第三章线性系统的时域分析4

1、第三章 线性系统的时域分析基本要求基本要求（1） 熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。（2）了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。（3） 正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。 在第二章中已经讲过，分析控制系统的第一步是推导系统的数学模型。一旦获得了系统的数学模型，就可以采用各种不同的分析方法分析控制系统的性能。）频频域域分分析析（）根根轨轨迹迹分分析析（时时域域分分析析32 )1(一般系统分析有三种方法一般系统分析有三种方法本章介绍控制系统的是域

2、分析的一般方法本章介绍控制系统的是域分析的一般方法3-1 时域分析基础 一旦建立起合理的、便于分析的控制系统数学模型，就可以运用适当的方法对系统的控制性能进行全面的分析和计算。本章我们主要给大家介绍时域分析方法。一、时域分析的特点 时域分析的法是跟据系统的微分方程，以拉普拉斯变换为数学工具，直接解出控制系统的时间响应。然后依据响应的曲线或表达式来分析系统的“稳、快、准”并找出它们与系统结构间的关系。时域分析是一种直接分析法，易于被人们接受；此外，也是一种比较准确的方法，可以提供系统时间响应的全部信息。二、典型初始状态、典型外作用 一个系统的时间响应y(t)，不仅取决于该系统本身的结构、参数，而

3、且还与系统的初始状态以及加在该系统上的外作用有关1、典型初始状态 前面我们已经介绍过自动控制原理书中用到微分方程均为增量方程，故控制系统的初始状态均为零状态0)0()0()0(yyy 上式表明，在外作用加于系统的瞬间（t=0）之前，系统无论是相对静止还是绝对静止状态被控量以及各阶导数相对于平衡工作点的增量为零2、典型外作用 典型外作用的选择应该是众多而复杂的实际外作用的一种近似和抽象。它的选择不仅应使数学运算简单，而且还应便于用实验来验证。理论工作者相信它，是因为它是一种实际情况的分解和近似；实际工作者相信它，是因为实验证明它确实是一种有效的手段。常用的典型外作用信号又4（5）种。 另外，在分

4、析和设计控制系统时，需要有一个对各种控制系统性能进行比较，要比较就必须设定相同的比较基准（基础）。这种基准可以通过下述方法来实现；预先设定一些特殊的实验输入信号，然后比较各种系统对这些输入信号的响应，再将这些响应情况进行比较分析。 为便于对系统分析和设计等实验研究，确定为便于对系统分析和设计等实验研究，确定了具有代表性的五种信号作为典型信号。了具有代表性的五种信号作为典型信号。1 1、阶跃信号、阶跃信号Rtr0)(0t0t式中：式中：R R为常数。当为常数。当R=1R=1时，称为单位阶跃信号，记为时，称为单位阶跃信号，记为1(t)1(t) R(s)=L1(t)=1/s R(s)=L1(t)=1

5、/s为什么要选择单位阶跃信号作为典型信号呢？为什么要选择单位阶跃信号作为典型信号呢？ 我们说是有实际意义的，大家都知道控制系统在启我们说是有实际意义的，大家都知道控制系统在启动合上电闸的瞬间都相当于接受一阶跃信号，而阶跃信动合上电闸的瞬间都相当于接受一阶跃信号，而阶跃信号又是最危险的信号，因为它是以突变信号，若系统在号又是最危险的信号，因为它是以突变信号，若系统在此恶劣的情况下能够保证性能，其他情况也应没有问题此恶劣的情况下能够保证性能，其他情况也应没有问题了了。R2、斜坡信号（、斜坡信号（匀速信号）Rttr0)(0t0t式中式中：R R为常数，当为常数，当R=1R=1时，称为时，称为单位斜坡

6、信号，记作：单位斜坡信号，记作：r(t)=tr(t)=t，R(s)=Lt=1/sR(s)=Lt=1/s2 2 数控机床加工斜面时的进给指令，恒定电压输入的计数控机床加工斜面时的进给指令，恒定电压输入的计分器的输出均为斜坡信号分器的输出均为斜坡信号3 3、匀加速度信号（抛物线信号）、匀加速度信号（抛物线信号）20)(Rttr0t0t式中式中：R R为常数，当为常数，当R=1/2R=1/2时，称为单位抛物线时，称为单位抛物线信号，记作：信号，记作： ，R(s)=Lt=1/sR(s)=Lt=1/s3 3221)(ttr匀速度信号、匀加速度信号用匀速度信号、匀加速度信号用来检验系统的跟踪性能的来检验系

7、统的跟踪性能的4、脉冲信号0)(tr0t0t1）、理想单位脉冲这种信号在实际中难于构造2）实际脉冲信号0)(htr t00, tt 在第二章，第七节中讨论过，满足三个条件时，此矩形脉冲可以看成单位脉冲信号当 -T为系统的时间常数； -来源于工程经验数据； T10h1hh5、正弦信号)sin()(tAtr式中：式中：A A为振幅，是常数，为振幅，是常数，w w为为角频率；角频率； 为初始相位为初始相位 二、为什么选这五种信号为典型信号三、单位阶跃信号引起重视的原因 正弦信号主要用来进行频率特性分析。海浪对舰挺的扰动力，电源及机械振动均可视为正弦作用。3-2 一阶系统的时域分析)()(trtydt

8、dyT 在第二章我们已经知道给一阶系统定义在第二章我们已经知道给一阶系统定义，凡是输出与输入之间可以一阶微分方程描述的，即称为一阶系统故一阶系统的数学模型故一阶系统的数学模型对上述数学模型进行拉斯变换，得系统的传递函数11)()()()()()(TssRsysGsRsysTsy一、一阶系统的数学模型一、一阶系统的数学模型 一阶系统在实际中有很多，如前面已经讨论过得RC电路r(t)RCi解：由电压平衡方程idtCtctciRtr1)()()(C(t)s(t=0)(1)(2)由（1）式：RRsIscsRscRsIsR1c(s)-R(s)I(s)()()()()()(得得：1/RR(s)C(s)_I

9、(s)由（由（2 2）式）式：cssIscsIcssc1)()()(1)(1/csI(s)C(s)故得RC电路的动态结构图1/RR(s)C(s)_I(s)1/csC(s)由动态结构图的闭环系统的传递函数由动态结构图的闭环系统的传递函数11TsR(s)C(s)图中图中T=RCT=RC称为系统的时称为系统的时间常数间常数二、一阶系统的阶跃响应二、一阶系统的阶跃响应单位阶跃信号的拉斯变换R(s)=L1(t)=1/s,R(s)=L1(t)=1/s,所以有：所以有：TssTsTsTssc/ 1111s1C(s)C(s)111)(展展开开为为部部分分分分式式将将对上式两边进行拉斯反变换，得：Ttetc/1

10、)(11TsR(s)C(s)从上式可见，一阶系统的阶跃响应由两部分组成从上式可见，一阶系统的阶跃响应由两部分组成“1 1”与时间与时间t t无关的常数，成为稳态分量。无关的常数，成为稳态分量。稳态稳态分量是与输入信号有关的量。分量是与输入信号有关的量。“ “是与时间是与时间t t有关的量，称为瞬态（动有关的量，称为瞬态（动态）分量。态）分量。瞬态（动态）分量取决于系统的特瞬态（动态）分量取决于系统的特征根。征根。Tte/tC(t)00T0.6324T0.9821一阶系统的一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃响应 对于一阶系统只要确定了时间常对于一阶系统只要确定了时间常数数T T，该系统就被确定了。那

11、应该如，该系统就被确定了。那应该如何确定时间常数何确定时间常数T?T? 1tTc te( )0.632 0 T2T3T4T5T A B斜 率1 Tc t( ) 1 63.2%86.5%95%98.2%99.3%t由一阶系统的单位阶跃响应曲线可见：由一阶系统的单位阶跃响应曲线可见：TeTdttdctgtTtt11)(0/0（1）就是说一阶系统的单位阶跃响应曲线过零点的斜率为就是说一阶系统的单位阶跃响应曲线过零点的斜率为1/T1/T（2 2）当当t=4Tt=4T时，系统的响应值达到稳态值的时，系统的响应值达到稳态值的98.2%98.2%，误差，误差( (1-0.982=0.018),1-0.982

12、=0.018),也就是说此时系也就是说此时系统已基本进入稳定状态。统已基本进入稳定状态。（3 3）实际中，可用示波器记录下系统的响应曲实际中，可用示波器记录下系统的响应曲线，在线，在C(t)=0.632C(t)=0.632时，对应的时间时，对应的时间t t即为一阶系即为一阶系统的时间常数统的时间常数T T (4) (4) ts=3T-5% ts=3T-5%误差带误差带 ts=4T-2%ts=4T-2%误差带误差带 tsts为系统的调整时间，所以时间常数为系统的调整时间，所以时间常数T,T,反映了反映了系统的惯性的大小，系统的惯性的大小，T T大表征系统的惯性大，故系统大表征系统的惯性大，故系统

13、响应慢，反之，则表征系统响应快。响应慢，反之，则表征系统响应快。性能指标性能指标1. 1. 平稳性平稳性：非周期、无振荡，非周期、无振荡， 0 02. 2. 快速性快速性tsts：%595. 0)(3误误差差带带对对应应时时，tcTts%298. 0)(4误误差差带带对对应应时时，tcTts3.3.准确性准确性 e essss：0)(1 cess三、一阶系统的脉冲响应由一阶系统传递函数由一阶系统传递函数11)()()(TssRsysG系统的脉冲响应系统的脉冲响应, ,即即R(sR(s）=1=1，故得：，故得：TteTTsTTsLsyTssRsGsy/1 -11 -1/1/1L 11)(Ly(t

14、) 11)()()(得得上上式式进进行行拉拉斯斯反反变变换换，ty(t)01/TT0.368(1/T)2T0.135(1/T)4T0.018(1/T)0T4T0.368(1/T)从图中可见：从图中可见： 一阶系统的单位脉冲响应是一单调下降的指数曲线，当t=4T时，系统基本衰减完毕，趋于稳定。可见T越小，系统的过渡持续时间越小。四、一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡信号单位斜坡信号r(t)=tr(t)=tR(s)=Lt=1/s2t/T-11211 -22222TeT-t /11)(Ly(t) /1s1 1s1 111)()()(TsTLsTLsLsyTsTsTTsTsTsTssRsGsy，得得：对对

15、上上式式进进行行拉拉斯斯反反变变换换系统的跟踪误差： T(t)lime )1 ()()()(tss/稳稳态态误误差差：TtTteTTeTtytrtTy(t) 这表明一阶系统在跟踪单位这表明一阶系统在跟踪单位斜坡信号时，在过渡过程结束后，斜坡信号时，在过渡过程结束后，输入、输出之间仍然有一定的误输入、输出之间仍然有一定的误差（跟踪误差），其值为时间常差（跟踪误差），其值为时间常数数T T显然显然T T小小)(t五、一阶系统的单位加速度响应五、一阶系统的单位加速度响应单位加速度信号单位加速度信号321)(21)(ssRttr)(lime)1()()()(21)(Ly(t)1s1 s1 11)()(

16、)(ss/2/2221-32233teTTttytrteTTTttsyTsTsTsTTssRsGsytTtTt稳稳态态误误差差：误误差差：，得得：对对上上式式进进行行拉拉斯斯反反变变换换这说明一阶系统无法跟踪加这说明一阶系统无法跟踪加速度信号速度信号举例：例（教材例3-1）一阶系统结构图如下。试求该系统的单位阶跃响应及调节时间ts。要求ts小于0.1，试问系统的反馈系数Kt应如何选择？100/sKtR(s)-C(s)解：由结构图得系统传递函数110011/1001/100)()()(skkskssRscsttt由闭环传递函数得：tkT1001系统的单位阶跃响应为：)1 (1)()()()(11

17、1tTteksRsLsCLtC调整时间4T3 或Tts 1 . 010033tkTts3 . 0 tk3-33-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。它在控制系统中应用的极为广泛，前面我们列举它在控制系统中应用的极为广泛，前面我们列举了不少的二阶系统，如了不少的二阶系统，如RLC网络、忽略电枢电感网络、忽略电枢电感后的电动机、弹簧后的电动机、弹簧质块质块-阻尼器系统等等，此阻尼器系统等等，此外还有许多高阶系统在一定的条件下，可以简化外还有许多高阶系统在一定的条件下，可以简化为二阶系统。为此我们详细研究和分析二阶系统

18、为二阶系统。为此我们详细研究和分析二阶系统的特性是具有十分重要的意义的。的特性是具有十分重要的意义的。 首先从实际的二阶物理系统结构中推导出二阶系统的数学模型，然后把数学模型化为二阶系统的标准形式例：例：RCL电路电路UrUcLRi解：根据克希夫定律：解：根据克希夫定律：RcccriiiiRidtcuudtdiLu1（1）（2）（3）一、二阶系统传递函数的标准形式一、二阶系统传递函数的标准形式由（由（1 1）式：）式：Ur(s)=LsI(s)+Uc(s)LssususIcr1)()()(1/LsUcUr_I(s)由（2）式RcssIsIRsIsuRsIsIcssucRRcRcc1)()( )(

19、)( )()(1)(RIR(s)Uc(s)Ic(s)1/RCSIR(s)由（由（3 3）式）式)()()(sIsIsIcRIR(s)Ic(s)I(s)1/LsUr_I(s)UcIR(s)Ic(s)1/RCSIR(s)RUc(s)1/Ls11RCSR_UrUc(s)1/Ls11RCSR_UrUc(s) 1(RCSLsR_UrUc(s由此得到RCL网络的传递函数RLsLRCsRRRCsLsRRCsLsRRCsLsRsG2) 1() 1(1) 1()( 可见可见LRCLRC网络为一二阶系统，将其传递网络为一二阶系统，将其传递函数化为标准形式函数化为标准形式222222111)(nnnssLCsCRs

20、LCRLsLRCsRsG标准式标准式CLRCRCRLCnnn2121 ,12 ,1 由由所所以以得得：注意注意前面介绍一阶系统是知道，一阶系统一个常数：前面介绍一阶系统是知道，一阶系统一个常数：T T二阶系统两个常数：二阶系统两个常数： , n系统的性能取决于这些常数系统的性能取决于这些常数二阶系统的动态结构图描述二阶系统的动态结构图描述2(2)nns sR(s)Y(s)开环传递函数：开环传递函数：2( )(2)nnG ss s闭环传递函数闭环传递函数：222( )( )2nnnC sR sss二阶系统的特征方程为二阶系统的特征方程为2220nnss解方程求得特征根：解方程求得特征根：21,2

21、1nns s s1 1,s,s2 2完全取决于完全取决于 ， n n两个参数。两个参数。当输入为阶跃信号时，则二阶系统的阶跃响应的形式为：tstseAeAAsy21210)(式中：式中：A A0 0-二阶系统稳态输出部分，它取决于二阶系统稳态输出部分，它取决于系统的输入信号，故系统的输入信号，故A A0 0=1 =1 tstseAeA2121,-二阶系统瞬态输出部分，其主要二阶系统瞬态输出部分，其主要取决于取决于s s1 1,s,s2 2，可见二阶系统的瞬态响应由系，可见二阶系统的瞬态响应由系统的特征根统的特征根s s1 1,s,s2 2基本形式来决定。基本形式来决定。特征根分析特征根分析 当

22、当 时，我们将这样的二阶系统称为时，我们将这样的二阶系统称为欠阻尼系统欠阻尼系统 1021,21nnsj 此时二阶系统的特征的根为：此时二阶系统的特征的根为：q此时此时s s1 1,s,s2 2为一对共轭复为一对共轭复根，且位于复平面的根，且位于复平面的左半左半部。部。当 时，称此系统为无阻尼系统0此时二阶系统的特征根为：此时二阶系统的特征根为：21,21nnnsj p此时此时s s1 1,s,s2 2为一对纯虚根，位于虚轴上。为一对纯虚根，位于虚轴上。S S1,21,2= = j j n n当当 时，称为时，称为临界阻尼系统临界阻尼系统1此时二阶系统的特征根为：此时二阶系统的特征根为：21,

23、21nnns p此时此时s s1 1,s,s2 2为一对为一对相等的负实根。相等的负实根。 s s1 1=s=s2 2=-=- n n当当 时，称为时，称为过阻尼系统过阻尼系统1此时二阶系统的特征根为：此时二阶系统的特征根为：21,21nns q此时此时s s1 1,s,s2 2为两个负为两个负实根，且位于复平面实根，且位于复平面的负实轴上。的负实轴上。二、二阶系统的阶跃响应二、二阶系统的阶跃响应 下面我们就分别讨论这四种不同阻尼系数下面我们就分别讨论这四种不同阻尼系数时，二阶系统的阶跃响应情况：时，二阶系统的阶跃响应情况：1.当当 -欠阻尼情况欠阻尼情况10输入信号输入信号r(t)r(t)，

24、R(s)=1/sR(s)=1/s，二阶系统的输出响应：，二阶系统的输出响应：此时系统有一对共轭复根此时系统有一对共轭复根2d22 , 11 1ndnnnjjs式式中中：2221( )( )( )2nnny sG s R ssss为为待待定定系系数数212212222212,)(1)(1)(1)(aaasasasasssjsjssssssodnodnndndnnn将将s1,s2代入代入利用平利用平方差公方差公式式221222)(1)(dnodnnsasasass利用此式，确定待定系数利用此式，确定待定系数求求a a0 0，两边同乘，两边同乘s s，并令，并令s=0s=01)(0222sdnnos

25、a求求a1，a2：将将(1)(1)两边同乘两边同乘 ，得：，得： （1）)(22dnssnnndnnaasasasasasa2 , 1 )2()(1 )()(212221212202故故得得：所以，二阶系统单位阶跃响应为所以，二阶系统单位阶跃响应为：122222222222221( )()()1 ()()onndnnnnndndasas ay sssssssss 进行拉斯变换得：进行拉斯变换得：tesLsLsLtessLsLdtdnddnndnndtdnnnnsin1)(1 )(11)(cos)(1122212222212212211将拉斯变换式代入，得：将拉斯变换式代入，得：)sin(11

26、)sincossin(cossin1 )sinsincos(cos1 )sin1(cos1 sin1cos1 )()(1)(2222212211tettettettetetesLssLsLtydtddtddtddtdtdtdnndnnnnnnnn教材（教材（3-25)12121cossintg)sin(11 )(2tetydtn二阶系统的单位阶跃响应分析二阶系统的单位阶跃响应分析由求得单位阶跃响应函数，可见二阶系统的单位由求得单位阶跃响应函数，可见二阶系统的单位阶跃响应也是由两部分组成，阶跃响应也是由两部分组成，（1）“1”为稳态输出部分；它由输入信号决定。为稳态输出部分；它由输入信号决定。（

27、2）瞬态输出部分瞬态输出部分 ，瞬态响应，瞬态响应是以是以 为幅值的正弦曲线，其幅值随着时间为幅值的正弦曲线，其幅值随着时间t增增大，而减小。即输出的幅值是衰减的。大，而减小。即输出的幅值是衰减的。 （3）二阶系统的响应偏差二阶系统的响应偏差 )sin(12tedtn21tne)sin(1)()()(2tetytrtdtn0)(limttt时时，从从上上式式可可见见当当综合以上分析可见，二阶系统的单位综合以上分析可见，二阶系统的单位阶跃响应有以下规律：阶跃响应有以下规律：t当当 时，系统输出时，系统输出y(t)=1-0=1，即系统，即系统逐渐趋于稳定。逐渐趋于稳定。系统的瞬态输出响应为衰减的振

28、荡过程系统的瞬态输出响应为衰减的振荡过程 振荡幅值振荡幅值： 振荡频率振荡频率：21tne21nd输出曲线输出曲线结论：结论： 越大，越大，d d越小，幅值也越小，响应的越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之， 越小，越小， d d 越大，振荡越严重，平稳性越差。越大，振荡越严重，平稳性越差。2、当当 - 无阻尼情况无阻尼情况0二阶系统的单位阶跃响应：二阶系统的单位阶跃响应：2222222211 12)()()(nnnnnnsssssssssRsGsy对上式两边进行拉斯变换，得：对上式两边进行拉斯变换，得：tssLsLtynn

29、cos11)(2211将将 代入代入0瞬态瞬态输出输出21,21nnnsj 系统有一对共轭纯虚根系统有一对共轭纯虚根2 2）振荡频率振荡频率 到目前为止我们介绍了两种频率到目前为止我们介绍了两种频率 和和 ；它们都有；它们都有鲜明的物理意义鲜明的物理意义 -为无阻尼为无阻尼( )振荡频率；振荡频率； -为有阻尼为有阻尼( )振荡频率振荡频率ndnn0d10显然显然dnd , 且且等幅等幅振荡振荡1 1）无阻尼系统为一等幅的振荡过程（平均值无阻尼系统为一等幅的振荡过程（平均值为为1 1的等幅余弦振荡）的等幅余弦振荡）3 3、当当 时时临界阻尼情况临界阻尼情况1二阶系统的单位阶跃响应：二阶系统的单

30、位阶跃响应：222222222)(11 1)(12 12)()()(nnnnnnnnnnnssssssssssssRsGsy将将 代入代入1此时二阶系统有两个相同的负实根为：此时二阶系统有两个相同的负实根为：21,21nnns )1 (11 )(11)(2111teteesLsLsLtynttntnnnnnn对上式进行拉斯变换，得：对上式进行拉斯变换，得：临界临界阻尼阻尼系统系统从图中可见，当阻尼比从图中可见，当阻尼比 时，二阶系统时，二阶系统的过渡过程是一个无超调的单调上升过程，的过渡过程是一个无超调的单调上升过程，从从 小于小于1变化到大于变化到大于1 ，其过渡过程则从有，其过渡过程则从有

31、振荡变化到振荡消失。也就是说振荡变化到振荡消失。也就是说 是振荡是振荡与不振荡的分界，所以我们称与不振荡的分界，所以我们称 为临界阻为临界阻尼。尼。 1114 4、当当 时时-过阻尼情况过阻尼情况1此式系统有两个不相同的负实根此式系统有两个不相同的负实根112221nnnnss二阶系统的单位阶跃响应：二阶系统的单位阶跃响应：sasbssssssssRsGsynnnnnnn1)( 1)1)(1( 12)()()(2n222222式中：式中：1122nnnnba对上式进行拉斯变换，得：对上式进行拉斯变换，得：) 1( 12) 1( 121 )(11)(22) 1(22) 1(222ttbtatnn

32、nnneeaebebaabty将将a,b代代入入 从上式可见：当 时，s2将比s1离虚轴要远的多，因此瞬态部分的第一项衰减的要比第二项快得多，因此系统的输出可近似地为 1) 1( 121 )(22)1(2tnnety此时，二阶系统可简化为一个一阶系统。此时，二阶系统可简化为一个一阶系统。过阻尼系统单位阶跃响应过阻尼系统单位阶跃响应1t tc(t)c(t)0 0二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统一阶系统响应一阶系统响应1 1与一阶系统阶跃响应的比较与一阶系统阶跃响应的比较 归纳以上二阶系统的单位阶跃响应情况，归纳以上二阶系统的单位阶跃响应情况，其响应的瞬态过程随其响应的瞬态过程随 振振荡荡 结论结论：

33、当当 时，系统的输出为一衰减的振荡过程时，系统的输出为一衰减的振荡过程当当 时，系统的输出为等幅振荡过程时，系统的输出为等幅振荡过程当当 时，系统的输出为单调的上升过程时，系统的输出为单调的上升过程1001在设计二阶系统时，一般选择0.8 4 . 0-将此时的二阶系统称为将此时的二阶系统称为 最佳二阶系统最佳二阶系统 因为，当因为，当 时的二阶系统其性能最好！时的二阶系统其性能最好！它既能保证一定的快速性，同时振荡也不大等。它既能保证一定的快速性，同时振荡也不大等。0.8 4 . 0三、二阶系统的性能指标三、二阶系统的性能指标 通常，控制系统动态性能的好坏是通过系统的通常，控制系统动态性能的好

34、坏是通过系统的阶跃响应的一些指标来衡量的。为设计最佳二阶系阶跃响应的一些指标来衡量的。为设计最佳二阶系统（欠阻尼系统）需要，我们定义的五项性能指标：统（欠阻尼系统）需要，我们定义的五项性能指标： 上升时间上升时间 tr峰值时间峰值时间 tp最大超调量最大超调量 调整时间（过渡过程时间）调整时间（过渡过程时间）ts振荡次数振荡次数 N%t)(ty)(pty1ptst误差误差带带01 1）上升时间）上升时间 t tr r-指系统的输出曲线第一次到达稳态之所需的时间，（对于过阻尼过程来说，一般把从稳态值的10%上升到90%所需的时间定义为上升时间）)sin(11 )(2tetydtn系统的输出：系统

35、的输出：即即系系统统的的稳稳态态输输出出时时，当当-1)(tyt按定义：有：按定义：有：11sin(11)(212tgtetydtn ,2 , , 01 0)1sin( 01 0)1sin(1 21212212tgttgtetgterdrdtrdtrnrn所所以以有有：只只有有：又又故故有有：由于tr出现在第一个周期内：221211 1 ,1 ndrrdttgtgt得得：令令2 2、峰值时间、峰值时间t tp p-系统的输出响应曲线达到第一个峰值系统的输出响应曲线达到第一个峰值所需时间所需时间按教材P57式（3-5b),二阶系统的单位阶跃响应：2 , , 0 0sin 0sin)1()( 0)

36、( )1sin(11)(22212pdpdtddnttttdttttedttdydttdytgtetypnppn满满足足上上述述条条件件的的有有：所所以以：即即：根根据据极极值值定定律律有有：又因为峰值出现在第一个周期内又因为峰值出现在第一个周期内pnpnndppdtconsttconsttt时时，当当时时，当当）（从从以以上上计计算算公公式式可可见见：所所以以得得：(2) 1 1 23 3、超调量、超调量%-在二阶系统的阶跃响应曲线中，在二阶系统的阶跃响应曲线中，超出稳态值的最大偏差量与稳态值之超出稳态值的最大偏差量与稳态值之比，称为系统的超调量。比，称为系统的超调量。按定义按定义%100)

37、()()(%yytyp因最大超调量出现在因最大超调量出现在t=tt=tp p处，处，将将t tp p代入代入1)(1 )sin1(cos1 )sin1(cos1)(221212yeettetynnpnpdpdtp 代入代入dpt% % %100%100)()()(% 21/反反之之值值也也相相应应的的被被确确定定后后，确确定定即即为为确确定定值值，反反之之确确定定后后，即即值值唯唯一一的的确确定定，的的大大小小由由由由上上式式可可见见：所所以以：eyytyp4 4、调整时间、调整时间t ts s-系统的输出系统的输出y(t)y(t)与稳态值与稳态值y(t)=1y(t)=1之间的之间的误差达到（

38、误差达到（2525）% %而不在超出的过渡过程所花而不在超出的过渡过程所花费的时间，称为调整时间。费的时间，称为调整时间。按定义：按定义：2%5)sin(1 )sin(111 )()( %2%5)()(22或或即即：或或sdtsdtsstetetyytyysnsn 这里这里tsts有多个有多个，其中最小的，其中最小的tsts即为方程即为方程的解，而直接从上面的方程中求解是比较困的解，而直接从上面的方程中求解是比较困难的，为简单起见，可采用近似的的计算方难的，为简单起见，可采用近似的的计算方法求得法求得ts.ts.)20.0(05. 01 02. 005. 0,1 22或或：时时，过过渡渡过过程

39、程完完毕毕，即即或或减减到到当当其其衰衰所所描描述述的的衰衰减减指指数数曲曲线线由由其其幅幅值值snsnttee由此求得由此求得t ts snsnnnsnsttt402. 03)1 (21311ln305. 0 11ln1222时时当当时时当当为为误误差差带带式式中中：特别提示特别提示 在设计二阶系统时，通常是根据最大在设计二阶系统时，通常是根据最大超调量（超调量（ ）的要求确定）的要求确定 值，以值，以t ts s的要的要求确定求确定 ，当，当 和和 确定后，二阶系统确定后，二阶系统就设计完毕就设计完毕%nn5 5、振荡次数、振荡次数 N N-在在t ts s时间内时间内( )( )，y(t

40、)y(t)穿越稳态穿越稳态值值y(t)=1y(t)=1的次数的一半，称为振荡次数的次数的一半，称为振荡次数stt0振荡次数振荡次数N N为为振振荡荡周周期期式式中中：-2 21222ddsnsddsdsTtttTtN振荡一次穿越振荡一次穿越稳态值两次稳态值两次综合以上分析，可见：综合以上分析，可见：参数参数 与系统性能指标的关系与系统性能指标的关系n,1） -可提高系统的响应速度； 即：2） -振荡性降低，即： 但会使 nrpsttt, , N,%rptt, 也会加大。也会加大。过小，系统振荡加剧，过小，系统振荡加剧，），会使系统响应迟钝），会使系统响应迟钝过大（接近于过大（接近于sstt 1

41、 四、二阶系统举例四、二阶系统举例y例（例例（例3-33-3）：）：设位置随动系统，其结构图如图所示，设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益K KA A200200，15001500，13.513.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间时间t tp p，调节时间，调节时间t ts s和超调量和超调量，并分析比较之。，并分析比较之。例题解析例题解析l输入：单位阶跃输入：单位阶跃)(1)(ttr ssR1)( l系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数AAKssKs55 .345)(2

42、当当K KA A 200200时时n系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数：10005 .341000)(2 sss 2222)(nnnsss标准式标准式n与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：6 .311000 n 34.50.5452n20.121pdnt峰值时间：秒2113%e超调量： 3.00.17snt调节时间：秒当当K KA A 15001500时时n系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数：75005 .3415005)(2 sss n与标准的二阶系统传递函数对照得：与标准的二阶系统传递函数对照得：6 .867500 n 34.50.22n20.03784.

43、851pnt峰值时间：秒2152.7%e超调量： 3.00.17snt调节时间：秒当当K KA A 13.513.5时时n系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数)0833. 2)(417.32(5 .675 .675 .345 .67)(2sssssn与标准的二阶系统传递函数对照得与标准的二阶系统传递函数对照得21. 85 .67 n 34.52.12n? pt峰值时间：峰值时间：无超调无超调0 超调量：超调量： 调节时间：)(44. 13sTts系统尽管无超调，但调整时间过长系统在单位阶跃作用下的响应曲线系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)c(t)1 10 0t tK KA A=1500=1

44、500K KA A=200=200K KA A=13.5=13.5) 2 . 0( ) 5 . 0( ) 1 . 2(利用Matlab可以很方便的对系统进行仿真分析num1=5*200;den1=1 34.5 5*200;step(num1,den1);num2=5*1500;den2=1 34.5 5*1500;hold onstep(num2,den2);num3=5*13.5;den3=1 34.5 5*13.5;hold onstep(num3,den3)改善二阶系统响应的措施改善二阶系统响应的措施1.1.误差信号的比例微分控制误差信号的比例微分控制系统开环传函为：系统开环传函为：2(

45、1)( )( )( )(2)ndnT sC sG sE ss s未加误差信号的比例微分闭环传函为：未加误差信号的比例微分闭环传函为：阻尼比无阻尼固有频率式中：nnnnbsssG 2)(222增加误差信号的比例微分闭环传函为：增加误差信号的比例微分闭环传函为：22222222)2()1 ()1 ()2()1 ()2()1 (1)2()1 ()(ndnndndnndnndnndnBsTssTsTsssTsssTsssTsG将上式与标准式比较有：将上式与标准式比较有：2222)2()1 ()(ndnndnBsTssTsGdnnndT222增加误差信号的比例微分环节后系统的等效阻尼比为：增加误差信号的

46、比例微分环节后系统的等效阻尼比为：dnndnndTT21222 可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼可见，引入了比例微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（和称为超前控制、产生一种早期控制（和称为超前控制、PD调节器），调节器），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。前面图的相应的等效结构前面图的相应的等效结构由此知道：由此知道：12( )( )

47、( )c tc tc t和 及 的大致形状如下1( )c t2( )c t( )c t一方面，增加 项，增大了等效阻尼比 ，使 曲线比较平稳。另一方面，它又使 加上了它的微分信号 ，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比 的平稳作用。dTd1( )c t1( )c t2( )c td总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正总结：引入误差信号的比例微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数间常数 。若。若 大一些，使大一些，使 具有过阻尼的具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性形式，而闭环零点的微

48、分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。dTdT1( )c t2.输出量的速度反馈控制输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号将输出量的速度信号y(t)采用负反馈形式，反馈采用负反馈形式，反馈导输入端并与误差信号导输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。路，称为速度反馈控制。如下图示。y(s)2222)2()()()(ntnnnBskssRsysG加入速度反馈后闭环传函为：加入速度反馈后闭环传函为：与二阶系统的标准式相比较得：与二阶系统的标准式相比较得：12ttnK等效阻尼比增大了，

49、振荡倾向和超调量减小，改善了等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。系统的平稳性。3.比例微分控制和速度反馈控制比较比例微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。总结系统的时间响应有两部分组成；即稳态响应瞬态响应，稳态响应取决于系统的输入信号，而瞬态响应取决于系统的特征根。瞬态响应的形式又取

50、决于特征根的形式，如特征根为共轭复根（虚根）则系统的瞬态输出响应一定是一个震荡的过程，若特征根为实根，则系统的输出响应一定是一个单调的上升过程。对于稳定的系统，瞬态分量随着时间的推移将趋于零，瞬态能否趋于零取决于特征根在s平面的位置。趋于零的速度快慢于特征根据虚轴的距离远近有关五、具有闭环零点的二阶系统单位阶跃响应设二阶系统具有如下形式，即)2()()()(222mnnsszzssRsC式中，s=-z为二阶系统的闭环零点，z为实零点当r(t)=1(t)时，上式的阶跃响应ssszzssCmnn1)2()()(222对于欠阻尼情况，该系统的闭环极点仍为22 , 111, 0nnjss所以将上式写成

51、部分分式的形式为2322111)(nnnnjsAjsAsAsC式中，A1,A2,A3用留数法（或其他方法）求得：)(2223)(222211221221jnnjnnejzzzAejzzzAA上式中：21211 ,1tgztgnn故上式进行拉斯反变换，得：)1(sin(1)1()(1)(22222tzztCnnn根据上升时间ts、峰值时间tp、超调量以及过渡时间ts的定义，得出二阶系统具有闭环零点时的欠阻尼单位既阶跃响应的各项性能指标为：21ndrt21ndpt%10021%21)(22e)02. 0(ln4nszLtzzLnnn222)1()(式中实践证明：闭环负实零点的主要作用在于加速二阶系

52、统的响应过程，在响应过程的起始段这种加速作用尤为明显，但同时也削弱了系统的阻尼比。实践进一步说明，当z=(25) 时，闭环负实零点对二阶系统阶跃响应的加速作用表现得比较明显，而超调量的增加又不过分大，是闭环负零点的合理取之范围n3-4 高阶系统（高阶系统（P74）定义：用高阶微分方程描述的系统称高阶系统。定义：用高阶微分方程描述的系统称高阶系统。 在工程中，将三阶或三阶以上的系统称为在工程中，将三阶或三阶以上的系统称为高阶系统，高阶系统，一、高阶系统的数学模型一、高阶系统的数学模型)()(11111111trbdtdrbdtrdbdtrdbtyadtdyadtydadtydaommmmmmon

53、nnnnn式中式中：mnn , 3由此的系统的传递函数由此的系统的传递函数)()()()( )()()(21210111011nmnnnnmmmmpspspszszszskasasasabsbsbsRsysG将传函数将传函数化为零、化为零、极点形式极点形式式中式中：k k为闭环传递函数的增益为闭环传递函数的增益 z zi i为闭环传递函数的零点为闭环传递函数的零点,i=1,2,3,i=1,2,3m m p pj j为闭环传递函数的极点，为闭环传递函数的极点，j=1,2,3j=1,2,3n n 系统有系统有n n个极点，其中个极点，其中n n1 1个实数极点个实数极点 n n2 2个共轭极点，个

54、共轭极点，n n1 1+2n+2n2 2=n=n 在实际中，高阶系统均可看成是一些一阶、在实际中，高阶系统均可看成是一些一阶、二阶系统的简单环节组成的二阶系统的简单环节组成的1211221)2()()(1)(njnknknkkkmiisspszskssy对上式进行拉斯反变换，得：对上式进行拉斯反变换，得：21121)sin(11 1)(nkkdkktnjtpjteeAtynkkj 由此可见，高阶系统的单位阶跃响应也是由由此可见，高阶系统的单位阶跃响应也是由瞬态、稳态两部分组成，同时也不过是有一些简瞬态、稳态两部分组成，同时也不过是有一些简单的一阶、二阶环节组成。单的一阶、二阶环节组成。 下面以

55、在下面以在s s平面作版面具有平面作版面具有2 2对共轭复数极点对共轭复数极点 和和1 1个实极点个实极点p p3 3=-q=-q的分布模式的分布模式 为例，分析一五阶系统的单位阶阶跃响应为例，分析一五阶系统的单位阶阶跃响应) 10 (122 , 1nnjp即：五阶系统的零、极点在复平面的分布为：即：五阶系统的零、极点在复平面的分布为：s5s3s4s1s2由作图可见：由作图可见： 由由s1,s2为一对共轭复根，它俩组成一二阶分量为一对共轭复根，它俩组成一二阶分量 由由s3,s4为一对共轭复根，它俩组成一二阶分量为一对共轭复根，它俩组成一二阶分量 S5为一实根，它构成一阶分量为一实根，它构成一阶

56、分量S3,4s5S1,2 这一五阶系统接受阶跃信号输入时，系统的这一五阶系统接受阶跃信号输入时，系统的输出情况输出情况由以上输出曲线可见：由以上输出曲线可见： 由共轭复根由共轭复根s1，s2确定的瞬态分量，在单位阶确定的瞬态分量，在单位阶跃响应的过渡过程中起主要作用，因为此分量衰跃响应的过渡过程中起主要作用，因为此分量衰减最慢，而由减最慢，而由s3，s4，s5构成的瞬态分两所对应的构成的瞬态分两所对应的过渡过程则衰减很快，在过渡过程则衰减很快，在s1，s2所对应的分量尚未所对应的分量尚未达到上升时间时，它们早已衰减完毕了。达到上升时间时，它们早已衰减完毕了。 因此在高阶系统的过渡过程分析中常常

57、忽略因此在高阶系统的过渡过程分析中常常忽略s3,4，s5三个极点对系统的影响，而只考虑三个极点对系统的影响，而只考虑s1,2这这对共轭复根对系统的影响。对共轭复根对系统的影响。 为此引入了为此引入了主导极点主导极点的概念的概念问题问题：为何要引入主导极点的概念为何要引入主导极点的概念? 通过上面的例子，我们清楚地看见，若系统的通过上面的例子，我们清楚地看见，若系统的特征根全部在特征根全部在s平面的左半边，一、二阶分量衰减平面的左半边，一、二阶分量衰减的快慢程度，完全则取决于该极点距离虚轴的远、的快慢程度，完全则取决于该极点距离虚轴的远、近。近。s5s3s4s1s2nn5由由s1.2构成的瞬构成

58、的瞬态分量态分量 衰衰减慢，减慢，由由s3,4构成的瞬构成的瞬态分量态分量 衰衰减快减快21tne251tne由由s3,4构成的二阶系统的调整时间构成的二阶系统的调整时间tsnst54)4,3(由由s1,2构成的二阶系统的上升时间构成的二阶系统的上升时间tr2)2, 1(1nrt2122)4,3()2,1(1 14)(5541tgttnnsr式中：08. 14 . 0)4, 3()2, 1(srtt时，当S3,4S1,2ts(3,4)tr(1,2)从图中可见： 由s3,4对应的瞬态分量早在s1,2构成的分量尚未到达上升时间之前，就已调整完毕了进入稳定状态了，因此我们在研究系统的快速行时，完全可

59、以忽略s3,4的影响，只考虑s1,2这个分量，此时我们称s1,2为主导极点定义：定义： 在高阶系统中，如果存在一对（或一个）离虚轴最近的共轭复数极点，而其它极点离虚轴的距离比起这对极点与虚轴的距离大于5倍以上(而且附近不存在零点）则可以认为系统的动态响应主要有这对极点决定，对动态响应起主导作用的极点称为主导极点。 由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。因此在高阶系统动态分析中，如果能找到一对共轭附属主导极点，那么高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并用二阶系统的性能指标来估算系统的性能；假如能找到一个主导极点，那么，高阶系统就可以按一阶系统来

60、分析，这样问题就得到大大的简化。 同样在设计高阶系统时，也常常利用主导极点来选择参数，使系统具有一对共轭主导极点，近似地用二阶系统的性能指标来设计系统。 值得指出的是：近年来由于计算机技术的发展和普及，特别是出现了一些求解高阶微分方程的软件，如：Matlab，给我们设计高阶系统带来了很大的方便。3-5 线性系统的稳定性（P74）n在线性控制系统中，最重要的问题首先是稳定性问题，因为系统只有稳定，才能正常工作。n稳定性是控制系统正常工作的首要条件，也是控制系统的重要性能。n分析控制系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。本节要点p线性定常系统稳定的概念线性定常系统稳定