平面向量四心问题(最全)

1、近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面解析：如图1,以AB AC为邻边构造平行四边形ABCD E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则A-AC=AD ,因为用Q = 2"所以，上式可化为 小 二丸班,E在直线AP上，因为AE为Aj8c的中线，所以选C.点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及 三角形重心性质等相关知识巧妙结合垂心问题三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上 . *,*1 ,勺,.例2 P是 ABC所在平

2、面上一点，若PA PB = PB PC=PC-PA ,则P>AABCA.夕卜心B.内心C.重解析：由以'Ei瓦也得以1空£-尸艮山”即一二一一 八 则尸史凡同理FALBC,FCHB ,所以P为&C的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三 角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两 向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合 .3、 内心问题三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上例3 已知P是 ABC所在平面内的一动点，且点 P满足工 父。,“0)

3、则动点P一定过 ABC的A重心B、垂心C、外D、内心AB解析：如图2所示，因为是向量通 的单位向量设 运 与示？方向上的单位向量-1- 1_ 1_- 1分别为和与，又不-AP ,则原式可化为4=亚可+电)，由菱形的基本性质知AP平分/班°,那么在h转。中，AP平分/助° ,则知选B.AB点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先 11是什么？想想一个非零向 量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，这道题就迎刃而解了 .4、 外心问题三角形“外

4、心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”就在垂直平分线 线上.例4已知。是4ABC内的一点，若。=0月=UC ,则。是4ABC的.A.重心B.垂心C.外心D内心解析：i：0A ,。冏=|°夕匕* =QC?|Q4|=|。叫,由向量模的定义知。到山4死的三顶点距离相等.故0是山史 的外心，选C.点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合三角形的“四心”与平面向量向量本身是一个几何概念， 具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点。三角形的“四心”(外心、内心、重心、

5、垂心)是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特 殊的性质。在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。这就需要我 们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：AB AC、设 0,则向里 (| ,百=p必平分/ BAC该向重必'通过 ABC的内心；AB ACAB AC设 0,，则向里 (, ， 必平分/ BAC的邻补角AB AC设 0,ABAC的垂心ABC中AB AC 一定过点。是 ABC的外心 点。是 ABC的重心点。是 ABC的垂心点。是 ABC的内心4ABC的外心0、重心AB|cosBBC的中点, 2 2O

6、A OB)必垂直于边BC,该向量必通过 ABCAC cosC通过 ABC的重心 2OCOA OB OC 0OA OB OB OC OC OAa OA b OB c OC 0 (其中 a、b、c 为aabc三边)G、垂心H共线，即OG / OH 设。为 ABC所在平面内任意一点,G为ABC的重心，I为 ABC的内心,1 则有 OG (OA OB OC) 3OI aOA bOB cOCXa+Xb+Xc并且重心G (一3YA+Yb+Yc3)内心I (aX+ bXB+ cXca+b+cayA+ by b+ cy ca+b+c例1: (2003年全国高考题) 。是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的

7、三点，动点P满足0P0A(AB AC )AB AC0,则动点P的轨迹一定通过 AB8()(A)外心(C)重心(B)内心(D)垂心事实上如图设AEAB 一 ACtab, AF 片都是单位向量ACAB易知四边形AETF形故选答案B例2 : (2005年北京市东城区高三模拟题)0为乙ABC所在平面内一点，如果OA OB OB OC OC OA ,则 O必为 ABC的()(A)外心(B)内心(Q重心(D)垂心事实上故选答案D例3:已知。为三角形ABC所在平面内一点，且满足BC(A)外心OBM2OC(B)内心(QAB，心2,则点0是三角形(D)垂心ABC的()事实上由条件可推出 0A ob ob oc

8、oc oa故选答案D例4:设。是平面上定点，A、B、C是平面上不共线的三点,动点P满足OP OAABAB|cosBAC )AC | cosC0,则动点P的轨迹一定通过 ABC的()(A)外心(B)内心(Q重心(D)垂心事实上 (ABACAB kosB ACcosC)?BC (BCBC) 0例 5、 已知向量i0P1i |OP； |OP3| i,求证:满足条件故选答案D分析对于本题中的条件 PP2P3是正三角形.Op1| |Op2| 1 ,容易想到，点0是PP2P3的外心，而另一个条件0Pi OP? 0P3表明，点。是APP2P3的重心.oA oB oB oC (oA oC) ob 0 ca o

9、b 0 ob ± ca故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形一 定是正三角形.在1951年高考中有一道考题，原题是：若一三角形的重心与外 接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？与本题实质是相同的.I显然，本题中的条件|0，| |OP2| |OP3| i可改为|OP1| 高考原题例6、0是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足0P 0A (A|AB| |AC|/C-)0,).则P的轨迹一定通过 ABC ().A.外心分析已知等式即aE,aF都是单位向量,B.内心C.重心aP （耳工,设1aE|aB| |ac|以二者为邻边构造平行四边形，

10、D.垂心显然则结果为菱形，故AP为ABC的平分线，选B .例7、 ABC的外接圆的圆心为。，两条边上的高的交点为H,oH m(oA OB oC)分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂,更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下，由已知，有向量等式将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有（oH oA）|（oC oB）0,0,将已知有m(oA oB oC) oA|(oC oB) 0(OC2 oB2) (m 1)oA|BCBC 0,由o是外心，得（m 1)oA|bC 0由于ABC是任意三角形，则oA|BC不包为0,故只有m 1何成立.或者，过点o作oM BC与M，则M是BC的

11、中点，有oM2(oB oC)；H是垂心，则AH BC ,共线，设AHoH GA AH GA (GB oC)oH m(oA oB oC)故可得(m k)QCk彘、2'2.根据已知式子oH m(oA oB oC)中的oA oB oC(m 1)oA (m0,得m部分，很容易想到三猜想的诱因，其一是，BF,oT均与三角形的边角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G, o是平面内内上小七力 oA oB oc,由题意，题目显然叙任一点，均有og 3述的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图1, 由图上观察，很容易猜想到HG 2G。，至少有两个产生AC垂直，则BFOT;其二，点G是三角形的中线BT

12、的三等分点.此时， 会先猜想BHGs/Xtog ,但现在缺少一个关键的条件，即 BH 2OT ,这样 由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似.当然，在考 试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明.本题结论是关于三角形的欧拉定理，即设 Q G H分别是ABC勺外心、重心和垂心，则。G H三点共线，且OG： G生1 ： 2,利用向量表示就是OH例8、点O是三角形ABCff在平面内的一点，满足oA|ob ob|oC oC|oA则点。是ABC的（）.A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交占 八、C.三条中线的交点D.三条高的交点移项后不难得出，OB(CA o

13、C|ab OA|CB 0，点。是ABC的垂心，选推广应用题小.例9 在ABCrt求一点P,使AP2 BP2 CP2最分析如图2 ,构造向量解决.取AP x a, BP x b.2CP(X一 X,3Jr aJr X当*(a1 一 3时JFbCP2最小，此时，即21-坊则点P为ABC勺重心.例10已知。为ABCf在平面内一点，满足T2 T2 T2 t2 t2 r2iOAi2 iBCi2 iOBi2 iCAi2 ioCi2 i aBi2,则 o为abC勺心.分析将j.IbCi2 (oC oB)2 oC2 oB2 2oc|oB , icAi2,i aBi2也类似展开代入，已知等式与例4的条件一样.也可

14、移项后，分解因式合并化简,O为垂心.例 11已知。为 4ABC的OAsin BOC OBsin AOC oC sin AOB分析构造坐标系证明.如图3 ,以 A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C万SA aob12X2Y0，直线BCy3x (X2 X3)yX2y30,由于点A与点O必在直线BC的同在x轴的上的方程是，因此有义。、3X3y0 X2 y0%'b0,Q 1SA BOC2(X3y0 X2y3 X0y3X2y(0 直线AC的方程是y3X X3y 0 ,由于点（1,0）与点O必在直线AC的同侧,y3 1X3 0 0 ,因此有 X0y3 X3y0是，容易验证，OA1,、0，付 S/X A

15、OC-(x0Y3 X3y0) SABOC OB SA AOCOC Saaob 0 ，Sa boc& BOA32ioBiioCisin BOC ,sin AOB , SAaoc2i|sinAOCi iOC i,1重重心2、垂心3、内心4、外心根据概念，可知各心的特征条件.比如：重心将中线长度分成2:1；垂线与对应边的向量则所证成立.总结：知识综述（一）三角形各心的概念介绍三角形的三条中线的交点；三角形的三条垂线的交点；（三角形内切圆的圆心）；三角形的三个内角角平分线的交点三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）积为0;角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等.（二）三角形各心的向量表示1、ABC的重心OA OB OC 0 ；2、ABC的垂心