAE26在 RtPOE中， POPE 2OE 26 a3VP ABC1S ABCPO2 a333解法二：（利用等积转换法解）在PAB 中PAa， AB 2a， PAB60PB 2a2(2a) 22a(2a) cos 603a 2PAB 是直角三角形， PAPB，同理可证 PA PC，又 PBPC PPA平面 PBC在 PBC中， PB PC3a，BC2aS PBC2 a2V PABCVA PBC1 SPBCPA2 a 333解法三：（用分割求积法解）由解法二知， PBPC3a， D是

4、BC 中点，连结 PDCPD，BC AD ，PDADDBC平面 PADVPABCVB PADVPAD2VB PAD2 SPADBD2a 3C33解法四：（用补形求积法解）延长AP 到 Q，使 PQ=a，连结 QB 、QC，可得一个棱长为 2a的正四面体VP ABC1VQ ABC12( 2a) 32a322123例 2.如图，已知直三棱柱 ABC A 1 B1 C1，用一平面去截它， 得截面2B2 C2 ，且AA 2h1 ，BB 2h2 ， CC2 h 3 ，若C的面积为 S，求证：介于截面与下底面之间的几何体体积V1 S h1h2h3 )。(3A 1C1B1C2B2h3A 2A h1h2CB考

5、查方向： 不规则几何体体积的求法分析： 将不规则几何体割补成规则几何体是求其体积的基本方法。VVC ABB2VC A 2B2AVC A2B2C2证法一：连结 AB2 、B2 C、 CA2 ，这样就把几何体 ABCA1 B1C1 分成三个三棱锥VVCABB2VC AA2 B2 VC A2 B2 C2V C ABB 2VB2 ABC1 Sh23V CAA 2B2VC ABA 2VA2 ABC1 Sh13V CV A 2 CB2C2VA 2 BCC2VB A2C2C VB ACC 2VC21A 2B2C2ABCSh331VS(h1h2h 3 )3证法二：连结 AB 2 、 B 2C，并作 BEAC

6、于 E侧面 AA 1C1C底面 ABCBE平面 AA 1C1C，设 ACa， BE h则 VVB 2ABCV B2A 2ACC 2111h 3 ) ahSh23 ( h13211h3 )1Sh2(h 1ah3321 Sh21 (h 1h 3 )S331h 2h3 )S( h13小结： 证法一运用了“分割”和“等积变形”的方法，将所求的几何体分割成三棱锥，然后运用三棱锥的顶点与底面的轮换，使问题得到解决，证法二引入了参数，使运算得到了简化。例 3. 已知圆锥外切于半径为 1 的球，求当圆锥体积最小时它的表面积。考查方向： 面积最值的求法。分析： 用一个变量把目标函数表示出来。解法一： 如图，作圆

7、锥 SO 的轴截面，此时球的截面是该等腰三角形的内切圆SCO1AOB连结 O1B ，设 SBO2，则 O1BOSO是圆锥的高，圆 O1的半径是 1在 Rt O1 BO中， BO1 ctgctg在 RtSOB中， SOBOtg2ctgtg2圆锥 SO的体积V1BO2 SO33ctg 2ctgtg223tg 2(1 tg 2)23( tg 21) 212402204当 tg 21 即 tg2时， V min8223此时， BO2，SO4SBBO 2SO 232S全S侧S底BO SBBO 28解法二：设C是SB 与圆 O1的切点，连结O1C，设棱锥高 SOh，底半径 OBr，母线SB=l在 Rt S

8、O1C中， SO1h 1， O1C 1SC(h1) 21h22hBOBCrlSCCBh 22hr在 RtSOB中， h 2r 2(h 22 hr) 2rhh2V 锥1r2hh 233h2( h 22h)(2 h4)43h2( h244)3h2h2V 锥 2( h2)4483h23当 h24，即 h4 时， V min8 ，此时 r2h23l3 2S 全S底S侧r 2rl 8小结： 解法一是应用二次函数求最值，解法二是用基本不等式法求最值。例 4. 四面体的一条棱长是 x，其他各条棱长都是 1。（ 1）把四面体的体积 V 表示成 x 的函数 f(x) ；（ 2）求 f(x) 的值域；（ 3）求

9、f(x) 的单调区间。考查方向： 立体几何与函数的关系解：（ 1）如图，设 BC=x ，则 S 到面 ABC 的垂足 O 是 ABC 的外心连 OA 并延长交 BC于 D，则 D 是 BC中点且 AD BC易知 AD14 x 2 ， SCx24设BC 的外接圆半径为R，由 R4x 2abc4S ABC得 R1， SO1R 23x24x 24x2V1 SABCSOx3x2 (0 x3 )312SCDAOB（ 2）f ( x)x3 x 21x 2 ( 3 x 2 )1212而 x23x23为定值， x2，3x200当且仅当 x 23x 2 即 x6时， f (x)取得最大值 128f (x) 的值

10、域为（0， 18（ 3）当x6时， f ( x) 取得最大值2又 0 x3f ( x)的递增区间是 ( 0，6 ，递减区间是 6， 3)22小结： 讨论函数 V(x) 的性质要注意变量x 的实际意义。例 5. 斜棱柱的底面是等腰三角形 ABC ，AB=AC=10 ，BC=12 ，棱柱顶点 A 1 到 A 、B、C 三点等距离，侧棱长是 13，求它的侧面积。解法一：取BC 中点 D，则 BCAD设 A 1O 底面 ABC ，则 O在AD 上BCAA 1 （三垂线定理）CBB1侧面 B1 BCC 1 为矩形取AB中点EA 1AA 1BABA 1EAE512由A 1 EA 1A13S 侧121021

11、3 12 396C1A 1B 1CAODEB解法二： 取 BC 中点 D，则C1A 1B 1ECADBADBCBC平面 ADA 1A1D BCCAA 1 ，过 B作 BEAA 1 于E，连 CE，则 AA 1平面 BECEC 为棱柱的直截面5等腰1 AB 中，易知 cos EAB1312sin EAB13120BEABsin EAB13S侧 (1202 12) 13 39613选题目的： 熟练求斜棱柱侧面积的两种解法，旨在培养和提高计算能力，并令学生体会良好的逻辑思维能力是达到正确熟练运算的基础。例 6. 如图，在半径为5cm 的球面上有A 、 B、 C 三点，每两点间的距离分别是BC=4.8

12、cm ，CA=8cm ，求：AB=6.4cm ，（ 1）过这三点的平面与球心 O 的距离。（ 2） B、 C 两点间的球面距离。（ 3）过 OO的球的直径PD 的端点 P 与 ABC 的三顶点组成的三棱锥P-ABC与底面所成的二面角。（ 4）由点 P和C的外接圆组成的圆锥PO' 与球 O的体积比的侧面 PBCDAOCBMOP解： （ 1）OO'截面 ABC在C中4.8： 6.4： 8 6： 8： 10ABC 为直角三角形，且ABC90O' 在AC上' C 4，OC 5，则 OO'3故过这三点的平面和球心O 的距离为 3cm（ 2） B、 C两点的球面距离

13、是截面 BOC 的劣弧 BC 的长在OC中， cos BOCOB 2OC 2BC 23372OBOC625BC 为5arccos337625即 B、 C两点的球面距离为 5 arccos 337 ( cm) 625（ 3）取点 M为BC的中点，则O' MP为三棱锥 PABC 的侧面 PBC与底面所成二面角的平面角而 PO' 8cm， O' M1 AB. cm232在 RtPO' M 中， tgO ' MPPO'5O' M2O' MP arctg 5 ，故所求二面角为 arctg 522（ 4）V圆锥P ABC14 28128 (c

14、m 3 )33V球O 453500( cm3 )33故V圆锥PABC ：V球O128： 50032：12533【模拟试题】1.圆台两底半径分别是1 和 2，则这个圆台与截得它的圆锥的侧面积之比为（）。A. 2：1B. 1：2C. 3：4D.1：42.设正方体的全面积为24cm2 ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）4cm3B.8cm3C.6 cm 332cm3A. 33D. 33.若干毫升的水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A. 63cmB.6cmC. 23 18cmD. 33 12cm4

15、.ABC 三边长 AB=5 ， BC=3 ， AC=4 ，设分别以此三边为轴，把C 旋转一周所得旋转体的体积为 VAB 、 V BC 、 VAC ，那么它们的 大小关系是（）A. VABV ACVBCB. VABV BCV ACC. VBCV ABVACD. VBCVACVAB5.三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面内一点到三个侧面的距离分别为2cm、3cm、6cm，则这点到三棱锥顶点的距离为 _。6. ABCD 是边长为 1 的正方形， E、 F 分别为 BC、 CD 的中点，沿 AE 、 EF、 AF 折成四面体，使 C、 B、 D 三点重合，那么这个四面体的体积等于_ 。7. 正方体的八个顶点

16、中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，那么正方体的表面积与这个正四面体的表面积之比是（）236A.3B.2C.3D.28.在直径为 AB=2的半圆上有一点P，过 P 的切线 CD 交 BA 延长线于 P，交过 B 的切线于 C，现以 BD 为轴旋转得一圆锥，求圆锥体积的最小值，并求取得最小值时此圆锥的高。9.如图，在正三棱柱 ABCA 1 B1C1 各棱长都等于a， E 是 BB 1 的中点，（ I）求直线 C1B 与平面 A 1B1BA所成角的正弦值；（II）求证：平面 AEC1 平面ACC1A1；（III ）求点C 1到平面 AEC 的距离。A1C1B1EACB【试题答案】1. C2. A

17、提示：球的直径 =正方体的棱长3. B 提示：利用体积相等4. D 提示：注意弄清楚旋转所得的圆锥和圆锥的底面半径和高5. 7提示：构造长方体（长宽高分别为2、 3、 6），所求的距离为其对角线长。16.247. C8.BCO为(0，)，则 BCctg ， BD ctg tg2解：设4V1ctg 2ctgtg2312ctg 231tg 2123tg2(1tg 2)12223( tg1tg) 221 88331tg 2tg 2 ，即 tg2当且仅当2取等号，这时BC2，高 BD4DAPOBC9. 解：（I）取 A 1B1 中点 M ，连结 C1M ，BM三棱柱 ABCA 1 B1C1是正三棱柱C1MA 1B1，C1MB1C1M平面 A 1ABB 1C1 BM 为直线 C1B 与平面 A 1ABB 1所成的角在 RtBMC 1中， C1M3a， BC12a2sinC1M6C1BM4BC 1A1D1C1MB1FEACB（ II ）取 A 1C1的中点 D 1， AC 1的中点 F，连结 B 1D 1， EF， D 1F则有 D1F/ /1/ /1AA 1， B1EAA 1/22D 1 FB1 E则四边形D 1 FEB 1是平行四边形EF /B1D1由于三棱柱 ABCA 1B 1C1 是正三棱柱1 D1 A1C1又平面 A 1B1C1平面 ACC 1A1 于A 1C1，且 B