平行四边形专题

1、第18章平行四边形专项训练专训1:平行四边形的性质1、（2014宁夏）在平行四边形ABCD,将ABCS AC对折，使点B落在B'处,AB和CD 相交于点O.求证：OA OC2、（2015 南通中考）如图，在 U?ABCDK 点 E, F 分别在 AB, DC上，且 EDL DB, FBI BD.（1）求证：zAEDACFB. (2)若/A=30° , / DEB=45° ,求证：DA=DF.专训1.判定平行四边形的五种常用方法名师点金：判定平行四边形的方法通常有五种，即定义和四种判定定理，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，选择恰当的方法，从而简化解题过程.1.如

2、图，在？ABCDt, E, F 分别为 AR BC上的点，且 BF= DE，连接 AF, CE，BE, DF, AF 与BE相交于M点，DF与CE相交于N点.求证：四边形FME岫平行四边形.2.如图，已知 ABD BCE ACF®是等边三角形.求证：四边形 ADEF1平行四边形.3.已知：如图，在四边形 ABCW, AB/ CR E, F为对角线AC上两点，且AE= CF, DF/ BE.求证：四边形ABC时平行四边形.4 .如图，在？ABC叶，BE平分/ABC交AD于点E, DF平分/ ADC交BC于点F,那么四边 形BFDE1平行四边形吗？请说明理由.5 .如图，？ABCW,点。

3、是对角线AC的中点，EF过点O,与AR BC分别相交于点E, F, GH±点0,与AB, CD分别相交于点 G H,连接EG FG, FH, EH.（1）求证：四边形 EGFH 是平行四边形；（2）如图，若EF/ AB, GH/ BC,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形AGHM积相等的所有平行四边形（四边形AGH除外）.6、（2015遂宁）如图,AADDHBF在对角线BD上，且BE=DF求证:G平行四边形ABCm，点E 四边形AECF平行四边形.(1) AE=CF7、如图，以 ABC勺三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形， 即 ABD BCEA ACF请回答下列问

4、题，并说明理由（1）四边形ADEF是什么四边形;（2）当 ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形;（3）当 ABC满足什么条件时,以A, D, E, F为顶点的四边形不存在8、如图，在UABCD中，E, F, G, H分别是四条边上的点，且满足 BE=DF, CG=AH ,连 接EF, GH.求证：EF与GH互相平分专训2.构造中位线的方法名师点金：三角形的中位线具有两方面的性质：一是位置上的平行关系，二是数量上的 倍分关系.因此，当题目中给出三角形两边的中点时，可以直接连出中位线；当题目中给出 一边的中点时，往往需要找另一边的中点，作出三角形的中位线.连接两点构造三角形的中位线1、如图，

5、四边形 ABC时,E、F、G H分别是AR CD AG BD的中点，那么四边形 GEHF! 平行四边形，为什么？2、如图，四边形 ABCg, E、F、M N分别为AR CD. BD. AC的中点，求证：四边形 EMFN 为平行四边形.3、已知：如图，四边形ABCLH条边上的中点分别为 E、F、G H,顺次连接EF、FG GH HE, 得到四边形EFGH(即四边形ABCD勺中点四边形).(1)四边形EFGH勺形X犬是,证明你的结论；(2)当四边形ABCD勺对角线满足 条件时，四边形EFGHt矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？ .4、如图，点B为AC上一点，分别以AB, BC为

6、边在AC同侧作等边三角形ABCffi等边三角形 BCE点P, M N分别为AG AD, CE的中点.(1)求证：PM= PN; (2)求/ MPN勺度数.5、（2015广州）如图，四边形 ABCtDK Z A=90° , AB=3/3, AD=3点M N分别为线段BC, AB上的动点（含端点，但点 M不与点B重合），点E, F分别为DM MN的中点，则EF长度的最大值为.V 5利用角平分线+垂直构造中位线6 .如图，在 ABg,点M为BC勺中点，AD为ABC勺外角平分线，且 AD±BR若AB= 12, AO 18,求DM勺长.7 .如图，在 ABC,已知AB= 6, AO

7、10, A叶分/ BAC BDLAD于点D,点E为BC的中 点，求DE的长.倍长法构造三角形的中位线8 .如图，在 ABC中，/ABG= 90° , BA= BG BEF为等腰直角三角形，/ BE已90° , M 1为AF的中点，求证：ME= 2CF已知一边中点，取另一边中点构造三角形的中位线9 .已知：如图，在四边形 ABCDfr, AD=BC M N分别是AB CD的中点，AD, BC的延长线交 MNT E、F.求证：/ DENW F.10 .如图，在四边形 ABCm，M N分别是AD BC的中点，若AB= 10, C58,求MNfe度的 取值范围.11 .如图，在AB

8、C, / C= 90° , CA= CB E, F分别为 CA CB上一点，CE= CF, M, N分 别为AF, BE的中点，求证：A已，2MN.已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线12 .如图，在 ABC中，AB= AC, ADL BC于点D,点P是AD的中点，延长BP交AC于点N,，、一1求证：AN= 3AC.专训11 .证明：:四边形ABCD1平行四边形，DE= BF,.DE BF. .四边形BFD助平行四边 形.BE/ DF.同理，AF/ CE.四边形FMENfc平行四边形.2 .证明：:ABD ABCE ACF®是等边三角形，BA= BR BO BE,

9、/ DB与 / EBG= 60° . . / EBC- / EB七 / DB/V /EBA ./ABG= /DBE.； ABGDBE.；AF= AO DE.同理，可证 AB登 FEQ .AD= AB= EF.四边形ADEF平行四边形.3,证明：AB/ CD ；/BAE= /DCF.BE/ DF,/ BE已 / DFE.丁 / AE氏 / CFD.在 AE喇 CFD中，/ BAE= / DCFAE= CF,.AEB ACFtD . AB= CD.又AB/ CD 二四边 ABC此平行四形./AE氏 /CFD4 .解：四边形BFD式平行四边形.理由：在 ？ABCD, / ABC= / CD

10、A / A= / C. 11. BE 平分/ABC DF 平分/ADC / ABE= / CBE= 5/ABC / CDF= / AD已/ADC.； /ABE= / CBE= /CDF= Z ADF. Z DFB= / C+ /CDF / BE氏 / AB曰 /A, / DF氏 / BED.四边形BFDEt平行四边形.5 . (1)证明：:四边形 ABC北平行四边形，. AD/ BG OA= OC / EA& / FCO./ EA& / FCO在OAEfOCH,O上OC. .OA窜AOCF O9OF.同理 O岸 OHZAOE= / COF一四边形EGF限平行四边形.(2)解：与

11、四边形AGHM积相等的平行四边形有？GBCH?ABFE ?EFCD ?EGFH.专训21 一 11. (1)证明：如图，连接CD AE.由二角形中位线定理可得 P楸/CD PN触/AE. . AABD和 BCE 是等边三角形，AB= DB, BE= BG / AB氏 / CBE= 60° , . . / AB巳 Z DBC/ AAB草 ADB(C . . AE= DC.； PMh PN.(2)解：如图，设PM交AE于F, PN交CD于G, AE交CD于H.由 (1)知 AAB草 ADB(C./BAE= / BDC.； / AH& / ABD= 60° , . / F

12、HG 120° .易证四边形PFHG平行四边形，./ MPN= 120° .2 .解：如图，延长BR CA交于N.在ANDffi4ABD中,/ NA氏 / BADAD= AR. .AN四AABDAS/A ./ADNh /AD氏 90° ,1八1八 1八D*DB ANAB./. DM= NC=AN+ AC)=(AB+ AC)= 15.3 .解：如图，延长BD交AC于点F, = AD平分/ BAC /BA& Z CAD. / BD± AR / AD氏 / ADF又AAAD, .ADBAADF(AS/> . . . AF= AB= 6, BD=

13、FD. AO 10, a CF= AC- AF= 10- 6= 4. 1 11.E 为 BC 的中点，DE 是BCF0勺中位线.DE= ,CF= /X4= 2.14.证明：如图，延长 FE至N,使EN= EF,连接BN AN.易得 ME= /AN. EF= EN / BE已 900 , BE垂直平分 FN. ；BF= BN. / BNF= / BFN. vA BEF为等腰直角三角 形，/ BEF= 90° ,. BF+ 45° . . ./ BN已 450 ,. ./FB* 90° ,即 / FBA+ /ABN= 90= 90° ,cN.又. / FBA

14、+ / CBF M D丁. / CB曰 / ABN.ftA BC林口 BAN中,BF= BN/CB已 /ABNBO BA1. BC/ BAN.； CF= AN./. ME= 2AN= 2CF.5.解：如图，取BD的中点P,连接PM PN.M是AD的中点，P是BD的中点，. PM® AABD的中位线，1 -1, .P阵 2AB= 5.同理可得 PN= 2CA 4.在 PM即，PM- PN<MN<PM+ PN1<MN<9.1A6 .证明：如图，取 AB的中点H,连接 MH NH则M生2BF, NH= 1 AE.V CE= CF, CA= CB, .AE= BF.；Mhk NH.点 M H, N 分别为 AF, AB, BE 的中点， .MH/ BF, NH/ AE./AH阵 /ABC / BHN= / BAC./MHK 180° - (Z AHIM- Z BHN> 180° - ( ZABC /BACA