平行线的判定及性质

1、9授课主题平行线教学目的1 .理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；2 .掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理3 .掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命 题，能找出它的题设和结论；教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线a与b平行，t己作a/ b.1 .定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线 要点诠释：(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内

2、，两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地，重合的直线视为一条直线，不属于 上述任何一种位置关系.2 .平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.3 .推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质.(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一.(3) “平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1:同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言:Z3=Z 2AB/ CD (同位角相等，两直线平行)判定方法2:内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言

3、:/ 1 = / 2AB/ CD (内错角相等，两直线平行)判定方法3:同旁内角互补，两直线平行 .如上图，几何语言: Z4+Z 2=180°AB/ CD (同旁内角互补，两直线平行)要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形 要点三、平行线的性质性质1 :两直线平行，同位角相等；性质2:两直线平行，内错角相等；性质3:两直线平行，同旁内角互补要点诠释：(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”.(2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质.要点四、两

4、条平行线的距离同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离.要点诠释：(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等.要点五、命题、定理、证明1 .命题：判断一件事情的语句，叫做命题.要点诠释：(1)命题的结构：每个命题都由题设、 结论两部分组成， 题设是已知事项， 结论是由已知事项推出的事项 .(2)命题的表达形式：“如果，那么.”，也可写成：“若，则.”(3)真命题与假命题：真命题：题设成

5、立结论一定成立的命题，叫做真命题 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题2 .定理：定理是从真命题(公理或其他已被证明的定理)出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理 也可以作为继续推理的依据 .3 .证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明要点诠释：(1)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然” ，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事 实、定理等.(2)判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可.要点六、平移1.定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动

6、叫做平移.要点诠释：(1)图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离.(2)图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置2.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：(1)平移后，对应线段平行且相等；(2)平移后，对应角相等；(3)平移后，对应点所连线段平行且相等；(4)平移后，新图形与原图形是一对全等图形【典型例题】类型一、平行线例1 .下列说法正确的是()A.不相交的两条线段是平行线B.不相交的两条直线是平行线C.不相交的两条射线是平行线D.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线【答案】D例2.在同一平面内，下列说法：(1)

7、过两点有且只有一条直线；(2)两条直线有且只有一个公共点；(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。其中正确的个数为：()A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】正确的是：(1) (3).【变式1】下列说法正确的个数是()11)直线 a、b、c、d,如果 a / b、c / b、c / d,贝U a / d.(2)两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直(3)两条直线被第三条直线所截，同位角相等 .(4)在同一平面内，如果两直线都垂直于同一条直线，那么这两直线平行.A. 1个 B .2个C. 3个 D. 4个【答案】B

8、类型二、两直线平行的判定例3.如图，给出下列四个条件：(1) AC= BR(2) / DAC= / BCA(3) / ABA / CDB (4) / ADB= / CBD其中能使 AD / BC 的条件有 ()A. (1)(2)B.(3)(4) C. (2)(4)D.(1)(3)(4)【变式2】一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是()A.第一次向左拐30°B.第一次向右拐 50°C.第一次向右拐 50°D.第一次向左拐 50°第二次向右拐 30°第二次向左拐 130°第二次向右拐 1

9、30°第二次向左拐 130°例 4.如图所示，已知/ B = 25° , / BCD =45° , /CDE = 30° , /E=10° .试说明 AB /EF 的理由.解法1:如图所示，在/ BCD的内部作/ BCM =25° , 在/ CDE的内部作/ EDN= 10° . Z B=25° , / E=10° （已知），/B=/BCM, / E = /EDN （等量代换）.AB / CM , EF/ DN （内错角相等，两直线平行 ）.又./BCD =45° , Z CDE =

10、30° （已知），Z DCM =20° , Z CDN =20° （等式性质）./ DCM = / CDN （等量代换）.CM / DN （内错角相等，两直线平行）. AB / CM , EF/ DN （已证），AB / EF（平行线的传递性）.解法2:如图所示，分别向两方延长线段 CD交EF于M点、交AB于N点.1+ 2=180° ,求证:CD/EF ./BCD =45° ,/NCB = 135° . / B=25° ,/CNB = 180° -/NCB-/B = 20° （三角形的内角和等于 180&

11、#176; ）.又 ZCDE = 30° , ZEDM = 150° .又. ZE=10° ,/EMD=180° -/EDM-/E=20° （三角形的内角和等于 180°/ CNB = / EMD （等量代换）.所以AB / EF（内错角相等，两直线平行）.【变式3】已知，如图，BE平分 ABD DE平分 CDB且 1与 2互余， 请说明理由.解：AB / CD,理由如下： BE 平分/ ABD , DE 平分/ CDB , /ABD=2/1, / CDB = 2/2.又: / 1 + 72=90° ,/ ABD+ / CD

12、B = 180° .AB /CD（同旁内角互补，两直线平行 ）.【变式4】已知，如图， AB BD于B, CD BD于D,【答案】证明： AB BD于 B, CD BD于 D,AB/ CD又 1+ 2=180° ,AB/ EF.CD/EF.类型三、平行线的性质例5.如图所示，如果 AB / DF, DE / BC,且/ 1 = 65° .那么你能说出/ 2、/ 3、/4的度数吗？为什么.解：DE/BC,/ 4= / 1 = 65° （两直线平行，内错角相等）.Z 2+ Z 1 = 180 （两直线平行，同旁内角互补 ）./2=180° -/1=

13、180° -65° =115° .又 DF/AB （已知），/ 3=/2（两直线平行，同位角相等）./ 3=115° （等量代换）.【变式 5】如图，已知 11/I2, I3/I4 ,且/ 1=48° ,则/ 2 =, / 3=【变式6】如图所示，直线11 /12,点A、B在直线12上，点C、D在直线11上，若 ABC的面积为S1， ABD的面积为S2,则（）A . Si >S2B. Si=S2C. S1VS2D.不确定【答案】B 类型四、命题 例6.判断下列语句是不是命题，如果是命题，是正确的？还是错误的？画直线AB;两条直线相交，有几

14、个交点；若all b, b/c,则 all c;直角都相等；相等的角都是直角；如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角.【答案】不是命题；是命题；是正确的命题；是错误的命题.【变式8把下列命题改写成“如果，那么”的形式.（1）两直线平行，同位角相等；（2）对顶角相等；（3）同角的余角相等.【答案】解：（1）如果两直线平行，那么同位角相等.（3）如果有两个角是同一个角的余角，那么它们相等（2）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等类型四、平移例7.（湖南益阳）如图所示，将 ABC沿直线AB向右平移后到达 BDE的 位置，若/ CAB =50° , / ABC = 100° ,则

15、/ CBE 的度数为 .【答案】30°【变式9（上海静安区一模）如图所示，三角形 FDE经过怎样的平移可以得到三角形ABC（A.沿EC的方向移动DB长B.沿BD的方向移动BD长C.沿EC的方向移动CD长D.沿BD的方向移动DC长【答案】A类型五、平行的性质与判定综合应用例 8、如图所示，AB / EF,那么/ BAC+ ZACE+ ZCEF=（）A. 180°B. 270°C, 360° D, 540°【答案】C【解析】过点C作CD / AB , CD / AB ,ZBAC+ ZACD=180 ° （两直线平行，同旁内角互补 ）又 E

16、F/ABEF/CD.ZDCE+ ZCEF=180° （两直线平行，同旁内角互补 ）又,：乙 ACE = / ACD+ / DCE / BAC+ / ACE+ / CEF= / BAC+ / ACD+ / DCE+ / CEF=180°+180° =360°【课后作业】一、选择题1 .下列说法中正确的有（）一条直线的平行线只有一条.过一点与已知直线平行的直线只有一条.因为a/ b, c/ d,所以a/ d.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个2 .如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，则这两个角

17、（）A.相等B.互补 C.互余 D.相等或互补3 .如图，能够判定 DE/BC的条件是（）A. / DCE+ / DEC =180°B. / EDC = Z DCBC. /BGF = /DCBD. CDXAB , GFXAB4. 一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可 能是（）.A.第一次向右拐 40°B.第一次向右拐40°C.第一次向左拐40°D.第一次向右拐140第二次向右拐 140第二次向左拐 40°第二次向右拐 140,第二次向左拐 405 .如图所示，下列条件中，不能推出AB/CE成

18、立的条件是 （）A. /A = /ACE B. /B = /ACEC. /B=/ECDD. /B+/BCE=180°6.（绍兴）学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张从图中可知，小敏画平行线的依据有（）两直线平行，同位角相等.两直线平行，内错角相等.同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.A. B. C. D. 二、填空题7 .在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是 .8 .如图，DF 平分/ CDE, /CDF = 55° , / C=70° ,贝U/ B至 A9 .规律探究：同一平面内有直线 a1,

19、a2, a3，a100,若a_La2,32/a3,a3_La4，按此规律，a1和a100的位置是.10 .已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40。，则另一个角的度数是11 .直线l同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线l与B、C两点确定的直线l都与l平行，则 A、B、C三点,其依据是12 .如图，ABLEF于点G, CDLEF于点H, GP平分/ EGB, HQ平分/ CHF ,则图中互相平行的直线 有.三、解答题13 .如图，/ 1 = 60° , Z 2=60° , / 3=100°，要使 AB/EF, / 4应为多少度涵明理由.14 .小敏有一块

20、小画板（如图所示），她想知道它的上下边缘是否平行，而小敏身边只有一个量角器，你能 帮助她解决这一问题吗 ？15 .如图，把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠，已知/ ADB = 20° ,那么/ BAF为多少度时，才能使AB ' / BD?16 .如图所示，由/ 1 = 7 2, BD平分/ ABC ,可推出哪两条线段平行，写出推理过程，如果推出另两条线 段平行，则应将以上两条件之一作如何改变？【答案与解析】一、选择题1 .【答案】A【解析】只有正确，其它均错.2 .【答案】D3 .【答案】B【解析】内错角相等，两直线平行.4 .【答案】B5 .【答案】B【解析】/ B和/AC

21、E不是两条直线被第三条直线所截所得到的角.6 .【答案】C【解析】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，过点P的折痕与虚线垂直.二、填空题7 .【答案】0或1或2或3个；8 .【答案】BC, DE;【解析】/ CFD= 180° 70° 55° =55° ,而/ FDE = /CDF = 55° ,所以/ CFD = /FDE.9 .【答案】ai / ai。；【解析】 为了方便，我们可以记为 ai ± a2 / a3± a4 / a5± a6 / a7± a8 / a9± aio- / a97± a98 / a99± aioo,因为 ai± a2 a3,所以 ai± a3,而 a3± a4,所以 ai II a4ll a5.同理得 a5“ a8 II a9, a9“ ai2 II ai3,，接着这样的 规律可以得 ai / a97 / aioo,所以 ai / ai。.10 .【答案】40°或i40°11 .【答案】共线，平行公理；【解析】此题考查是平行公理，它是论证推理的基础，应熟练应用.12 .【答案】AB / CD, GP/ HQ;【解析】理由：- AB