第三章poisson过程与更新过程

1、 第三章第三章 泊松过程与更新过程泊松过程与更新过程教师教师 徐凤徐凤xdiao_xdiao_第二章第二章 Poission过程及更新过程过程及更新过程定义定义 称一个随机过程称一个随机过程 是一个是一个过程过程(point process),(point process),若若N(t) N(t) 满足满足: :( ),0N t t 2）若）若s0t0和充分小的和充分小的 ，有，有 其中其中 为为 的高阶无穷小。的高阶无穷小。又称又称 为为Poission过程过程的强度系数的强度系数定理定理3.1.13.1.1 若若N(t),t 0为为Poission过程，则过程，则, 0, tsNkektk

2、sNtsNPtk,!)()()()()()(tPsNtsN利用定理利用定理3.1.1 ,可得到可得到Poission过程的等价定义过程的等价定义:即即定义定义3.1.23.1.2 计数过程计数过程N(t),t0称为具有参数称为具有参数( (或强度或强度) ) 的的Poission过程，如果过程，如果1 1）N(0)=0 N(0)=0 ，2 2）具有独立增量性，）具有独立增量性，3 3）)()()(, 0,tPsNtsNts此即此即注：泊松过程的数字特征与特征函数注：泊松过程的数字特征与特征函数泊松过程的均值函数泊松过程的均值函数泊松过程的方差函数泊松过程的方差函数泊松过程的均方值函数泊松过程的

3、均方值函数 NmtE N tt NDtD N tt 222NNNtE NtDtmttt泊松过程的自相关函数泊松过程的自相关函数泊松过程的自协方差函数泊松过程的自协方差函数 21212121 2,min,NR t tE N t N tt ttt1212,min,NCtttt是一计数过程是一计数过程,且且M(0)=0具有独立增量性具有独立增量性；只需验证只需验证 3),0,()( ) ()s tM stM sPp t0()(1)()!n mtmmnn mnteCppnm0(1)!mntmnetpptmn0()!()(1)! !()!n mtmnnnmteppn mnm(1)#!mmtmptptet

4、peptemm 0|( )nP M stM smP M stM sm N stN snmP N stN snm3.2 泊松过程的性质泊松过程的性质3.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布到达时间间隔与到达时刻的分布1010inf:,( ),1kkt tN tkk设设N(t),tN(t),t 00为泊松过程，为泊松过程，N(t)N(t)表示在表示在0,t0,t内事内事件发生的次数，令件发生的次数，令 ， 表示第表示第k k个事件发生的个事件发生的时刻时刻; ; 表示第表示第k-1k-1个事件与第个事件与第k k个事件发生个事件发生的时间间隔，即的时间间隔，即k001kkkT2341T2T3T1定

5、理定理3.2.1 定理定理3.2.1 提供了提供了Poisson过程的参数估计方法过程的参数估计方法.nniiitnttnneettL01,.1ln0dLdnnt定理定理3.2.2 到达时间到达时间 的概率密度函数为的概率密度函数为 1()( ),0.(1)!nnttftetn n, n证明( )(1)njtt, n10( )1,0.!knxkxF xexk的泊松过程，第的泊松过程，第i 次受冲击次受冲击0,tDe( )1( )iN ttiitDe tE定理定理3.2.3 若计数过程若计数过程N(t),t 0的到达时间间隔序列的到达时间间隔序列 是相互独立同参数为是相互独立同参数为的指数分布，

6、则的指数分布，则 N(t),t 0是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程.,1nT n 定理定理3.2.3 3.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统计检验的理论基础与方法，只需产生计检验的理论基础与方法，只需产生n n个同指数分布的个同指数分布的随机数随机数, , 将其作为将其作为Ti, i=1, 即可得到即可得到Poisson过程的一过程的一条样本轨道条样本轨道.设有设有n n位顾客在位顾客在0 0时刻排队进入仅有一个服务员的系时刻排队进入仅有一个服务员的系统统. .假定每位顾客的服务时间独立假定每位顾客的服务时间独立, ,均服从参数为均服从参数为的

7、指数分布的指数分布. .以以N(t)N(t)表示到表示到t t时刻为止已被服务过的时刻为止已被服务过的顾客人数顾客人数. .求求（1 1）EEN(t) ; ;（2 2）第第n位顾客等候服务时间的数学期望位顾客等候服务时间的数学期望; (3) (3)第第n n位顾客能在位顾客能在t t时刻之前完成服务的概率时刻之前完成服务的概率. .10()1,0!knxkxFxexk, nEN(t)第第n位顾客等候服务时间为位顾客等候服务时间为,nn 101!nkntnktPtFtek 11,nn11nnE1111111,nnniniiinT EET3.2.2 3.2.2 到达时刻的条件分布到达时刻的条件分布

8、0),(ttN本节讨论在给定N(t)=n 的条件下，的条件分布及其有关性质。ts 01( )1)sPsN tt这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在已知已知0,t 0,t 上有上有1 1个事件发生的条件下个事件发生的条件下, ,事件发生的时间事件发生的时间1 1应该服从应该服从00，tt上的均匀分布。对此我们自然要问：上的均匀分布。对此我们自然要问：(1)(1)这个性质是否可推广到的这个性质是否可推广到的 情形？情形？(2)(2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是否成

9、立？否成立？1,)(nntN定理定理3.2.43.2.4 设设 是泊松过程，则对是泊松过程，则对 有有 12(,.,)nUUU12( ,)nf u uu12!,0,0,nnnuuutt其它N(t), t012.n 12.nUUU的泊松过程，第的泊松过程，第i 次受冲击次受冲击0,tDe( )1( )iN ttiitDe tE则则N(t), t0为泊松过程为泊松过程. . 证略.定理定理3.2.63.2.6 设设N(t), t0为计数过程，为计数过程，T Tn n为第为第n n个事件个事件与第与第n-1n-1个事件的时间间隔，个事件的时间间隔， 独立同分布且分独立同分布且分布函数为布函数为F(x

10、),若若F(0)=0，且对且对 , ,都有都有1( )1)PsN t ,1nT n ts 00, tts定理定理3.2.73.2.7 设设N(t), t0为跃度为为跃度为1 1的计数过程，满足，的计数过程，满足， t0,N(t) P(t),且在且在N(t)=n条件下，条件下，的条件概率密度是的条件概率密度是1,.,n11!,.,0.nnnnfsssstt则则N(t), t0为泊松过程为泊松过程. . 证略3.3 泊松过程的叠加与分解泊松过程的叠加与分解1.泊松过程的叠加泊松过程的叠加定理定理3.3.1 ：设：设 与与 为相互独立且强度为相互独立且强度分别为分别为 ， 的泊松过程，则的泊松过程，

11、则 仍为泊松过程。且其强度为二泊松过程的强度之仍为泊松过程。且其强度为二泊松过程的强度之和和 。 （即两个相互独立的泊松过程的叠加仍即两个相互独立的泊松过程的叠加仍为泊松过程为泊松过程） 1,0N t t 2,0N t t 12 12,0N tN tNtt12例例3.3.1： 设乘客从南北两个方向在设乘客从南北两个方向在0,t)时段内到达同一飞机场的时段内到达同一飞机场的人数为人数为 ， ,分别服从强度为分别服从强度为 与与 的泊松过程，试的泊松过程，试求在时段内到达机场的人数的平均值。求在时段内到达机场的人数的平均值。 1N t 2N t12 kkN tt 12N tN tN t12 12E

12、 N tt2.泊松过程的分解泊松过程的分解定理定理3.3.23.3.2：设设 ，是强度为，是强度为的泊松过程的泊松过程 。 为进入子系统为进入子系统A A的质点数的质点数; ; 为进入系统为进入系统B B的质点数的质点数. .则则 的分解过程的分解过程 与与 相互独立，分别是强度相互独立，分别是强度为为 与与 的泊松过程。的泊松过程。 ,0N tt 1Nt 2Nt N t 1Nt 2Nt12例例3.3.23.3.2 ：设某个汽车站有：设某个汽车站有A A ，B B两辆跑同一路线的长两辆跑同一路线的长途汽车。设到达该站的旅客数是一泊松过程，平均每途汽车。设到达该站的旅客数是一泊松过程，平均每10

13、10分钟到达分钟到达1515位旅客，而每个旅客进入位旅客，而每个旅客进入A A车或车或B B车的车的概率分别为概率分别为2/32/3与与1/31/3。试求进入。试求进入A A车与进入车与进入B B车的旅车的旅客数的概率分布。客数的概率分布。 解：由平均解：由平均10分钟内到达车站分钟内到达车站15位旅客知，到达旅位旅客知，到达旅客的强度客的强度=15/10=1.5（人（人/分）故在分）故在0,t)时段内进入时段内进入该汽车站的旅客数该汽车站的旅客数N(t)的分布为的分布为 1.51.5!kkttttP N tkeekk0,1,2,k ANt 11111!kkpttApttP Ntkeekk10

14、,1,2,k 同理进入同理进入B车的旅客数车的旅客数 也是一个泊松过程且有也是一个泊松过程且有 BN t 212221!kpp tP N tkek2222!kttek20,1,2,k 3.4 Poission过程的推广过程的推广 ( )1(2.3.1)N tiiX tY2E Y 2, varE X ttE YX ttE YN(t),t 0为为Poission过程过程, 1YtsisX tXsE ee 2,N ( )1N tiiX tY2 21exp() 1 ( ) 1122112( )isstsXsee 1E XE Y0,0Nnts tnentnsNtsNP!|)()( 2EtEttN)var

15、()(var2 dGntensNtsNPnt!)()() 1 (0qpPpP1,21 2121( ),()( )0|( )|iiiiiiPP N tn N tsN tPP N tn 2121( )|()( )0|( )|iiiiiiiPP N tnP N tsN tPP N tn 112212121211nntstsnnttpteepteeptepte 1221121211nnt st snnt stpepepepe定义定义3.4.33.4.3 随机过程随机过程N(t),t0称为具有强度函数称为具有强度函数(t) 的的，如果，如果1 1）是一计数过程）是一计数过程, ,且且N(0)=0 N(0

16、)=0 ，2 2）具有独立增量性，）具有独立增量性，3 3）对任意实数）对任意实数t t 0,s0,N(0,s0,N(t+st+s)-N(t)-N(t)为具有参数为具有参数 的的PoissonPoisson分布分布. .sttduutm)()(3.5 更新过程更新过程3.5.1 3.5.1 更新过程的定义更新过程的定义 ,1nT n 1nnkkT1( )sup :norntnN tnt,0( )0,0tktetTf tt ?,0,0,000s tP N sN tsN sP N sP N tsN s更新过程的基本结论：更新过程的基本结论： n过程的统计特性可由序列过程的统计特性可由序列 的共同分布完全的共同分布完全刻画；刻画；nN(t)是关于是关于t的单调递增阶梯函数，对于固定的的单调递增阶梯函数，对于固定的t，N(t)为取非负整数值的随机变量；为取非负整数值的随机变量；n 的分布函数为的分布函数为),()(1tFtFtnnxdFxtFtF0