常用信号卷积和

1、第5章离散时间信号与系统的时域分析5.1离散时间信号的基本概念2离散信号的运算与变换3离散系统的基本概念4线性时不变离散系统的响应5离散系统的单位样值响应 5.6离散卷积与零状态响应、.5J离散时间信号的基本概念5：L：L离散时间信号的描述5：L2基本离散信号1=513基本离散信号的特性5.1.1离散时间信号的描述离散时间信号是指仅在不连续的离散时刻有 确定函数值的信号，也称离散序列。时间上离散的数据在时域内表示为离散时间 信号，其只在离散时刻才有定义。05-1由连续时间信号到离散时间信号伽科3.1,3&4.3,坍4,35250/7 .n=0.返回5.1.2基本离散信号5.1.2基本离

2、散信号-1.单位样值信号加）（单位样值序列）n = knk5.1.2基本离散信号况(72)2.单位阶跃序列u(n)可以看成是u(t)的抽样信号n>0n<05.1.2基本离散信号u(n-k)是移位的单位阶跃序列n>kn<k5.1.2基本离散信号5.1.2基本离散信号Torm0 12 3-1 0j,i,i,r.wk-kk+k+2 R+35.1.2基本离散信号-3.单位斜变序列R(n)可以看成是单位斜变信号R(t)的抽样信号5.1.2基本离散信号5.1.2基本离散信号R(n) = nu(n)= <n>0n <0-4.矩形序列GkM又称门函数序列Gk(n) =

3、 <0 <n <k-1其他k R(n)3 /2 /9</1 / 丄 -1 o 123图56单位斜变序列fG心）° 1 f 1 | 1| 1' n-1012k- k图57矩形序列5.1.2基本离散信号-5.单边指数序列a11f(n) = a%(n)kanun)I、 Ov a v 10123n-1 0123(a)衰减指数序列(b)增长指数序列(C)单位阶跃序列kanu(n)»1 012 34-10” 7、八dS心)(d)振荡衰减指数序列(e)振荡增长指数序列(f)等幅振荡序列图58指数序列715.1.2基本离散信号6r Jt弦序列 sinAi 或

4、 cosQm 相对于止弦信号sin旗或coso?ff (m) = siii / (yi) = cosQw71n图59周期正弦序列之一71-0.76-1-0.91个sin乜“110.910.760.99O0.540 121341567-0.28 1-0.54-1-0.990.28T810-0.76 o0.91图510周期正弦序列之二0.91 >n11 121H5-11非周期正弦序列5.1.2基本离散信号-7.复指数序列严与连续复指数函数相似利用欧拉公式将其展开为正弦序列，即：ejQn = cosQn + j sin Cln5.1.3基本离散信号的特性1 r 3(yi)、 u(yi)、 R(

5、yi)之阿的关系(1 ) 与U(M)的关系:OOu(ji) =、©(n_k)k=08 (n) = u(n) - u(n -1) (2) U(n)与R(n)的关系:= R(n + 1)- R(n)5.1.3基本离散信号的特性2.用5何来表示任意离散信号f(n)/(«) = + /(2)5 + 2) + /(一1)5 + 1) + /(0)5)+ /(1)5( -1) + /(2)5( 一 2) + + f(k)3(n 一 Q + C0=工 f(k)5(n-k)k=(>2-3_21 / 1ri o i2V() 3n图5J2例5寸图5.1.3基本离散信号的特性3.住迪与任意

6、佶晉相最特社J'(n - Jt) = f(k _ m) S( h - Jc)E 5-135(h) R 3仪-肋与任意信号的相乘特性土 52离散信号的运算与变换521相加 522相乘523差分524求和525反褶526移位 527尺度变换5.2.1相加任意两个离散信号/.和£備，其相加运算表达式为:yW = f(n) + f2(n)522相乘任意两个离散信号(«)和人(»),其相乘运算表达式为yW = fl Wf2 (n)与信号相加运算一致，信号相乘运算也要在对应时刻进行。例52中两离散信号的相乘结果为yW = fn)f2(n) = < 45. -2,

7、 0,-4 >T°n=0.523差分离散信号的差分运算分为前向差分和后向差 分两种。离散信号f (n)的前向差分运算为:离散信号f(n)的后向差分运算为：524求和信号的求和运算是对某一离散信号进行历史 推演求和过程。F（n）的求和运算为ny（）=工/伙）n-10234n-10234fW20000yW1w4) f©<g)332222n-10234n-10234图5J4信号求和示意图a yS)2r-1| n-1 0 1 2-1返回返回C a)离散信号(b ) f(?i)的求和信号M返回返回E545离散信号及其求和信号返回5.2-5反褶f(-称为原信号/何的反褶信号

8、口从液形上看.反褶就是把原信号崔对沿纵轴翻转违呼-1图516反褶信号返回5.2.6移位-1 0 1一 YLV(« + 2)LL_-3 -2 -1 0-1n 2L_o 1 2 h-1图5-17左移位信号图518右移位信号5.2.7尺度变换尺度变换是将用信号压縮或扩展的过程口anan当恥1陆伽）相对于他洽时间轴被压編，变为原来时州倍，当1时,/（邮）相对于/的沿时间轴襪扩展，变为原来的网倍。无论圧缩或扩展，纵轴数值相对不变.返回仃(2)仃中)门21123：1返回返回(a)压缩信号(b)扩展信号返回返回H5-19信号的尺度变换返回5.3离散系统的基本概念5.3.1离散系统532线性时不变（

9、LTI）系统533离散系统的数学模型534离散系统的模拟5.3.1离散系统离散时间系统，简称离散系统，此类系统的输入 信号是离散信号，输出也是离散信号。x(n)离散系统H5-20离散系统框图5.3.2线性时不变（LTI）系统-1.离散系统的线性特性2.离散系统的时不变特性1离散系统的线性特性已知.打何（越T片（K） 3、勺为常数若存在如下关系:axxx (n) + a2x2 (n) > a yx (“)+ a2y2 (“)j, 2.离散系统的时不变特性已知嵐” T y (ri),若系统存在如下关系:x(n _ 切 T y(n - k)八 y(“)八 y5-k)时不变系统n1 I It0k

10、 k + k + 2 k+3 k+4 k+5 k+6S5-21时不变离散系统返回5.3.3离散系统的数学模型-1. 一阶离散系统数学模型的建立-2.二阶离散系统数学模型的建立1一阶离散系统数学模型的建立连续系统完成的功能也可以用数字系统来近 似实现；以一阶连续系统为例来获得一阶离散系统的 数学模型。x(Z)c 二Z旳)根据电路理论有:S5-22 RC电路dy(t) !1dt RC1RCx(t)2.二阶离散系统数学模型的建立图5-23是一梯形电阻网络,F2CU2,M是各节点的序号,令各节点对地（相当于对电源负端而言）电压为卩 /为常数.其中v(n-2) R v(n -1) R v(n)!_CZI

11、!CZIt-IZZFv(h + 1)>(N _ V) Rv(/V)“叩"叩"“/? "口“ 叩图523梯形电阻网络二阶离散系统的数学模型为:y(ri) + ax y(n-l) + a2 y(n-2) = bGx(n).534离散系统的模拟-1.离散系统的基本单元 -2.离散系统的模拟1离散系统的基本单元加法器：其输入与输出关系表示为：X1(M) pf y何y(n) = Xj (n)+x2 (n)标量乘法器：其输入与输出关系表示为：琢)_、啲y (兀)=ax(jl)!离散系统的基本单兀延时器：其输入与输出关系表示为:兀的H Z T X闵y)=兀-1)2.离散系

12、统的模拟若一阶系统的差分方程为：y(n) + ax y(n -1) = x(n)则有：y(n) = x(n) - ax y(n -1)x(n)图5-27 阶离散系统模拟框图X（/2）H5-28二阶离散系统模拟框图xti）vv）心）图529例55图返回5.4.1迭代法542经典法543零输入响应与零状态响应樂快4糊皺碟亲笔谢d- 世展蛛划盘樂快金糊咲来甲谢1-1坦諺f S5.4.2经典法描述n阶系统的后向差分方程为:y(n) + % y(ji _ 1)aN y(ji -N) = bQx(n) + b x(n _ 1)bM xn-M)经典法求解差分方程与经典法求解微分方程相忆通过求解差分方程的齐肉

13、解川)和特解打(”)来求系统的全响应旳卄即;yW = yh W + yp(n)1.齐次解儿町式（5-充）的齐袂方程为：尸>2）+转用_1）+戊白冲_ N） = 0 特征方程为：严 + 駕严 | + + % =0经因式分解（r - rtXr -“）（$-卩心）（$ -忌）=d，可得特征根爲，厂，,和-（1）当特征根为N个单根时，齐次解的一股形式为：片 GxfX&y（5-39）C2）当特征根中有丘重根，其余为（Z）个单根时，齐次解的一般形式为：丿 a = 士+ 士 CQ）"<5-40）41戶 IIZ特解儿特解片弦）与激励有关，其形式的确定琴考表51 将特解儿冲）和獄励

14、X（ri）代入式 （5-36）,根据平衡系数法比较方程两边对应项的系数，可以求出持解的待宦系数=特解是因 激励而得，故称其为强迫响应。表5-1差分方程的特解总式序号输入序列刈旳（门二。）特解外（门）的形式1卫（常数）丘（常数）23C3n （ （2不是特征根）耶“序号输入序列城n) (n=0)特解外(间的形式4£2" ( 12是特征根)耶“ +恥“5sin血占sin血+ E cos仙6cos Qm£ sin 血 + £ cos On3.全解y(n)系统的全解，即系统的全响应为:yM = yh(n) + yp(n)5.4.3零输入响应与零状态响应1.零输入响

15、应儿）响应形式分为以下两种情况：（1）当特征根为单根时，零输入响应为:N小）二m亿）“i=（2）当特征根中有K重根，其余为（NK）个 单根时，零输入响应为：kN儿何二工D：何1亿)"+工0 (”1=1j=k+表52零输入响应形式对照表方程 阶次一很方程（寒输入条件）特征抿零输入晌应形式心0）磊数求解 边界条件一阶Xn) + a(n-l) = O儿何=耳-殆”(-1)二阶+aj'(n -1) +a jj(?3 -2) =0兀、厂2为单实根儿（M胡卅+ 2玮7(-1) b(J)厂严八二厂为重根儿何=(Q +Mn)r"打.2 =立±J0为共辄复根jE1 = jf

16、Q cosQm + 耳 sinE)2.衮状态喩应儿零状态响应是在不若虑系统储能的情况下，仅由外加激励疏对引起的响应。因此,求零状态响应少皐呵需要求解非齐伙方程:y(h) + axy(n-Y)-aN y(n -N) = bQx(n) + bx x(n 1) dbMx(n M)此时系统的初始状态:y(-l) = y(2) = y(N) = 05.5离散系统的单位样值响应5.5.1单位样值响应-5.5.2单位阶跃响应5.5.1单位样值响应5.5.1单位样值响应A h(n)()一 LTI 系统 一 /?(«)./Th0 1图530单位样值响应若离散系统的差分方程为:y(n) + ax y(n

17、_ 1)aN y(n-N)- bQx(n) + bxxn 1)bM xn M)迭代法彳列513离散系统的差分方程为:歹（）一二歹（一1）=兀（）2.经典法 若离散系统的差分方程为:Xn) -1)+ffll当iM信号x(”)=血陆系统的响应y(初=劇，即:耳呦+砧(1)+和测旳=?(?!)所以有:h(n) - 3(n) a、h(n -1)aNh(n - N) (1) 一阶离散系统的单位样值响应。若一阶离散系统的差分方程为:y(n) + aly(n-l) = x(n)二阶离散系统的单位样值响应。图5七1例515图表53单位样值响应形式对照表方程 阶次一很方程 （零状态条件）特征很单值样伯哺应形式系

18、数求解 边界条件人何+砧(甩-1) = J(n)险(n) = D(-a1)nu(M)(0) = 1hi (n) +(3力(刃 _1) + 陽爲(”一 2)=莎(町岗单实根A(?a) = Qifin+A 曲何(0)=1>(-1) = 0r. = = r为重根肌町=|+。2刃2昨）ri.i = * 士为共辄复根人刃)=# (D |CosG+ Dsin£>2)u(H)返回&髯节卞sgffis議®垂毒需 a -aggAHzvsMsf于gLT 一lm翥s醤lsgs TD51伺量1"TBT營1).56离散卷积与零状态响应.5.6.1离散卷积和562卷积和的

19、性质563零状态响应5.6.1离散卷积和-1.离散卷积和定义 -2.解析法求解离散卷积和 -3.图解卷积和1-离散卷积和定义已知二离散信号A3）和£（町，离散卷积和的定义为:co/1（）*/2（）=工/1 伙）/2（ 幻k二当/|何和人3）均为因臬序列时，两者卷积和为;,2/1 （“） * f2W =工人伙）,2 一 k）k=02解析法求解离散卷积和表5-4卷积求和常用公式序号求和公式备连113 f 肌一冏 +1) £2=1 伺 i ， “'叫1一门用与咫均为实整数，且2热2无穷递減等比级数求和，公比为应. 首项为抽3詁也+殆区-臨+1)y2肉与肌均为实整数，且芯Z

20、表55常用信号卷积和序号灾）3）1呛）5+1)咖2nu(n)晌）*（刃+ 1卫何3C2nL!(n)1_ n*l讥心"11-Q4nu(n)nu(n)£(九 + 1)刃仗-l)u(n)5C2n22(n)nu(n)nz *cz(an -1)十、1 严皿呦6a"u(n)a(n)nid.n b|-一卫5),£?|工禺a Qji7anu(n)anu(n)(w+l)anu(w)3图解卷积和离散信号的图解卷积和与连续信号的图解卷 积积分类似。此种方法便于确定求和的上下限，尤其适用 于简单序列的卷积和运算； 其缺点是不易得到闭合函数形式。 22tJ0 12 n图532n例

21、518图其图解卷积步骤如下: 首换（H»）,即拆何-爪小几H）T几（财（2）反褶即朋）*-哄（3）移位（-kn-k ）,冃卩人（-肪T几0-肪。（4）相乘,即右的人3-購- 求和，即7（M）= y,（n- k） uJt-D01230 1“置换”4 A（-） >3仆2r I-2 1 0“反褶”32“移位”1()th O I I - n v-2132 伙)“移位” 2 ()厶（2-）31/1 2<r 2 齐伙)rL0123“移位” 3 ()“移位” 3k皿)£5寸)32T1 I I汕L. jH1 1 1h_1_1_o,10234 02345 "023&qu

22、ot;八£伙）厶（5-灯3“移位” 4 ()“移位” 5 ()“移位” 6 ()图533图解卷积过程图534卷积结果->n5.6.2卷积和的性质1.交换律fl ）* ,2 ）=,2 ）* /1 ）2.分配律fi（兀）*/2+ 厶（）=/i（兀）* f200 + f （n） * f3（n）3.结合律/i （） * f2（） * fs（）= f（”） * “2（“）* /s 4. 5()序列与任意序列的卷积和f(n)(n) = f(n)5. U(ii)与任意序列的卷积和n/()*%()二工/农二一00图535子系统并联05-36子系统级联八 2/（） 4 f4 021 T0123L"八